高等数学()试题参考答案与评分标准广义积分 专业本科 期末考试 日期200419 单项选择〔每小题3分,共9分) 1.设f(x)的一个原函数是mnx,则∫f(x)d=(A) 班级 A, sin x+Ct B. -sin x+Ci C. cosx+CI D. -cosx+e 2.以下结论中正确的是(D) 234 A.设积分j(x)d存在,则存在ela,使得j(x)=f((b-a 应得分21分9分 6分6分6分7分7分 一、填空题(每小题3分共21分 C.设有无穷级数n,如果极限如存在且小于,则级数一定收敛 设f(hx)=x2+ arctan x,则f(x)=2e2x+ D.数项级数∑收敛 3.设在闭区间[a,b]上连续函数f(x)>0且单调递增,曲线y=f(x)上凸,令 2.极限l St=lf(x)dr S,=f(b(b-a) s=2(a)+f(b)b-a) 3.设函数f(x)=e山,xe(-m,+),则曲线y=f(x)的拐点是(.0).则根据图形判断可得(C A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S3<S1<S2 4.积分∫(x+m2x)osxd 三、计算则(每小题6分,共30分) 5.设连续曲线的极坐标方程是r=r(B∈{a,阴,则此曲线的长度是 1.设y=√x3 arcsin x+ vr e cose'-e'sme' s=Jr(0)+r(0)de x 2 的收敛半径R mx-x、c (6分) 高数(一)第1页共3页
高数（一） 第 1 页 共 3 页 高等数学(一)试题参考答案与评分标准 专业 本科 期末考试 日期 2004.1.9 班级 ______________ 学号 ______________ 姓名 ____________________ 大 题 一 二 三 四 五 六 小 题 1 2 3 4 5 1 2 3 应得分 21 分 9 分 6 分 6 分 6 分 6 分 6 分 7 分 7 分 7 分 12 分 7 分 得 分 一、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 1. 设 f (ln x) x arctan x 2 = + ，则 x x x e e f x e 2 2 1 ( ) 2 + = + . 2. 极限 = + − → x x e ax x sin 2 1 lim 2 0 2 + 2a . 3. 设函数 f x e dt x t − = 0 / 2 2 ( ) , x (− , + ) , 则曲线 y = f (x) 的拐点是 (0, 0) . 4. 积分 − + / 2 / 2 2 ( sin ) cos x x xdx = 3 2 . 5. 设 连续 曲 线的 极坐 标方 程 是 r = r( ), [, ] ， 则此 曲 线的 长度 是 s r ( ) r ( ) d 2 2 = + . 6. 幂级数 n=0 5 n n n x 的收敛半径 R = 5 . 7. 广义积分 + + 0 2 2 e x dx = 2e . 二、单项选择题（每小题 3 分，共 9 分） 1. 设 f (x) 的一个原函数是 sin x ，则 f (x) dx = （ A ）. A. sin x +C ； B. −sin x +C ； C. cos x +C ； D. − cos x +C. 2. 以下结论中正确的是（ D ）. A. 设积分 f x dx b a ( ) 存在，则存在 [ a, b] ，使得 f (x) dx f ( )(b a) b a = − ； B. (1 1) 0 2 1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 = − = − − = − − x dx x ； C. 设有无穷级数 n = 1 n u ， 如果极限 n n n u u 1 lim + → 存在且小于 1 ，则级数一定收敛； D. 数项级数 =1 3 sin n n n 收敛. 3．设在闭区间 [a, b] 上连续函数 f (x) 0 且单调递增，曲线 y = f (x) 上凸. 令 S f x dx b a ( ) 1 = ， ( )( ) S2 = f b b − a ， [ ( ) ( )]( ) 2 1 S3 = f a + f b b − a , 则根据图形判断可得（ C ）. A. S1 S2 S3 ； B. S2 S1 S3 ； C. S3 S1 S2 ； D. S3 S2 S1 . 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1. 设 ln 5 sin arcsin 3 = + + x x e e y x x ，求 dx dy . 解 x x x x x e e e e e x x x x dx dy 2 2 2 3 cos sin 1 arcsin − + − = + x x x e e e x x x x sin cos 1 arcsin 2 3 + − − = + . （6 分）
2.求[+如mxa 5.将函数f(x)=xh(1+x)展开成x的幂级数,并指出展开式成立的区间 解由 解原式=x-mmxd1 (2分) H(1+x)=x-2+3-…+(-1n+…,xe(- (3分) arctan+[一 (3分) 得f(x)=xh(1+x) =5--arctanx+ (÷ 3-…+p- x∈(-1,1 ---arctanx+hIx1--h1+x)+C (65) 3.设连续函数f(x)=+x+x/(x),求/x) 四、计算题(每小题7分,共21分) 解令=[(x),则 (1分) =(xh=1+x如+pa (2分) 1.已知f(=1(2-x)2,x>1 x51·求Fx)=o 2(1+x)+21=h2+21 解当x51时,F(x)=r2dh=-x3 解得1=h2,所以f(x)=1+x+xh2 (6分) 当x>时,F(x)=x2+(2- 1+0052 dinx (2分) =3e2-xe2-2e+ (6分) =-xtanx 4分) (6分) 3e2-xe2-2e+-,x>1 高数(一)第2页共3页
高数（一） 第 2 页 共 3 页 2. 求 + dx x x x 2 3 arctan . 解 原式 = − x xd x 1 arctan 2 2 （2 分） dx x x x x x + = − + (1 ) 1 arctan 1 2 2 2 （3 分） dx x x x x x x + = − + − 2 2 1 1 arctan 1 2 （5 分） x x x C x x = − + − ln(1+ ) + 2 1 arctan ln | | 1 2 2 2 （6 分） 3. 设连续函数 x f x dx x x f x ( ) 1 ( ) 1 0 2 + + = , 求 f (x) . 解 令 I f (x)dx 1 0 = ，则 （1 分） = = I f (x)dx 1 0 dx I xdx x x + + 1 0 2 1 0 1 （2 分） x I 2 1 ln(1 ) 2 1 1 0 2 = + + I 2 1 ln 2 2 1 = + （4 分） 解得 I = ln 2 ，所以 ln 2 1 ( ) 2 x x x f x + + = . （6 分） 4．计算 dx x x 1 cos2 / 4 0 + . 解 原式 dx x x 2 / 4 0 2cos = x d tan x 2 1 / 4 0 = （2 分） 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 / 4 0 − （4 分） 2 2 ln 2 1 8 ln cos 2 1 8 4 0 = + = + x （6 分） 5．将函数 f (x) = x ln(1+ x) 展开成 x 的幂级数，并指出展开式成立的区间. 解 由 + = − + − + − − + n x x x x x n n 1 2 3 ( 1) 2 3 ln(1 ) ， x (−1, 1]， （3 分） 得 f (x) = x ln(1+ x) = − + − + − + + − n x x x x n n 1 1 3 4 2 ( 1) 2 3 ， x (−1, 1]. （6 分） 四、计算题（每小题 7 分，共 21 分） 1. 已知 − = (2 ) , 1 , 1 ( ) 2 x e x x x f x x ， 求 F x f t dt x ( ) ( ) 0 = . 解 当 x 1 时， 2 3 0 3 1 F(x) t dt x x = = ； （2 分） 当 x 1 时， F x x dx t e dt t x ( ) (2 ) 1 2 1 0 = + − （4 分） x t t e te 1 (3 ) 3 1 = + − （5 分） 3 1 = 3e − xe − 2e + x x . （6 分） − − + = , 1 3 1 3 2 , 1 3 ( ) 3 e x e e x x x F x x x （7 分）
2.求幂级数∑一的收效区间与和函数 五、2分1过原点作指数曲线y=e”的切线,求:1.切点的坐标与切线的方 程:2.切线、指数曲线和y轴所围平面图形的面积:3.该平面图形绕x轴旋转一周 解,回以=3,收半轻 所得旋转体的体积 解1.设切点为(xa,y),则切线斜率k=-e,切线方程为y=-ex 当x=-1时,对应级数为立,收敛:当x=1时,对应级数为之1 解方程组{=C 发散故收敛区间为-}3 y=e,所以切点为(-1,e),切线方程 3分) 是y (4分) 令S(x=2m,则S()=2()=13x,x∈(-33.(5分) (8分) 因为S(0) 3. I= re ar-x(-er)'dr S(x=F)=-xb=k1-3x),xe(-33 由于和函数S(x)在x=-1点连续且原缓数在该点收敛,因此 21-3x=2+( (12分) ∑=-1(1-3x,xe|-1, (7分) 六、口7分设函数f(x)在{a,b上连续且非负.证明:存在x0∈{a,b1,使得直 线x=x将以[a,b1为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积二等分 3.设a为常数,1a≤1.讨论级数∑(-1的效散性,指出在什么情况下, 证设F(x)=m,xen,则F(x)在a,上连续,且F(x)=f(x)20, 该级数绝对收敛、条件收敛、发散 表明F(x)在{a,b上单调不减因此,F(x)在a,b上的最大值最小值分别为 解1n1=1,由 lal=lal. (3分) m0s(drs M=fr(x)d x 可见,当a|<1时,级数绝对收敛 m=05立(xxsJ(x)dx=M (6分) 当a=1时,级数为∑(-1) 收敛且条件收敛 由介值定理,存在x{a,b1,使得F(x)=1/(xdx.直线x=x平分曲边梯形 当时,数为2空,发 的面积 (7分) 高数(一)第3页共3页
高数（一） 第 3 页 共 3 页 2. 求幂级数 n x n n n 3 1 = 的收敛区间与和函数. 解 n a n n 3 = ， 3 1 3 3 lim lim 1 1 = + = + → + → n n n n n n n a n a ，收敛半径 3 1 R = . 当 3 1 x = − 时，对应级数为 n n n ( 1) 1 − = ，收敛；当 3 1 x = 时，对应级数为 n n 1 1 = ， 发散. 故收敛区间为 ) 3 1 , 3 1 [− . （3 分） 令 n x S x n n n 3 ( ) 1 = = ，则 x S x x n n 1 3 3 ( ) 3 (3 ) 1 1 − = = − = ， ) 3 1 , 3 1 x (− . （5 分） 因为 S(0) = 0 ，所以 ln(1 3 ) 1 3 3 ( ) ( ) 0 0 dx x x S x S x dx x x = − − − = = ， ) 3 1 , 3 1 x (− . 由于和函数 S(x) 在 3 1 x = − 点连续且原级数在该点收敛，因此 n x n n n 3 1 = = −ln(1− 3x) ， ) 3 1 , 3 1 x [− . （7 分） 3. 设 a 为常数， | a | 1. 讨论级数 n a n n n ( 1) 1 − = 的敛散性，指出在什么情况下， 该级数绝对收敛、条件收敛、发散. 解 n a u n n | | | | = ， 由 | | | | 1 lim | | | | lim 1 a a n n u u n n n n = + = → + → ， （3 分） 可见，当 | a | 1 时，级数绝对收敛； 当 a =1 时，级数为 n n n 1 ( 1) 1 − = ，收敛且条件收敛； 当 a = −1 时，级数为 n n 1 1 = ，发散. （7 分） 五、[12 分] 过原点作指数曲线 x y e − = 的切线，求：1. 切点的坐标与切线的方 程；2. 切线、指数曲线和 y 轴所围平面图形的面积；3. 该平面图形绕 x 轴旋转一周 所得旋转体的体积. 解 1. 设切点为 ( , ) 0 0 x y ，则切线斜率 0 x k e − = − ，切线方程为 y e x x − 0 = − . 解方程组 = − = − − 0 0 0 0 0 y e x y e x x ，得 x = − y = e 0 0 1, . 所以切点为 (−1, e) ，切线方程 是 y = − e x . （4 分） 2. 1 2 1 2 1 [ ( )] 0 1 2 0 1 = − = − − = − + − − − − A e ex dx e ex e x x ； （8 分） 3. V e dx ex dx x 2 0 1 2 0 1 = − (− ) − − − 2 0 1 2 3 0 1 2 ) 3 1 2 ( 3 2 1 2 e e x e x = − − = − + − − − − . （12 分） 六、[7 分]设函数 f (x) 在 [a, b ] 上连续且非负. 证明：存在 [ , ] x0 a b ，使得直 线 0 x = x 将以 [a, b ] 为底边、曲线 y = f (x) 为曲边的曲边梯形的面积二等分. 证 设 F(x) f (t)dt, x [a, b] x a = ，则 F(x) 在 [a, b] 上连续，且 F(x) = f (x) 0 ， 表明 F(x) 在 [a, b] 上单调不减. 因此， F(x) 在 [a, b] 上的最大值最小值分别为 M F b f x d x b a ( ) ( ) = = ， = ( ) = ( ) = 0 m F a f x d x a a ， （4 分） 即 = m f x d x x a 0 ( ) M f x d x b a ( ) = . 显然 = m f x d x b a ( ) 2 1 0 f x d x M b a = ( ) ， （6 分） 由介值定理，存在 [ , ] x0 a b ，使得 F x f x d x b a ( ) 2 1 ( ) 0 = . 直线 0 x = x 平分曲边梯形 的面积. （7 分）
