第一学期第四次课 第二章向量空间与矩阵 第一节m维向量空间 211向量和m维向量空间的定义及性质 定义(向量)设K是一个数域。K中m个数a1,a2…,an所组成的一个m元有序数 组称为一个m维向量 (a,∈K,i=1,2,…,m) 称为一个m维列向量:而 a'=(a1,a2…,an') 称为一个m维行向量。 我们用Km记集合{(a1',a2,am")a1∈K,i=1,2,…,m} 定义(Km中的加法和数量乘法)在Km中定义加法如下:两个向量相加即相同位置处 的数相加,即 b b 在Km定义数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置,即对于某个k∈K, ke 定义(m维向量空间)集合Km和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数 域K上的m维向量空间。 命题(向量空间的性质)向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质(其中K 表示数域,a,B,y表示K中的向量) (1)加法结合律:(a+B)+y=a+(B+y) (2)加法结合律:a+B=B+a
第一学期第四次课 第二章 向量空间与矩阵 第一节 m 维向量空间 2.1.1 向量和 m 维向量空间的定义及性质 定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a a am , ,......, 1 2 所组成的一个 m 元有序数 组称为一个 m 维向量； = m a a a ... 2 1 （ i K,i =1,2,......,m ） 称为一个 m 维列向量；而 ' ( ' , ' ,......, ') = a1 a2 am 称为一个 m 维行向量。 我们用 m K 记集合 {( ' , ' ,......, ')| , 1,2,......, } a1 a2 am ai K i = m 。 定义（ m K 中的加法和数量乘法） 在 m K 中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处 的数相加，即 + + + = + m m am bm a b a b b b b a a a ... ... ... 2 2 1 1 2 1 2 1 . 在 m K 定义数量乘法为用 K 中的数去乘向量的各个位置，即对于某个 k K ， = m m ka ka ka a a a k ... ... 2 1 2 1 定义（ m 维向量空间） 集合 m K 和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数 域 K 上的 m 维向量空间。 命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中 K 表示数域， , , 表示 m K 中的向量）： （1） 加法结合律： ( + ) + = + ( + ) ； （2） 加法结合律： + = +
(3)向量(0,0.,0)(记为0)具有性质:对于任意a,有0+a=a+0 (4)a=(a1,a2,…,an),令-a=(-a1-a2,…-an),称其为a的负向量,它满 足a+(-a)=(-a)+a=0 (5)对于数1,有1a=a (6)对K内任意数k,l,有(kOa=k(la) (7)对K内任意数k,1,有(k+Da=ka+la; (8)对K内任意数k,有k(a+B)=ka+kB 212线性组合和线性表出的定义 定义(线性组合)设a1,a2,…,a,∈Km,k1,k2,…k,∈K,则称向量 k1a1+k2a2+……ka,为向量组a1,a2…,a,的一个线性组合 定义(线性表示)设a1,a2,…,a1,B∈Km。如果存在k1,k2…k,∈K,使得 B=k,a,+k2a2 则称B可被向量组a1,a2…,a,线性表示 213向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 定义(线性相关与线性无关)设α1,α2…,a,∈Km。如果存在不全为零的 k1,k2,…,k,∈K,使得 a1+k,a,+ 0 则称a1,2…a,线性相关,否则称为线性无关 注意:根据这个定义,a1,a2…,C,线性无关可以表述如下:若k1,k2…,k,∈K,使 得k1a1+k2a2+……+ka=0,则必有k1=k2=…=k,=0。 如果 2n 显然a1,C2…,a,线性相关当且仅当齐次线性方程组 a11+a12x2+…+a1nx=0 tax+ 0 有非零解,《12a2,…线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解
（3） 向量（0,0,……,0）（记为 0 ）具有性质：对于任意 ，有 0 + = + 0 ； （4） ( , , , ) = a1 a2 am ，令 ( , , , ) − = −a1 −a2 −am ，称其为 的负向量，它满 足 + (−) = (−) + = 0 ； （5） 对于数 1，有 1 = （6） 对 K 内任意数 k , l ，有 (kl) = k(l) ； （7） 对 K 内任意数 k , l ，有 (k + l) = k + l ； （8） 对 K 内任意数 k ，有 k( + ) = k + k 。 2.1.2 线性组合和线性表出的定义 定 义 （线性组合） 设 s , , , 1 2 m K ， k1 ,k2 , ,ks K ，则称向量 s s k11 + k2 2 +......k 为向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合。 定义（线性表示） 设 s , , , 1 2 ， m K 。如果存在 k1 ,k2 , ,ks K ，使得 s s = k11 + k22 +......+ k ， 则称 可被向量组 s , ,......, 1 2 线性表示。 2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 定义 （线性相关与线性无关） 设 s , , , 1 2 m K 。如果存在不全为零的 k1 ,k2 , ,ks K ，使得 k11 + k22 +......+ ks s = 0 ， 则称 s , , , 1 2 线性相关，否则称为线性无关。 注意：根据这个定义， s , , , 1 2 线性无关可以表述如下：若 k1 ,k2 , ,ks K ，使 得 k11 + k22 +......+ ks s = 0 ，则必有 k1 = k2 == ks = 0 。 如果 = = = mn n n m m a a a a a a a a a 2 1 1 2 22 12 2 1 21 11 1 , , , ， 显然 s , , , 1 2 线性相关当且仅当齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ...... 0, ...... 0, ...... ...... 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 有非零解， s , , , 1 2 线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解
命题设a1,a2…,an∈Km,则下述两条等价 …an线性相关; 2)某个a,可被其余向量线性表示 证明1)→2).由于a1,∝2…,∝n线性相关,故存在不全为零的n个数 k1,k2,…kn∈K,使得 k,a,+k, +k.a.=0 不妨设某个k1≠0。于是,由向量空间的性质有 a1=(-k1/k1x1+(-k2/k1)2+…+(-k1/k)a-1+(-k/k1)a1+…+(-kn/k)an 2)→1).如果某个a1可被其余向量线性表示,即存在k1,…k1,k12…,k∈K,使 a1=k2a1+k2a2+…+k-11+k+(1+…+knan 由向量空间的性质有 ka1+k2a2+…+k-a-1+(-1)x1+k1a1+1+…+knan=0 于是a1,a2…an线性相关。证毕 推论设a1,a2,…,an∈K",则下述两条等价 线性无关 2)任一a1不能被其余向量线性表示
命题 设 m 1 , 2 , , n K ，则下述两条等价： 1） n , , , 1 2 线性相关； 2）某个 i 可被其余向量线性表示。 证 明 1） 2 ） . 由 于 n , , , 1 2 线性相关，故存在不全为零的 n 个 数 k1 , k2 , kn K ，使得 k11 + k2 2 +......+ kn n = 0。 不妨设某个 ki 0 。于是，由向量空间的性质有 i i i i i i i i i n i n = (−k1 / k )1 + (−k2 / k ) 2 ++ (−k −1 / k ) −1 + (−k +1 / k ) +1 ++ (−k / k ) 2） 1）. 如果某个 i 可被其余向量线性表示，即存在 k1 , ki−1 ,ki+1 , ,kn K ，使 得 i i i i i n n = k11 + k2 2 ++ k −1 −1 + k +1 +1 ++ k . 由向量空间的性质有 k11 + k2 2 ++ ki−1i−1 + (−1)i + ki+1i+1 ++ kn n = 0 . 于是 n , , 1 2 线性相关。证毕。 推论 设 m 1 , 2 , , n K ，则下述两条等价： 1） n , , 1 2 线性无关； 2）任一 i 不能被其余向量线性表示
