第一学期第七次课 第二章§3线性方程组的理论课题 311齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组 aux 0. =0 aix.+a 令 则上述方程组即为 x,a,+x,a2 (其中0为零向量)。将(*)的解视为n维向量,则所有解向量构成K"中的一个向量组 记为S 命题S中的元素(解向量)的线性组合仍属于S(仍是解 证明只需要证明S关于加法与数乘封闭。设(k1,k2…k),(1,l2…ln)∈S,则 ka1+k2a2+…+knan=0,1a1+l2a2+…+lnan=0, 于是(k+)a1+(k2+2)x2+…+(kn+lnan=0,故(k+l1,k2+l2…kn+ln)∈S;又因为 k∈K,ka1+kk2a2+…+kan=0,所以(妩1,kk2…欣n)∈S。证毕。 定义(线性方程组基础解系)齐次线性方程组(*)的一组解向量η,n2…η,如果满 足如下条件: (1) n,2,…,线性无关 (2)方程组(*)的任一解向量都可被n,n2,…,7,线性表出 那么,就称n172…,7是齐次线性方程组(*)的一个基础解系 定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩 证明记线性方程组为xa1+x2a2+…+xnCn=0,其中
第一学期第七次课 第二章 §3 线性方程组的理论课题 3.1.1 齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 令 11 21 1 m1 a a a = ， 12 22 2 m2 a a a = ，…， 1 2 n n n mn a a a = ， 则上述方程组即为 1 1 2 2 0 n n x x x + + + = （*） （其中 0 为零向量）。将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 n K 中的一个向量组， 记为 S 。 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S （仍是解）。 证明 只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。设 1 2 ( , , , ) n k k k ， 1 2 ( , , , ) n l l l S ，则 1 1 2 2 0 n n k k k + + + = ， 1 1 2 2 0 n n l l l + + + = ， 于是 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n n k l k l k l + + + + + + = ，故 1 1 2 2 ( , , , ) n n k l k l k l S + + + ；又因为 k K ， 1 1 2 2 0 n n kk kk kk + + + = ，所以 1 2 ( , , , ) n kk kk kk S 。证毕。 定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量 1 2 , , , s 如果满 足如下条件： （1） 1 2 , , , s 线性无关； （2） 方程组（*）的任一解向量都可被 1 2 , , , s 线性表出， 那么，就称 1 2 , , , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。 定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩； 证明 记线性方程组为 1 1 2 2 0 n n x x x + + + = ，其中
a2? 设a1,a2…,∝n的秩为r,无妨设a1ax2…ar,为其极大线性无关部分组,则 ar1,-an+2,…-n皆可被a12a2…a,线性表出,即 存在k∈K(1≤i≤n-,1≤j≤r),使得 Kua,+k,a2 k, a a,2=k2,a,+k2a2+.+k,,a +k k 即k1(1+k2a2+…+k1a1+1·am=0,(=1,2,…n-r)。于是S中含有向量 7=(k1k12…,kr,1,0,…,0), 72=(k21,k2,…kr,O,1,…,O) 只需要证明n,n2…,n是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见,向量组 7,n2…,n线性无关。只需要再证明n1,n2…,n能线性表出任意一个β∈S即可。为 此,需要证明引理 引理设E12E2…E线性无关,δ可被E1,E2,…,E,线性表出,则表示法唯 证明 =k1E1+k2E2 l1+l22 两式相减,得到 (k1-l1)E1+(k2-l2)E2 (k-l)E1=0 由于E1E2,…,E线性无关,故各E;(1≤i≤D)的系数皆为零,于是k1=l1(),即δ的表示 法唯一。引理证毕 现在回到定理的证明。设(C12C2…,Cn)∈S,则有 a1+c2a2+…+c,ax+cr+1 (1) 考虑=Cn1+cn+22+…+Ccnn∈S,则形如(c,C2…Cn',C1,Cn2,…,Cn),且有 C + 'a
11 21 1 m1 a a a = ， 12 22 2 m2 a a a = ，…， 1 2 . n n n mn a a a = 设 1 2 , , , n 的 秩 为 r ，无妨设 1 2 , , , r 为 其 极 大 线 性 无 关 部 分 组 ， 则 1 2 , , , − − − r r n + + 皆可被 1 2 , , , r 线性表出， 即 存在 (1 , 1 ) ij k K i n r j r − ，使得 1 11 1 12 2 1 , r r r k k k − = + + + + 2 21 1 22 2 2 , r r r k k k − = + + + + , n n r 1 1 n r 2 2 n r r r − = k − + k − ++ k − 即 1 1 2 2 1 0, ( 1,2, ) i i ir r r i k k k i n r + + + + • = = − + 。于是 S 中含有向量 1 11 12 1 ( , , , ,1,0, ,0), r = k k k 2 21 22 2 ( , , , ,0,1, ,0), r = k k k ( , , , ,0, 0, ,1) n−r = k n−r 1 k n−r 2 k n−r r . 只需要证明 1 2 , , , n r − 是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组 1 2 , , , n r − 线性无关。只需要再证明 1 2 , , , n r − 能线性表出任意一个 S 即可。为 此，需要证明引理： 引理 设 1 2 , , , t 线性无关， 可被 1 2 , , , t 线性表出，则表示法唯一。 证明 设 1 1 2 2 1 1 2 2 t t t t k k k l l l = + + = + + + ， 两式相减，得到 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 t t t k l k l k l − + − + + − = . 由于 1 2 , , , t 线性无关，故各 (1 i t) i 的系数皆为零，于是 k l ( i) i = i ，即 的表示 法唯一。引理证毕。 现在回到定理的证明。设 1 2 ( , , , ) n c c c S ，则有 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r r r r r n n c c c c c c + + + + + + + = + + + + . （1） 考虑 r r n n r 1 1 2 2 c c c S = + + + + + − ，则 形如 1 2 1 2 ( ', ', , ', , , , ) r r r n c c c c c c + + ，且有 1 1 2 2 1 1 2 2 ' ' ' 0 r r r r r r n n c c c c c c + + + + + + + = + + + + . （2）
记β=-(caxn+cn2ax+2+…+cnan),则由引理,它可以被线性无关的向量组 a.唯一地线性表示,于是由(1)、(2)两式可知 于是n=(C1,C2,…,Cn)=Cnn+c+2n2+…+Cnn-。这就证明了n,n2…n是解向量组 的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕 基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的n-r各自有未知量,就可以获得它的基础解系。具体 地说,我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形,那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵 的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端,其余n-r个未知量移到等式 右端,再令右端n-r个未知量其中的一个为1,其余为零,这样可以得到n-r个解向量, 这n-r个解向量构成了方程组的基础解系。 例求数域K上的齐次线性方程组 x1+x2 x=0 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0, 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0 的一个基础解系 解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形: 1-12-10 4-263-4 0003-1 4-700000 于是r(4)=3,基础解系中有n-r(4)=5-3=2个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程 组 2 0 移项,得
记 1 1 2 2 ( ) r r r r n n c c c = − + + + + + + + ，则由引理，它可以被线性无关的向量组 1 2 , , , r 唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知 1 1 2 2 '; '; ' r r c c c c c c = = = ， 于是 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n r r n n r c c c c c c = = + + + + + − 。这就证明了 1 2 , , , n r − 是解向量组 的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。 基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的 n r − 各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体 地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵 的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余 n r − 个未知量移到等式 右端，再令右端 n r − 个未知量其中的一个为 1，其余为零，这样可以得到 n r − 个解向量， 这 n r − 个解向量构成了方程组的基础解系。 例 求数域 K 上的齐次线性方程组 1 2 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 0, 2 0, 4 2 6 3 4 0, 2 4 2 4 7 0. x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − = − + − = − + + − = + − + − = 的一个基础解系。 解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形： 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 1 1 2 1 0 0 2 2 2 1 4 2 6 3 4 0 0 0 3 1 2 4 2 4 7 0 0 0 0 0 − − − − − − − − − → − − − − − ， 于是 r (A) = 3 ，基础解系中有 n − r (A) = 5 − 3 = 2 个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程 组 1 2 4 5 2 3 4 5 4 5 3 0 , 2 2 2 0 , 3 0 . x x x x x x x x x x + − − = − − − = − = 移项，得 1 2 4 5 2 4 3 5 4 5 3 , 2 2 2 , 3 . x x x x x x x x x x + − = − = + =
得一个解向量 1,1,0,0) (2)、取x3=0,x5=1,得另一解向量 h=(6603 7,72即为方程组的一个基础解系,方程组的全部解可表示为 k1+k272(k1,k2∈K) 解毕 非齐次线性方程组的解的结构 设给定一个一般线性方程组 a1x1+a12x2+ b 于是其系数矩阵和增广矩阵分别为 和 b A= b2 a b 定理(数域K上线性方程组有解的判别定理)对于数域K上的线性方程组(*), 若r(4)<r(A),则方程组无解;r(A)=r(A)=n,则有唯一解;r(A)=r(A)<n,则有无 穷多解 证明写出线性方程组的向量形式 xa1+x2a2+…+xnn=B 其中
（1）、取 3 5 x x = = 1, 0 ，得一个解向量 1 = −( 1,1,1,0,0) ； （2）、取 3 5 x x = = 0, 1 ，得另一解向量 2 7 5 1 ( , ,0, ,1) 6 6 3 = . 1 2 , 即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为 ( , ) k11 + k22 k1 k2 K . 解毕。 非齐次线性方程组的解的结构 设给定一个一般线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ...... , ...... , ...... ...... . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = （*） 于是其系数矩阵和增广矩阵分别为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 和 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b = 。 定理 (数域 K 上线性方程组有解的判别定理) 对于数域 K 上的线性方程组（*）， 若 r (A) r (A) ，则方程组无解；r (A) = r (A) = n ，则有唯一解；r (A) = r (A) n ，则有无 穷多解。 证明 写出线性方程组的向量形式， 1 1 2 2 n n x x x + + + = ， 其中
b B bn 若r(4)<r(4),则由矩阵秩的定义,可知A列向量组的秩小于A列向量的秩,即向量组 a1,a2,…,an的秩小于向量组a1,a2,…an,B的秩。只需证明尸不可以被向量组 a1,a2,…an线性表出即可证明方程组无解。事实上,若a1,a2…an可以将β线性表出, 则向量组a1a2…an与a,α2…αn,β线性等价,则两个向量组的秩相等,矛盾于向量 组a2a2…an的秩小于向量组a12a2…,an2B的秩。所以a1,a2…,On不能将B线性表 出,方程组无解得证。 若r(A)=r(A),则a12a2…,an的极大线性无关部分组就是ax1,ax2…an,B的极大 线性无关部分组。于是B能被a1a2,…,Cn线性表出,即线性方程组有解。 任取线性方程组的一个解向量,记为7,对于线性方程组的任意一个解向量n,7-7 是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组(称为线性方程组(*)的导出方程组)的 解向量。事实上,可以分别将n和7带入(*),再将对应方程相减,即可证明上述结论。 反过来,容易证明,对于导出方程组的每一个解向量y,n+y都是线性方程组(*)的解 向量。以T记导出方程组的解向量组成的集合,则(*)的解为 +y|y∈r} 详言之,记导出方程组的基础解系为%1,y2…,yn,则(*)的解为 K,n+k,y2 nr,(Vk∈K,i=1 如果r(A)=r(A)=n,则T={0},故方程组(*)有唯一解;如果r(A)=r(A)<n,则T 为无穷集合,故方程组(*)有无穷多解
1 2 , ( 1,2, , ) i i i mi a a i n a = = ， 1 2 m b b b = 。 若 r (A) r (A) ，则由矩阵秩的定义，可知 A 列向量组的秩小于 A 列向量的秩，即向量组 1 2 , , , n 的 秩 小于 向 量组 1 2 , , , , n 的 秩 。 只需 证 明 不 可 以被 向量 组 1 2 , , , n 线性表出即可证明方程组无解。事实上，若 1 2 , , , n 可以将 线性表出， 则向量组 1 2 , , , n 与 1 2 , , , , n 线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量 组 1 2 , , , n 的秩小于向量组 1 2 , , , , n 的秩。所以 1 2 , , , n 不能将 线性表 出，方程组无解得证。 若 r (A) = r (A) ，则 1 2 , , , n 的极大线性无关部分组就是 1 2 , , , , n 的极大 线性无关部分组。于是 能被 1 2 , , , n 线性表出，即线性方程组有解。 任取线性方程组的一个解向量，记为 0 ，对于线性方程组的任意一个解向量 ， − 0 是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的 解向量。事实上，可以分别将 和 0 带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。 反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量 ， 0 + 都是线性方程组（*）的解 向量。以 T 记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为 0 + | T. 详言之，记导出方程组的基础解系为 1 2 , , , n r − ，则（*）的解为： 0 1 1 2 2 , ( , 1,2, , ) n r n r i k k k k K i n r + + + + = − − − . 如果 r (A) = r (A) = n ，则 T = {0} ，故方程组（*）有唯一解；如果 r (A) = r (A) n ，则 T 为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解
