§22定积分的换元积分法和 分部积分法 求定积分归结为求原函数,故利用 求不定积分的方法
§2.2 定积分的换元积分法和 分部积分法 求定积分归结为求原函数,故利用 求不定积分的方法
、换元积分法 定理1若函数f(x)在[a,b上连续,函数 x=g(满足下列条件: (1)(a)=a,g(6=b,且∝≤m(b,t∈|aB (2)在[a,上有连续导数g1(O) 则有定积分换元公式 f(x)Mx=」fp()lp()t
若函数f (x)在[a, b]上连续, 函数 x=(t)满足下列条件: 一、换元积分法 定理1 (1)()=a,()=b,且a≤(t)≤b, t[,] (2)在[,]上有连续导数 (t) 则有定积分换元公式: f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( )
注意: (1)用x=g(把变量x换成新变量时,积分 上下限也相应的改变 (2)求出几()的一个原函数Φ(0)后, 不必象计算不定积分那样把Φ(2变换成 变量κ的函数,而只要把新变量上下限 分别代入Φ(,然后相减就行了
注意: (1)用x=(t)把变量x换成新变量t时,积分 上下限也相应的改变 (2)求出f[(t)] (t)的一个原函数(t)后, 不必象计算不定积分那样把(t)变换成 变量x的函数,而只要把新变量t的上下限 分别代入(t),然后相减就行了
例1求 cos xsin xdx 解:令仁cosx→l=- sinxdx x=0→t=1x=z→t0 2 原式 6
x xdx 2 0 5 cos sin 例1 求 解: 令t=cosxdt= −sinxdx 2 x=0t=1 x = t=0 原式= t dt − 0 1 5 0 1 6 6 t = − 6 1 =
例2求 2 dx (a>0) x+√ 解:令x= asin=→dx= costa x=0→0 a→t=z 原式 a cos t aint +va(1-sin t 元 cos t o sintt cos t
dx x a x a + − 0 2 2 例 1 2 求 (a>0) 解: 令x=asintdx=acostdt 2 t = x=0t=0 原式= x=a dt a t a t a t + − 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt t t t + = 2 0 sin cos cos
cos t -dt o sint t cost z sint+ cos t+ cost- sin t sint+ cos t 2(1+ cos t-sin t sint+ cos t 兀 .+In sint +cost 元
dt t t t t + − = + 2 0 ) sin cos cos sin (1 2 1 2 0 [ln |sin cos |] 2 1 2 2 1 = + t + t 4 = dt t t t t t t + + + − = 2 0 sin cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 dt t t t + = 2 0 sin cos cos
例3求 x√nx(1-Inx) 解:原式。 d (n x) In x(1-In x) e d(n x) e nx e√mnx√1-nx 1-x 2 d√lnx 2 2 arcsin(√mnx)=6
− 4 3 ln (1 ln ) e e x x x 例 dx 3 求 解:原式= − 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln 1 ln e (ln ) e x x d x − = 4 3 1 ln ln 2 e e x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2[arcsin( ln )]e e = x 6 =
例4求 3 5 sInx-sin xax 解:原式- cos x (sin x)2x 兀 cos x(sin x) dx- cos x(sin x)2dx 2 J3 (sin x)'id sin x-J (sin x)id sinx (sin x)2 sInx 5 2
x xdx − 0 3 5 例4 求 sin sin 解: 原式= x x dx 0 2 3 | cos |(sin ) x x dx x x dx = − 2 2 3 2 0 2 3 cos (sin ) cos (sin ) (sin x) d sin x (sin x) d sin x 2 2 3 2 0 2 3 = − 2 2 2 5 0 2 5 (sin ) 5 2 (sin ) 5 2 = x − x 5 4 =
例5当(x)在[-a,a上连续,且有 (1)x)为偶函数,则f(x)d=2f(xMtx (2)(x)为奇函数则f(x)dx=0 证1∫。(xx=。f(xM+(xM 在「f(x)k中令x=-t f(x)x=-f(-)=f(-o)t
例5 当f(x)在[−a, a]上连续,且有 f x dx f x dx a a a = − 0 ( ) 2 ( ) ( ) = 0 − f x dx a a [证] f x dx f x dx f x dx a a a a = + − − 0 0 ( ) ( ) ( ) 在 f x dx −a 0 ( ) 中令x= −t f t dt a = − − 0 f x dx ( ) −a 0 ( ) f t dt a = − 0 ( ) (1)f(x)为偶函数,则 (2)f(x)为奇函数,则
0 rf(x)tx=「f(ot (1)f(x)为偶函数则f(-1)=f(t) f(d f(xdx+ff(xdx 2f(x) (2)(x)为奇函数,则f(_0)=-f 0 f(xdx=f(xdx+l f(xdx=0
f x dx −a 0 ( ) f t dt a = − 0 ( ) (1)f(x)为偶函数,则 f(−t)=f(t) f x dx f x dx f x dx a a a a = + − − 0 0 ( ) ( ) ( ) f x dx a = 0 2 ( ) (2)f(x)为奇函数,则 f(−t)= −f(t) f x dx f x dx f x dx a a a a = + − − 0 0 ( ) ( ) ( ) =0
