§3定积分的拓展一一非正常积分 无穷区间上的定积分和无界函数 的定积分,通称为反常积分或广义积分 有限区间上的定积分称为正常积分或 常义积分
§3 定积分的拓展——非正常积分 无穷区间上的定积分和无界函数 的定积分,通称为反常积分或广义积分. 有限区间上的定积分称为正常积分或 常义积分
无穷限的广义积分 定义设函数(x)在区间{a,+∞)上连续,取 b>a如果极限m(x)存在,则称此 极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的无 穷限广义积分记们f(x 即:f(x)x=im f∫(x)x b→+Ja 当极限存在时称广义积分收敛;当极限 不存在时,称广义积分发散
存在,则称此 极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的无 穷限广义积分,记作 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,取 b>a.如果极限 一 . 无穷限的广义积分 定义 f x dx b b→+ a lim ( ) f x dx a + ( ) f x dx f x dx b a b→+ a + 即: ( ) = lim ( ) 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限 不存在时,称广义积分发散
类似的,设函数八)在区间(∞6上连 续取a<b如果极限m∫(x)存在,则称 此极限为函数fx)在无穷区间(∞b上的 无穷限广义积分记作f(x)dt b b 即:f(xx=imf(x) a→-00 当极限存在时称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
类似的,设函数f(x)在区间(−,b]上连 续,取a<b.如果极限 存在,则称 此极限为函数f(x)在无穷区间(−,b]上的 无穷限广义积分,记作 f x dx b − ( ) f x dx b a→− a lim ( ) f x dx f x dx b a a b − →− 即: ( ) = lim ( ) 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
设函数fx)在区间(-∞,+∞)上连续,如 果广义积分。f(x)和厂“f(x)都收敛, 则称两广义积分之和为函数(x)在无穷区 间(∞,+∞)上的广义积分记作f(x)h 即f(xx=f(xx+f(xk (a是任意实数) 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积 分发散
都收敛, 则称两广义积分之和为函数f(x)在无穷区 间(−,+)上的广义积分,记作 设函数f(x)在区间(−,+)上连续,如 果广义积分 f x dx a − ( ) f x dx a + ( ) f x dx f x dx f x dx a a + − + − ( ) = ( ) + ( ) 和 f x dx + − ( ) 即: 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积 分发散 (a是任意实数)
例1求 x01+y 解:原式 -+ 01+x 2 1+x lim ro yir+ io 1++24 a→-aa1+x lim arctan xo+lim [arctan xI =-lim arctan a lim arctan b a→-Q b→>+ 元、兀 =冗 2′2
例1 求 dx x + − + 2 1 1 解: 原式= dx x dx x + − + + + 0 2 0 2 1 1 1 1 dx a a x + = →− 0 2 1 1 lim dx x b b + + →+ 0 2 1 1 lim 0 lim [arctan ]a a x →− = b b x 0 lim [arctan ] →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + 2 ) 2 ( = − − + =
例2求 2$ 解:原式 sind( b 6-)+0002 Sin d() lim lim cos b→+0 b2元 lim cos-cos b→+0
例2 求 dx x x + 2 2 1 sin 1 解: 原式= ) 1 ( 1 sin 2 x d x + − ) 1 ( 1 lim sin 2 x d x b b→+ = − b b x 2 ] 1 lim [cos →+ = ] 2 cos 1 lim [cos = − b→+ b =1
+ 例3证明广义积分,当n>1时收敛, 当p≤1时发散 证P1→「"14=1=m1k imIn|x|=+∞ b→+Q + P≠1→ i dx= lim[x b→+1-Pc+,p1时广义积分收敛,当≤1时发散
例3 证明广义积分 当p>1时收敛, 当p≤1时发散 dx x p + 1 1 [证] dx x p + 1 1 b p b p x 1 1 ] 1 lim [ − = − →+ p=1 dx x p + 1 1 dx x + = 1 1 b b x 1 lim [ln | |] →+ = =+ p1 , p1 1 1 p − ∴当p>1时广义积分收敛,当p≤1时发散 dx x b b→+ = 1 1 lim
例4证明广义积分当0时收 敛,当p0 P ,p0时收敛,当<0时发散
例4 证明广义积分 当p>0时收 敛,当p0 p e −ap 即当p>0时收敛,当p<0时发散
二.被积函数有无穷型间断点的广义积分 定义设函数f(x)在区间(a,b上连续,且 b imf(x)=,如果极限MmJf(OM存在 x→ 则称此极限为函数fx)在区间(a,6上的 义积分(也称瑕积分,x=称为瑕点),记作 b b f(dx= lim I f(tdt x→a 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
存在, 则称此极限为函数f(x)在区间(a,b]上的广 义积分(也称瑕积分, x=a称为瑕点),记作 二.被积函数有无穷型间断点的广义积分 定义 设函数f (x)在区间(a, b]上连续,且 = → + lim f (x) x a ,如果极限 f t dt b x a x → + lim ( ) f x dx f t dt b x a x b a + → ( ) = lim ( ) 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
类似的设函数f(x)在区间a,b)上连 续,且imf(x)=如果极限imf()Mt x→>b b 存在,则称此极限为函数fx)在区间{a,b)上 的广义积分(x=b为瑕点),记作 b f(xdx=lim f(t)dt x→>b 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
类似的,设函数f (x)在区间[a, b)上连 续,且 = → − lim f (x) x b ,如果极限 f t dt x x b a → − lim ( ) 存在,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b)上 的广义积分(x=b为瑕点),记作 f x dx f t dt x x b a b a − → ( ) = lim ( ) 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不 存在时,称广义积分发散
