《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）6.2.1 微积分基本定理

§2计算定积分的一般方法 微积分基本定理 §21徼积分基本定理 、积分上限函数 牛顿—莱布尼茨公式

§2 计算定积分的一般方法 ——微积分基本定理 §2.1 微积分基本定理 一、积分上限函数 二、牛顿—莱布尼茨公式

积分上限函数 设fx)在[a,b上可积,x∈a,bl由积分 a(x)=∫(OMm所定义的函数(称为 积分上限函数 Pb 同理由积分型(x)=f()M所定义 的函数y(x)称为积分下限函数 Φ(x)和(x)通称为积分变限函数, 都是[a,b上的连续函数

所定义 的函数(x)称为积分下限函数 所定义的函数(x)称为 积分上限函数 一、积分上限函数 设f(x)在[a,b]上可积, x[a,b],由积分 x f t dt x a ( ) = ( ) 同理,由积分 x f t dt b x ( ) = ( ) (x)和(x)通称为积分变限函数, 都是[a,b]上的连续函数

定理1(微积分基本定理) 若函数(x)在,b上连续,则积分上 限函数(x)=(M在a,上可导,且 (x)=f(x) 可见Φ(x)是八x)在(,b上的一个原函数 i证]△Φ=①(x+△x)Φ(x) x+△r x op(x f(tdt- f(tdt Oxx+△xhx

在[a,b]上可导, 且 (x)=f(x) y o a bx 定理1 (微积分基本定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上 限函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 可见,(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数 [证] =(x+x)−(x) f t dt f t dt x a x x a  = − + ( ) ( ) x x+x (x)

r f(Mdt-f(dt ∫nf(M+」r(xy-mf(Mm x+△r f(tdt 由积分中值定理得 (x) △Φ=f4)x5∈[x,x+△x xa+△xbx →A=(5)→趣A=m 又Δx→>0→2x∴.d(x)=f(x)

f t dt f t dt f t dt x a x x x x a   = + − + ( ) ( ) ( ) f t dt x x x + = ( ) 由积分中值定理,得 =f( )x [x, x+x] f ( ) x =     lim lim ( ) 0 0 f  x→ x x→ =     又x→0→x ∴(x)=f(x) y o a x x+xbx (x)  f t dt f t dt x a x x a  = − + ( ) ( )

微积分基本定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)揭示了定积分与微分之间的联系

微积分基本定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)揭示了定积分与微分之间的联系

补充:若fx)连续,a(x)和b(x)可导则 F(x)=myr(m的导数F()为s: F()f[b(xb(x-fla(xla(x) b(x) F(x)=f(t t+f(tt ∫m"rm-mr(m

若f(x)连续, a(x)和b(x)可导,则 F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 补充: 的导数F (x)为: F (x)=f [b(x)]b(x)−f [a(x)]a(x) F x f t dt f t dt b x a x  = + ( ) 0 0 ( )  ( ) ( ) ( ) f t dt f t dt b x a x   = − ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

例1求imsx, x→0 cosx 解 dty=-( edt cosX -cos x (cos x cos x =sInx· cos x 原式=lim smny·e x→>0 2x 2e

例1 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x  − → 0 0 解: ( ) 1 cos 2   − e dt x t ( ) cos 1 2 = −   − e dt x t (cos ) 2 cos = −   − e x x x x e 2 cos sin − =  原式= x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − →  2e 1 =

牛顿一莱布尼茨公式 定理2(牛顿-莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数f(x)在[a,b上的 个原函数,则 f(xdx= F(b)-F(a=[F(x)I 证∵F(x)是fx)的一个原函数 又:∫f(M也是的一个原函数 ∴F(x)-Φ(x)=Cx∈[an,bl

二、牛顿—莱布尼茨公式 定理2(牛顿−莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一 个原函数,则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  [证] ∵F(x)是f(x)的一个原函数 f t dt x a 又∵ ( ) 也是f(x)的一个原函数 ∴F(x)−(x)=C x[a,b] b a = [F(x)]

F(x)-Φ(x)=Cx∈[a,b 令x=a→F(a)-Φ(a)=C d(a)=f(tn=0→F(a)=C op(x)=F(r-C f(tt= F(x)-F(a 令x=b→f(=F(b)-F(a)

令x=aF(a)−(a)=C a f t dt a a ( ) = ( ) =0F(a)=C f (t)dt F(x) F(a) x a  = −  ∵(x)=F(x)−C 令x=b f (t)dt F(b) F(a) b a  = −  ∴F(x)−(x)=C x[a,b]

牛顿一莱布尼茨公式表明: 个连续函数在[a,b上的定积分 等于它的任意一个原函数在[a,b上的 增量 求定积分问题转化为求原函数的问题

牛顿—莱布尼茨公式表明: 一个连续函数在[a, b]上的定积分 等于它的任意一个原函数在[a, b]上的 增量 求定积分问题转化为求原函数的问题