东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第七章 Fourier变换

复变数与积分变换 第七章 Fourier变换 §7.1 Fourier变换的概念与性质 §7.2离散 Fourier变换 §7.3 Fourier变换的应用

主要内容 复变数 Fourier变换是一种对连续时间函数的 5积分变换通过特定形式的积分建立函数之 和间的对应关系.它既能简化计算(如解微分 或方程或化卷积为乘积等),又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征, 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要

Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要．

复 变§7.1 Fourier变换的概念与性质 数 与 积 1 Fourier变换的定义 2 Fourier变换的性质 变 换 38函数的 Fourier变换

1 Fourier变换的定义 2 Fourier变换的性质 §7.1 Fourier变换的概念与性质 3 d函数的Fourier变换

7.1.1 Fourier变换的定义 复变数与积 Fourier积分定理设f(x)在(-∞,+0)满足下列 条件: (1)f(x)在任何有限区间上满足展开为 Fourier 变级数的条件,即只存在有限个第一类间断点和有限 换 个极值点; (2)f(在,+)上绝对可积即∫=(x)dk 收敛

7.1.1 Fourier变换的定义 Fourier积分定理 设f (x)在(,) 满足下列 条件: (1) f (x)在任何有限区间上满足展开为Fourier 级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限 个极值点； (2) f (x)在(,)上绝对可积, 即 f (x) dx   收敛

复则在f()连续点处 变 f(x)=merox do mf()e - io d, 数 与而在f(x)的间断点处 积 f(x+0)+f(x-0)1c+io×0) f(te dt. 2丌 变换 定义71设f(0和F(ω)都是在(-0,+0)上绝对 可积函数,称 ∫=(lcat 为f()的 Fourier变换,称

则在 f (x)的连续点处 1 ( ) d ( ) d , 2 i x i t f x e f t e t             而在 f (x)的间断点处 ( 0) ( 0) 1 d ( ) d . 2 2 i x i t f x f x e f t e t                定义7.1 设f (t)和F()都是在 (,)上绝对 可积函数，称 ( ) d i t f t e t     为f (t)的Fourier变换，称

+oO F(oe lot do 2兀 复变函数与积兮变换 为F(o的 Fourier逆变换,记为FIf()和F{F(O)l F If(t)]= f(te-o dt, F-[F(o)= L〔F()ed0 2兀 如果f()满足 Fourier积分定理条件,那么在f(t) 的连续点处成立 Fourier变换的反演公式 f(t)=F=[F I(OI

1 ( ) d 2 i t F e       为F()的Fourier逆变换, 记为F [ f (t)]和 1[F()],  F [ ( )] ( ) d , i t f t f t e t       F 1 1 [ ( )] ( ) d . 2 i t F F e           F 如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式   1 f (t) [ f (t)] .  = F F

复 变 例71设∫(x)=e(b>0),求FIf(x) 数 解根据定义,有 b2x2+ FU()c2-k=∫ IO I 变 6x +2x 2b24b44b d ∫(x) 换 bx+ =e4b2 +oO 2b2)dx

例7.1 设 求 2 2 ( ) ( 0), b x f x e b    F [ f (x)]. 2 2 2 2 2 [ ( )] d d i x b x b x i x b f x e x e x                     F 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 d i i b x x b b b e x                  2 2 2 2 2 4 2 d . b x i b b e e x                根据定义，有 O x f (x) 1

下面计算门~。“ 复 +R-b x+ dx lime 2b dx R→+-R 因为eb2在全平面 虚轴 数 与处处解析,所以取图中的 积 26 分路径ABCD4时,根据 B 变 Cauchy积分定理 -R R实轴 换 tr e x dx+e-d BC +R 2b2 dx t e^6? z=0 R DA

实轴 A B D C R O R 虚轴 2 2b  因为 在全平面 2 2 b z e  处处解析, 所以取图中的 路径ABCDA时，根据 2 2 2 2 d d R b x b z R BC e x e z        2 2 2 2 2 2 d d 0. b x i R b b z R DA e x e z                  下面计算 2 2 2 2 2 2 2 2 d lim d . b x i R b x i b b R R e x e x                          

当R→+时 复变函数与积兮变换 a 2b2a-b(R+) BO 0 262 0-6-(R +2Riy-y) 0 bRT2b2。b2y dy→>0. 同理可证 e-bdz→0(R→+0) DA

2 2 2 2 2 ( ) 2 0 d d b z b R iy b BC e z e y        2 2 2 2 ( 2 ) 2 0 d b R Riy y b e y       同理可证 2 2 d 0 ( ). b z DA e z R      2 2 2 2 2 2 0 d 0. b R b y b e e y      当R+时

复 因此,当R→》+∞时, 变 +R +r m 2b)dx= li dx 数 R→+o-R R→+0-R 与 积 ∫"e d dt= C-0O b 变于是 换 b 元 F lf(x) 46

因此, 当R+时， 2 2 2 2 2 2 lim d lim d b x i R R b b x R R R R e x e x                    2 2 1 2 d d , b x t e x e t b b             于是 2 2 4 [ ( )] . b f x e b    F  O  F() b 