复变数与积分变换 变第十章小波变换基础 §10.1小波变换的背景 §10.2窗口 Fourier变换简介 §10.3连续小波变换 §10.4二进小波变换和离散小波变换 §10.5多分辨分析 §10.6 Mallat分解与重构算法
复变数 主要内容 小波分析是当前数学中一个迅速发展的 5新领域,它也是种积分变换是一个时间和 科频率的局域变换,因而能有效地从信号中提 或取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用
本章将 Fourier变换记为f(o)=F()=FLf(t), 复变数与 R表示实数,Z表示整数,N表示正整数 L(R)={f()_f)d<o 和表示绝对可积函数构成的空间, 变换 L(R)=1f() f(t dt<oo 表示平方绝对可积函数构成的空间,对f,g∈L2(R) ,g)=」f(O)( 表示空间L2(R中的内积,g()是g()的共轭
本章将Fourier变换记为 ˆ f () F() F [ f (t)], R表示实数, Z表示整数, N表示正整数. 1 L (R) f (t) f (t) dt 表示绝对可积函数构成的空间, 2 2 L (R) f (t) f (t) dt 表示平方绝对可积函数构成的空间, 对 2 f , g L (R), f , g f (t)g(t)dt 表示空间 中的内积, 是 的共轭. 2 L (R) g(t) g(t)
§10.1小波变换的背景 复变函数与积分变一 自从1822年 Fourier发表《热传导解析理论》 以来, Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 分领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段 换 Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域,也就是从一个空间变换到另一个空间,这种 ④研究思想和方法是重大的创新
§10.1 小波变换的背景 自从1822年Fourier发表《热传导解析理论》 以来，Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段． Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域, 也就是从一个空间变换到另一个空间, 这种 研究思想和方法是重大的创新
如果把f(0)理解为信号的描述, Fourier变换和 复变数与积 逆变换的表达式 +oO f(a)=f(o)lodt,t∈R f(t)= f(o)e"d,O∈R 2兀 变说明,信号的 Fourier变换能给出信号的频率特性, 换 即其频谱分析.由于 Fourier变换和逆变换具有很好 的对称性,使得信号的重构很容易进行.特别是后来 离散 Fourier变换(DFT)的发展,以及1965年提出的
如果把 f (t)理解为信号的描述, Fourier变换和 逆变换的表达式 ˆ ( ) ( ) d , i t f f t e t t R 1 ˆ ( ) ( ) d , 2 i t f t f e R 说明, 信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性, 即其频谱分析. 由于Fourier变换和逆变换具有很好 的对称性, 使得信号的重构很容易进行. 特别是后来 离散Fourier变换(DFT)的发展, 以及 1965 年提出的
复快速 Fourier变换(FT)与计算机技术相结合,使 变得 fourier变换的应用更加广泛和有效在科学技 数术的各个领域发挥过重要作用 与 但是 Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号. 积 分从定义可以看出,为了应用 Fourier变换去研究一个 变 换信号的频谱特性,必须获得在整个时域-<t<+ 中信号的全部信息.由于em|=1,即 Fourier变换 的积分核在任何情形下的模都是1,所以信号f(的 频谱∫(o)的任一频点值都是由∫()在整个时间域
快速Fourier变换(FFT)与计算机技术相结合, 使 得Fourier变换的应用更加广泛和有效, 在科学技 术的各个领域发挥过重要作用. 但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号. 从定义可以看出, 为了应用Fourier变换去研究一个 信号的频谱特性, 必须获得在整个时域 t 中信号的全部信息. 由于 e it 1, 即Fourier变换 的积分核在任何情形下的模都是1, 所以信号f (t)的 频谱 f ˆ () 的任一频点值都是由 f (t) 在整个时间域
复仁上的贡献决定的反之,信号0在任时刻的状态 变也是由频谱fo)在整频域一<O<+上的贡献 山数与积分变 数决定的所以在时域中 Fourier变换没有任何分辨能 力,通过有限频段上的∫(o)不能获得信号f()在任何 分有限时间间隔内的频率信息因为一个信号在某个时 换刻的一个小的邻域中发生了变化那么整个频域都要 受到影响这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性.同样地分析可见,在频域上 Fourier变换也没有局 域特性
上的贡献决定的; 反之, 信号f (t)在任一时刻的状态 也是由频谱 f ˆ ()在整个频域 上的贡献 决定的. 所以在时域中Fourier变换没有任何分辨能 力, 通过有限频段上的 f ˆ ()不能获得信号f (t)在任何 有限时间间隔内的频率信息. 因为一个信号在某个时 刻的一个小的邻域中发生了变化, 那么整个频域都要 受到影响. 这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性. 同样地分析可见, 在频域上Fourier变换也没有局 域特性．
为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946 复 变年G提出了著名的Ghbo变换之后又进一步发 画展为窗口 Fourier变换也称短时 Fourier变换(sTFT 数 与STFT弥补了 Fourier变换的一些不足,已在许多领域 积获得了广泛的应用.但是,由于STF的时频窗口大 小和形状固定,与时间和频率无关,所以并没有很好 变 换地解决时一频局部化问题这对于分析时变信号来说 是不利的.高频信号一般持续时间很短,而低频信号 持续时间较长,因此,我们期望对于高频信号采用小 时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析
为研究信号在局部时间范围的频域特征, 1946 年Gabor提出了著名的Gabor变换, 之后又进一步发 展为窗口Fourier变换, 也称短时Fourier变换(STFT). STFT弥补了Fourier变换的一些不足, 已在许多领域 获得了广泛的应用. 但是, 由于STFT的时-频窗口大 小和形状固定, 与时间和频率无关，所以并没有很好 地解决时－频局部化问题, 这对于分析时变信号来说 是不利的. 高频信号一般持续时间很短, 而低频信号 持续时间较长, 因此, 我们期望对于高频信号采用小 时间窗, 对于低频信号则采用大时间窗进行分析．
复 在进行信号分析时,这种变时间窗的要求同 变 画STFT固定时窗的特性是矛盾的,STF无法满足 蟲这种需要.此外,在进行数值计算时,人们希望 5将基函数离散化,以节约计算时间及存储量.但 积 分 Gabor基无论怎样离散,都不能构成一组正交基, 变因而给数值计算带来了不便 换 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小 波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经 ④在许多领域的应用中有所体现
在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同 STFT 固定时窗的特性是矛盾的, STFT无法满足 这种需要．此外，在进行数值计算时，人们希望 将基函数离散化，以节约计算时间及存储量．但 Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基， 因而给数值计算带来了不便． 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法, 在小 波变换的系统理论发展起来以前, 其基本思想已经 在许多领域的应用中有所体现．
在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 复 变析的最早萌芽1938年, littlewood-pale对 Fourier 函级数按二进制频率成分进行分组1965年, Calderon 数 与发现再生公式它的离散形式已接近小波展开1981 年, Stormberg对Har系进行了改进证明了小波函 变 数的存在性.小波概念的真正出现应该是在1984年, 换当时法国地球物理学家 Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开.然 ⑦后数学家Mr对ort提出的方法进行系统研究 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础
在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 析的最早萌芽. 1938年, Littlewood-Paley 对 Fourier 级数按二进制频率成分进行分组. 1965年, Galderon 发现再生公式, 它的离散形式已接近小波展开. 1981 年，Stormberg对Haar系进行了改进, 证明了小波函 数的存在性．小波概念的真正出现应该是在1984年, 当时法国地球物理学家Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开. 然 后数学家Meyer对Morlet提出的方法进行系统研究, 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础