s4定积分魅力的显示 在若干学科中的应用 §41微元法 定积分的应用问题,般可以按 “分割、近似求和、取极限”三个步 骤把所求量表示为定积分的形式
§4 定积分魅力的显示 ——在若干学科中的应用 §4.1 微元法 定积分的应用问题,一般可以按 “分割、近似求和、取极限”三个步 骤把所求量表示为定积分的形式
在求曲边梯形的面积中,y 用AS表示任一小区间 y=f() x,x+△x]上的窄曲边 梯形的面积,则 o a x tash x S △S d 并取△Sfx),则S≈∑f(xd/面 S=im∑f(x)dtc 积 元 5,f(ydx 素
S f (x)dx a y o b x y=f(x) 在求曲边梯形的面积中, x x+dx 用S表示任一小区间 [x, x+x]上的窄曲边 梯形的面积,则 S = S 并取Sf(x)dx,则 S = lim f (x)dx f x dx b a = ( ) dS 面 积 元 素
当所求量Q符合下列条件 (1)Q是与一个变量x的变化区间[a,6有关 的量 (2)Q对于区间[a,b具有可加性即,如果把 区间{a,b分成许多部分区间,则Q相应地 分成许多部分量而Q等于所有部分量之 和 (3)部分量△Q的近似值可表示为f()△x; 就可以考虑用定积分来表达这个量Q
当所求量Q符合下列条件: (1)Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关 的量 (2)Q对于区间[a,b]具有可加性.即,如果把 区间[a, b]分成许多部分区间,则Q相应地 分成许多部分量,而Q 等于所有部分量之 和 (3)部分量Qi的近似值可表示为f(i )xi 就可以考虑用定积分来表达这个量Q
微元法的一般步骤: (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 (如x)为积分变量,并确定它的变化区间 la, b (2)设想把区间[a,b分成n个小区间取其 中任一小区间并记为[x,x+x,求出相应 于这小区间的部分量△Q的近似值.如果 △Q能近似地表示为a,b上的一个连续函 数在x处的值fx)与d的乘积,就把f(x)dx 称为量Q的元素且记作Q,即Q=f(x)dx
微元法的一般步骤: (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 (如x)为积分变量,并确定它的变化区间 [a,b] (2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其 中任一小区间并记为[x, x+dx],求出相应 于这小区间的部分量Q的近似值. 如果 Q能近似地表示为[a,b]上的一个连续函 数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把 f(x)dx 称为量Q的元素且记作dQ,即dQ=f(x)dx
(3)以所求量Q的元素f(x)dx为被积表达 式,在区间[4,b上作定积分得 2=I f(edx 即为所求量Q的积分表达式 这个方法通常叫做微元法(元素法) 微元法的实质仍是和式的极限
(3)以所求量Q的元素f(x)dx为被积表达 式,在区间[a,b]上作定积分,得 Q f x dx b a = ( ) 即为所求量Q的积分表达式 这个方法通常叫做微元法(元素法) 微元法的实质仍是和式的极限
§42在几何学中的应用 1平面图形的面积 f(x)≥g(x) y=f() y=f(x) g(x) Oaxx+△xbx o a xxtAr bi fx)正负不知 ds=vf(x)-g(x)]dx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 s=llf(x)kx S=[f(x)-g(x)lx
a y o b x y=f(x) y=g(x) a y o b x y=f(x) x+x §4.2 在几何学中的应用 1.平面图形的面积 x 曲边梯形的面积 S f x dx b a = | ( )| x x+x 曲边梯形的面积 S f x g x dx b a = [ ( )− ( )] f(x)≥g(x) f(x)正负不知 dS=[f(x)−g(x)]dx
例1计算由两条抛物线2=x和=x所围 成的图形的面积 1.2 解:两曲线的交点: (0,0),(1,1) 选x为积分变量 y=i x∈[0,1 0.20.40.60.8 面积元素dS=(x-x2)dx 2 s=L(x-xdx 3 3
例1 计算由两条抛物线y 2=x和y=x 2所围 成的图形的面积 解: 2 y = x 2 两曲线的交点: x = y (0,0), (1,1) 选x为积分变量 x[0,1] 面积元素dS ( x x )dx 2 = − S x x dx = − 1 0 2 ( ) 1 0 3 2 3 ] 3 3 2 [ x = x − 3 1 =
例2计算由两条=x3-6x和=x2所围成 的图形的面积 y 10 解:两曲线的交点: 2 (0,0),(2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈[-2,3 X (1)x∈|-2,0 dS=(x-6x-x)dx (2)x∈|0,3 D=x3-6x 2=(x2-x3+6x)x
y x 6x 3 = − 2 y = x 例2 计算由两条y=x 3−6x和y=x 2所围成 的图形的面积 解: 两曲线的交点: (0,0), (−2,4), (3,9) 选x为积分变量 (1) x[−2,0] x[−2,3] dS1=(x 3−6x−x 2 )dx (2) x[0,3] dS2=(x 2−x 3+6x)dx
所求面积为:S=S1+S2 S=(x32-6 2 2 +(x2-x3+6x)x 253 12 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选吗?
所求面积为: S=S1+S2 S x x x dx − = − − 0 2 3 2 ( 6 ) 12 253 = 说明: 注意各积分区间上被积函数的形式 问题: 积分变量只能选x吗? x x x dx + − + 3 0 2 3 ( 6 )
例3计算由曲线y2=2x和直线=x-4所围 成的图形的面积 解:两曲线的交点: (2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈2,4 ds=(y+4-2) S=|dS=18
例3 计算由曲线y 2=2x和直线y=x−4所围 成的图形的面积 解: 两曲线的交点: (2,−2), (8,4) 选y为积分变量 y[−2,4] dy y dS y ) 2 ( 4 2 = + − − = 4 2 S dS =18
