北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第五章 5.1 双线性函数 5.1.1 线性空间上的线性函数的定义 5.1.2 双线性函数

第一学期第二十九次课 第五章§1双线性函数 511线性空间上的线性函数的定义 线性函数的定义 定义设为数域K上的线性空间,∫:V→K为映射,满足 f(a+B)=f(a)+f(B),va,B∈V;f(ka)=(a),k∈K,a∈V,则称∫为由V到 K的一个线性函数(即∫为V到K的一个线性映射) 如同一般的线性映射,有以下事实 i)、∫:V→K是线性函数当且仅当f(ka+lB)=l(a)+J(B) i)、f(0)=0 i)、f(-a)=-f(a)。 命题数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上 的n维线性空间。 证明容易证明数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘 构成线性空间。定义线性函数∫,j=1,2,…n,使得对于V/K的某一组基51E2…,En, f(=)=5。则可以验证∫构成上述线性空间的一组基 定义由数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体构成的线性空间称为V的对 偶空间,记为 512双线性函数 1、双线性函数的定义 定义设V为数域K上的线性空间,∫:V×V→>K为映射,满足 i), f(k,+k,a2, B)=kf(a, B)+k,f(a2,P) i)、f(a,lB1+2B2)=lf(a,B1)+l2(a,B2), 其中k,k2,212∈K,a,a1,a2,B,B1B2∈V。则称∫为V上的一个双线性函数 2、双线性函数在给定基下的矩阵 设E1E2…,En为上的一组基,f:V×→K为双线性函数,Va,B∈V,设 a=x+x2E2+…+xEn;B=V1+y2E2+…+yEn则

第一学期第二十九次课 第五章 §1 双线性函数 5.1.1 线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义 定 义 设 V 为数域 K 上 的 线 性 空 间 ， f V K : → 为映射，满足 f f f V ( ) ( ) ( ), ,       + = +   ； f k kf k K V ( ) ( ), ,    =    ，则称 f 为由 V 到 K 的一个线性函数（即 f 为 V 到 K 的一个线性映射）。 如同一般的线性映射，有以下事实： i）、 f V K : → 是线性函数当且仅当 f k l kf lf ( ) ( ) ( )     + = + ； ii）、 f (0) 0 = ； iii）、 f f ( ) ( ) − = −   。 命题 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上 的 n 维线性空间。 证明 容易证明数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘 构成线性空间。定义线性函数 , 1,2, , j f j n = ，使得对于 V K/ 的某一组基 1 2 , , , n    ， ( ) j i ij f   = 。则可以验证 j f 构成上述线性空间的一组基。 定义 由数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体构成的线性空间称为 V 的对 偶空间，记为  V ； 5.1.2 双线性函数 1、双线性函数的定义 定义 设 V 为数域 K 上的线性空间， f V V K :  → 为映射，满足 i）、 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( , ) ( , ) ( , )        + = + ； ii）、 1 1 2 2 1 1 2 2 f l l l f l f ( , ) ( , ) ( , )        + = + ， 其中 1 2 1 2 1 2 1 2 k k l l K V , , , , , , , , ,         。则称 f 为 V 上的一个双线性函数。 2、双线性函数在给定基下的矩阵 设 1 2 , , , n    为 V 上的一组基， f V V K :  → 为双线性函数，    , V ，设 1 1 2 2 n n     = + + + x x x ； 1 1 2 2 n n     = + + + y y y ，则

f(a,m)=八①∑x∑y)=∑∑xf(E,) f(s1,E1)f(E1,E2) f(e1,En)(y f(s2,E1)f(E2,E2) f(E2,En)y2 f(sn,E1)f(sn,E2)…f(En,n)八(yn 定义上述((E,1)(≤≤n1sj≤m)称为双线性函数f在E,2…下的矩 阵 引理设有集合A,B即映射∫:A→B和g:B→A,若g°f:A→A为恒同映射, 则∫单且g 推论∫和g同上,若go∫=id4且∫g=idg,则∫与g是一一对应(双射) 命题设E1,E2…,En为线性空间的一组基,定义映射@和y 9:{|:V×V→K, f is bilinear)→M2(K) En,8j 和 v:M(K)→{f:x→K, f is bilinear} f:T×V→K, f(e, E,) 则φ和v是一一对应 证明由于∫和v()在(E1,5)处取值相同,由∫双线性,得到f=voo(O), vo是恒同映射:又有qW=idln,k,于是由引理可知,为一一对应。证毕 命题数域K上的n维线性空间V上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K 上的n2维线性空间(与M(K)作为K上线性空间同构)。 3、双线性函数在不同基下的矩阵 设E1,E2…En和1,n2…n为V的两组基,∫为一个双线性函数,设∫在这两组基 下的矩阵分别为A和B,又设从E12E2,…,En到n1,n2…,7n的过渡矩阵为T,即 (22…n)=(E1,E2,…,En)T, va,B∈V,设a和B在n1,n2…,7n下的坐标分别为(x1,x2,…,x)和(1,y2…yn), 则a和B在E1,E2,…,En下的坐标分别为

( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) n n n n i i j j i i i j i j i j n n n n n n n n f f x y x y f f f f y f f f y x x x f f f y                         = = = = = =          =             定义 上述 ( f ( , )  i j ) (1 ,1 )     i n j n 称为双线性函数 f 在 1 2 , , , n    下的矩 阵。 引理 设有集合 A B, 即映射 f A B : → 和 g B A : → ，若 g f A A : → 为恒同映射， 则 f 单且 g 满。 推论 f 和 g 同上，若 idA g f = 且 idB f g = ，则 f 与 g 是一一对应（双射）。 命题 设 1 2 , , , n    为线性空间的一组基，定义映射  和    ( ) : | : , ( ), ( , ) . n i j f f V V K f is bilinear M K f f     → → 和   ( ) : ( ) | : , : , ( , ) . n ij i j ij M K f f V V K f is bilinear f V V K a f a    →  →  → 则  和  是一一对应。 证明 由于 f 和  ( ) f 在 ( , ) i j   处取值相同，由 f 双线性，得到 f f = ( ) ，   是恒同映射；又有 ( ) idM K n   = ，于是由引理可知，  为一一对应。证毕。 命题 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上的 2 n 维线性空间（与 M (K) n 作为 K 上线性空间同构）。 3、双线性函数在不同基下的矩阵 设 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,   n 为 V 的两组基， f 为一个双线性函数，设 f 在这两组基 下的矩阵分别为 A 和 B ，又设从 1 2 , , , n    到 1 2 , , ,   n 的过渡矩阵为 T ，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n = T ，    , V ，设  和  在 1 2 , , ,   n 下的坐标分别为 1 2 ( , , , )' n x x x 和 1 2 ( , , , )' n y y y ， 则  和  在 1 2 , , , n    下的坐标分别为

和T Vn f(a,B)=7 aIT )TAT (x1…x)B 双线性函数与矩阵一一对应,于是有: 命题设线性空间V上的双线性函数∫在一组基E12…En下的矩阵为A,由基 E1,…En到基n12…n的过渡矩阵为T,则∫在n1…7n下的矩阵为TT 4、矩阵的合同 定义设A,B∈M(K),若存在可逆矩阵T∈Mn(K),使得B=T'AT,则称A合同 于B 命题合同关系是M(K)上的一个等价关系 定义双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩

1 2 n x x T x             和 1 2 n y y T y             则 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ' ( , ) ' . n n n n n n x y y f T A T x x T AT x y y y x x B y               = =                       =       双线性函数与矩阵一一对应，于是有： 命题 设线性空间 V 上的双线性函数 f 在一组基 1 , , n   下的矩阵为 A ，由基 n  , , 1  到基   n , , 1  的过渡矩阵为 T ，则 f 在   n , , 1  下的矩阵为 T AT . 4、矩阵的合同 定义 设 , ( ) A B M K  n ，若存在可逆矩阵 ( ) T M K  n ，使得 B T AT = ' ，则称 A 合同 于 B 。 命题 合同关系是 ( ) M K n 上的一个等价关系。 定义 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩