s海工程本大嘮 (勤奋、求是、创新、奉献) 2004~2005学年第1学期期末考试答案20051 原自然班代码 选课班代码 学号 姓名 《高等数学(-)》课程试卷 (本卷考试时间120分钟) 五六|总得分 应得分121分9分6分6分6分16分6分7分7分7分12分7分100分 得分 、填空题(每小题3分,共21分) 1.设f(x)21+x2+x(x),则「。f(x)d t2 dt 2.极限lm x→0 3.积分∫(x+1osxr= 4.已知a=3,|b=2,a⊥b,则(a+2b)×(a-2b) 24 5.过点M(,1)且与直线x1=y-2=三+垂直的平面是x-2y+32-2=0 高数(一)A卷第1页共6页
高数（一） A 卷 第 1 页 共 6 页 （勤奋、求是、创新、奉献） 2004 ～ 2005 学年第 1 学期期末考试答案 2005.1 原自然班代码 选课班代码 学号____ ____ 姓名 ___ _ __ 《高 等 数 学 （一）》课程试卷 A （本卷考试时间 120 分钟） 大 题 一 二 三 四 五 六 总得分 小 题 1 2 3 4 5 1 2 3 应得分 21 分 9 分 6 分 6 分 6 分 6 分 6 分 7 分 7 分 7 分 12 分 7 分 100 分 得 分 一、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 1. 设 x f x dx x f x ( ) 1 1 ( ) 1 0 2 + + = ，则 = f (x)dx 1 0 2 . 2. 极限 = → 3 0 2 0 sin lim x t dt x x 3 1 . 3. 积分 − + / 2 / 2 ( 1) cos x xdx = 2 . 4. 已知 a b a b =3, =2, ⊥ ，则 | (a + 2b) (a − 2b)| = 24 . 5. 过点 (1, 1,1) M0 且与直线 3 1 2 2 1 1 + = − − = x − y z 垂直的平面是 x − 2y + 3z − 2 = 0
6.设y= arctan是f(x)的一个原函数,则jf(x)ak= e arctan+C 7.平面曲线{x+4y=1绕x轴旋转一周所得曲面方程是x2+4y2+42=1 二、单项选择题(每小题3分,共9分) 设函数f(x)在a,b上连续,F(x)=J()d,则以下结论中错误的是(D) A.F(x)在{a,b上连续;B.F(x)在[a,b上可导且F(x)=f(x) C. f(dt=F(6): D.F(x)是f(x)在a,b]上唯一的原函数 D.以上都不对 x=1+2t 3.直线L1:{y=-1+t与直线L2 x-1y+1z-2 1(B) A.重合; B.垂直相交 C.平行不重合; D.垂直不相交 三、计算题(每小题6分,共30分) 1.设y=yx3hx+ Arcsin x +ln5,求 dy d 解 dv 3 -e arcs x+e (5分) √x(3hx+1)+e arcsin x 6分) 高数(一)A卷第2页共6页
高数（一） A 卷 第 2 页 共 6 页 6. 设 y e x x = arctan 是 f (x) 的一个原函数， 则 = f (x) dx e x C x arctan + . 7. 平面曲线 = + = 0 4 1 2 2 z x y 绕 x 轴旋转一周所得曲面方程是 4 4 1 2 2 2 x + y + z = . 二、单项选择题（每小题 3 分，共 9 分） 1. 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续， F x f t dt x a ( ) ( ) = ，则以下结论中错误的是（ D ）． A． F(x) 在 [a, b] 上连续； B． F(x) 在 [a, b] 上可导且 F(x) = f (x) ； C． f (t)dt F(b) b a = ； D． F(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上唯一的原函数． 2. ( D ) 1 1 1 2 = − dx x . A．2； B．− 2 ； C．0； D．以上都不对. 3．直线 = + = − + = + z t y t x t L 2 3 1 1 2 : 1 与直线 1 2 1 1 2 1 : 2 − = + = − x − y z L （ B ）. A．重合； B．垂直相交； C．平行不重合； D．垂直不相交. 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1. 设 ln 5 arcsin ln 3 = + + x e x y x x ，求 dx dy . 解 2 1 1 ln arcsin 2 3 x x x x e x e dx dy x x − = + − + − − ，……… ….(5 分) − − = + + − x x x x e x arcsin 1 1 ln 1) 2 3 ( 2 ．…………….(6 分)
2.设∫”d=acmx+C,求f(x) f(x)1 (3分) f(x)= (4分) 1+x f"(x) (6分) 3.求 x+ x COS x 解 原式=(-+ x cos x)dtx, (2分) Arcos xdx=xd(sin x)=xsin x- sin xdr =x sin x+ cos x+C (5分) 所以, 原式=h|x|+xsnx+cosx+C (6分) 4.计算 解令√2x-1=1,则x=(x2+1),d=t, (2分) dx=Cte'dt=L id(e) (4分) 高数(一) 第3页共6页
高数（一） A 卷 第 3 页 共 6 页 2. 设 dx = x + C x f x arctan ( ) , 求 f (x) . 解 2 1 ( ) 1 x x f x + = ， …………………(3 分) 2 1 ( ) x x f x + = , ……………….(4 分) 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 2 ( ) x x x x x f x + − = + + − = ． …………(6 分) 3. 求 + dx x x x x 2 3 cos . 解 原式= + x x dx x cos ) 1 ( ， …………………(2 分) dx = x +C x ln | | 1 ， x xdx = x d x = x x − xdx = x x + x + C cos (sin ) sin sin sin cos ． ………..(5 分) 所以， 原式= ln | x | +x sin x + cos x + C ．………………………………(6 分) 4．计算 e dx 2x 1 1 1/ 2 − . 解 令 2x −1 = t ，则 ( 1) 2 1 2 x = t + ，dx = tdt，………….(2 分) e dx 2x 1 1 1/ 2 − = te dt t 1 0 = 1 0 ( ) t td e …………………….(4 分) = − 1 0 1 0 te e dt t t ( 1) 1 1 0 = e − e = e − e − = t ． …………(6 分)
5.设石=7+1,b=-27+k,求l+b和a×b 解a+b=1-j+k={1-11} (2分) +b=√F+(-+1=3, (4分) b=110={1-1 (6分) 四、计算题(每小题7分,共21分) 1已知f(x=x.x,求(x-2 解「f( f(dt (3分 「==3(-(2)=3 (4分) ∫et=fde)=tel-Jet (6分) 原式=3+e (7分) 高数(一)A卷第4页共6页
高数（一） A 卷 第 4 页 共 6 页 5．设 a i j b j k = + , =− 2 + ，求 a b a b + 和 ． 解 a + b = i − j + k = {1,−1,1} ， ………………….(2分) 1 ( 1) 1 3 2 2 2 a + b = + − + = ， ……………….(4 分) {1, 1, 2} 0 2 1 1 1 0 = − − − = i j k a b =i j k − − 2 ．…………(6 分) 四、计算题（每小题 7 分，共 21 分） 1. 已知 = , 1 , 1 ( ) 2 xe x x x f x x ， 求 f (x 2)dx 4 0 − . 解 f (x 2)dx 4 0 − x − 2 = t = + − − 2 1 2 2 1 2 2 f (t)dt t dt te dt t ．…………(3 分) (1 ( 2) ) 3 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 2 = = − − = − − t dt t ． ……………………(4 分) = 2 1 2 1 ( ) t t te dt td e =te e dt t t − 2 1 2 1 = 2 1 2 2 t e − e − e = 2 2 2 2e − e − (e − e) = e ， …………….(6 分) 原式= 2 3 + e ． ……………………………………….(7 分)
2.已知动点M(x,y,z)到点(,1,1)的距离等于它到平面z-1=0的距离的2倍,求点M 的轨迹方程 解由题意得x-1)2+(y-12+(2-1)2 (4分) 即(x,y,x)满足 (x-1)2+(y-1)2+(2-1)2=4(z-1)2, (6分) 或 3(z-1)2=(x-1)2+(y-1) M点的轨迹是以(1,1)为顶点的圆锥面 (7分) 3.求直线L:{2x-y+32=1 x-2y-32-9=0在平面x:x-y+2z=1上的投影直线的方程 解过L的平面束为(2x-y+3x-1)+(x-2y-3z-9)=0, 即 (2+4)x+(-1-24)y+(3-3)2+(-1-94)=0(*) (3分) 从其中求出与x垂直的平面,为此需 (2+)·1+(-1-2)·(-1)+(3-3)·2=0 整理得,3λ=9,A=3 (5分) 代入(*)得到过L且与x垂直的平面x1:5x-7y-62-28=0 所以,L在上的投影直线为:{-y+2=-1=0 (7分 7y-6z-28=0 高数(一) 第5页共6页
高数（一） A 卷 第 5 页 共 6 页 2. 已知动点 M ( x, y, z ) 到点 (1, 1, 1) 的距离等于它到平面 z −1= 0 的距离的 2 倍，求点 M 的轨迹方程. 解 由题意得 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2 2 − − + − + − = z x y z …………………….(4 分) 即 (x, y,z) 满足 2 2 2 2 (x −1) + (y −1) + (z −1) = 4(z −1) ，………………..(6 分) 或 2 2 2 3(z −1) = (x −1) + (y −1) ， M 点的轨迹是以 (1,1,1) 为顶点的圆锥面． ………………………………..(7 分) 3. 求直线 − + = − − − = − + = 2 1 2 3 9 0 2 3 1 : x y z x y z x y z L 在平面 ： 上的投影直线的方程． 解 过 L 的平面束为 (2x − y + 3z −1) + (x − 2y − 3z − 9) = 0 ， 即 (2 + )x + (−1− 2) y + (3 − 3)z + (−1− 9) = 0 (*)，……………(3 分) 从其中求出与 垂直的平面，为此需: (2 + )1+ (−1− 2)(−1) + (3 − 3) 2 = 0 整理得， 3 = 9， = 3． ………………………………………(5 分) 代入(*)得到过 L 且与 垂直的平面 1：5x − 7y − 6z − 28 = 0 ． ………(6 分) 所以， L 在 上的投影直线为： − − − = − + − = 5 7 6 28 0 2 1 0 x y z x y z ． ………………….(7 分)
五、[12分设直线y=kx(00, 所以,k=√2是极小值点,也是最小值点 (11分) 因此,(S1+S2)mn=2 (12分) 六、[7分设函数f(x)在01上连续,在(0,1)内可导,且k。f(x)d=f()(k>1为常 数).求证:至少存在一点c∈(0,1),使得f(c)=0 解因为(x)在,1上连续,由积分中值定理,在0.内存在使得[(x)k=(2 于是 f(5)=k.f(x)dx=f(D) (4分) 又f(x)在[1上连续,(,1)内可导,且f(2)=f(1),因此,由罗尔定理,彐c∈(51)c(0,1), 使得f'(c)=0 (7分) 高数(一)A卷第6页共6页
高数（一） A 卷 第 6 页 共 6 页 五、[12 分] 设直线 y = kx (0 k 1) 与抛物线 2 y = x 所围成的平面图形的面积为 1 S ，它 们与直线 x =1 所围成的平面图形的面积为 2 S ． （1）计算由 y = kx 与 2 y = x 所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求常数 k 的值, 使得 S1 + S2 最小，并求 S1 + S2 的最小值． 解 (1) y = kx 与 2 y = x 的交点为 (0,0),( , ) 2 k k ， …………………(1 分) 所以 V kx x dx k x = − 0 2 4 [( ) ] = 5 0 5 0 2 3 15 2 5 1 3 1 k x x k k k = − ． ………(4 分) (2) 3 0 2 3 3 1 6 1 3 1 2 1 S (k x x )dx k k k k = − = − = ， (2 3 ) 6 1 (1 ) 2 (1 ) 3 1 ( ) 2 3 1 2 3 2 k k k k S x k x dx k k = − = − − − = − + ， (2 3 2 ) 6 1 3 1 2 S + S = − k + k .……………………………………..(8 分) 记 3 I(k) = 2 − 3k + 2k ，则 3 6 0 2 = − + k = dk dI ，解得 2 2 k = ，负值舍去， 2 2 k = 是唯一的驻点。 又 ) 6 2 0 2 2 I(k) = 12k,I( = ， 所以， 2 2 k = 是极小值点，也是最小值点。…………………………………(11 分) 因此， ( ) (2 2) 6 1 ) 2 2 ( 6 1 1 2 min S + S = I = − ……………………(12 分) 六、[7 分] 设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 ( ) (1) 1/ 0 k f x dx f k = (k 1 为常 数）．求证：至少存在一点 c(0,1) ，使得 f (c) = 0． 解 因为 f (x) 在[0，1]上连续，由积分中值定理，在 ] 1 [0, k 内存在 使得 = k k f x dx f 1 0 1 ( ) ( ) ， 于是 = = k f k f x dx f 1 0 () ( ) (1) . ………………………………..(4 分) 又 f (x) 在 [ ,1] 上连续， (,1) 内可导，且 f ( ) = f (1) ，因此，由罗尔定理， c (,1) (0,1) ， 使得 f (c) = 0 . ……………………………………………(7 分)
