东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第九章 z变换

复变数与积分变换 第九章Z变换 §9.1Z变换的概念与性质 §9.2Z逆变换 §9.3Z变换的应用

复变数与积 主要内容 Fourier变换和 Laplace变换是研究连 变续时间函数的重要工具,本章将要介绍的 换z变换则是研究离散时间函数的重要工具

Fourier变换和Laplace变换是研究连 续时间函数的重要工具,本章将要介绍的 Z变换则是研究离散时间函数的重要工具

复变函数与积兮变换 §9.1Z变换的概念与性质 12变换的定义 22变换的性质

1 Z变换的定义 2 Z变换的性质 §9.1 Z 变换的概念与性质

9.1.1Z变换的定义 复变数与 定义91设∫(m(n=0,±1,土2,…)是无限序列 +0o 如果级数∑f(n)x在z平面的某一区域内收敛, n=-00 利其中z为复参变量,则由这个级数所确定的函数 变换 F(z)=∑∫(m)zn n=-00 称为序列f(m)的Z变换,记为Zf(m) 显然Z变换的定义式是 Laurent级数,所以如果 存在收敛域,则为圆环域,且F(z)在圆环域内解析

9.1.1 Z变换的定义 定义9.1 设 f (n)n  0,1,2, 是无限序列. 如果级数 ( ) 在 z 平面的某一区域内收敛, n n f n z     其中z为复参变量, 则由这个级数所确定的函数 ( ) ( ) n n F z f n z      称为序列f (n)的Z变换, 记为Z[ f (n)]. 显然Z变换的定义式是Laurent级数, 所以如果 存在收敛域, 则为圆环域, 且F(z)在圆环域内解析

复 序列∫(n)(n=0,±1,±2,…)通常称为双边序列 变如果在n0为常数如 利果存在常数R>0,使得 f(m)≤MR1(n≥0), 变 拱则右边序列0Z变换F(=∑m0在>R n=0 内存在如果存在常数R2>0,使得 ∫(m)≤MR2(n<0

序列 f (n)(n  0,1,2,) 通常称为双边序列. 如果在 n  0(n  0) 时 f (n)  0, 则称右(左)边序列. 果存在常数 R1  0, 使得 1 ( ) ( 0), n f n  MR n  则右边序列f (n)的Z变换 在 0 ( ) ( ) n n F z f n z      1 z  R 定理9.1(Z变换存在定理) 设M  0为常数. 如 内存在. 如果存在常数R2  0, 使得 2 ( ) ( 0), n f n  MR n 

则左边序列/(的z变换F(z)=∑f(m)z在 变 副R时,艺MR"收敛则F(2=总(m)z =0 H=0

则左边序列 f (n)的 Z 变换 在 1 ( ) ( ) n n F z f n z      2 z  R 内存在. 如果R1  R2 , 且上面两个不等式都 成立, 则双边序列 f (n)的Z 变换 ( ) ( ) n n F z f n z      在 内存在. R1 2  z  R 证明 如果 ( ) 1 ( 0), 那么 n f n  MR n  1 0 0 0 ( ) ( ) . n n n n n n n f n z f n z MR z               当 z  R1时, 1 收敛, 则 0 n n n MR z    0 ( ) ( ) n n F z f n z     

在>内存在 如果∫(m)≤MR2(n<0),那么 变数与积分变换 ∑f(anx"l=∑|f(m)|z-s∑MRrz n=-00 n=-00 外令k==m于是∑MR分MR1 n =-0 0o 当<R时,∑MR2k收敛,于是 ()∑ ∫(n)zx-n 在z<R2内存在

在 内存在. 1 z  R 如果 ( ) 2 ( 0), 那么 n f n  MR n  1 1 1 2 ( ) ( ) . n n n n n n n f n z f n z MR z               令 k  n, 于是 1 2 2 1 . n n k k n k MR z MR z          当 z  R2时, 2 收敛, 于是 1 k k k MR z    1 ( ) ( ) n n F z f n z      在 内存在. 2 z  R

例91设序列f(mn)=n,其中n是非负整数, 复变函数与积兮变换 求F(z) 解根据Z变换的定义当z>1时, 2 3 (z)=∑n"=+2++…, n=0 234 zF(x)=1+-+2+-3+…, (z-1)F(x)=1+-+-2+-3+…= F(x)=-21(k>1

例9.1 设序列 f (n)  n,其中n是非负整数， 求F(z). 2 3 0 1 2 3 ( ) , n n F z nz z z z          2 3 2 3 4 zF(z) 1 , z z z      2 3 1 1 1 ( 1) ( ) 1 , 1 z z F z z z z z          ( ) 2  1. ( 1) z F z z z    根据Z 变换的定义, 当 z  1时

下面再给出几个序列Z变换的例子,注意它们 复变函数与积兮变换 之间的差异 n≥0 例92设序列∫(n) ,求F(z) -3′ < 解根据Z变换的定义当2<z<3时, F()=∑∫(m)z"=∑2"zn-∑3"z z(2z-5) 十 z-2x-3(z-2)(z-3)

下面再给出几个序列Z变换的例子, 注意它们 之间的差异. 例9.2 设序列 求F(z). 2 , 0 ( ) , 3 , 0 n n n f n n       1 0 ( ) ( ) 2 3 n n n n n n n n F z f n z z z                (2 5) . 2 3 ( 2)( 3) z z z z z z z z        根据Z 变换的定义, 当2  z  3时

2n,n=0 2 例93设序列∫(m)= 复变函数与积兮变换 求F(z) 解根据Z变换的定义,当z>3时, ()=∑f(m)zn n=0 ∑∫(2m)z2m+∑f(2m+1)z2m+ mE +oO ③=∑zm-2 2m+1→-(2m+1) 3z n=0 9

例9.3 设序列 2 , 0,2,4, ( ) , 3 , 1,3,5, n n n f n n         求F(z). 0 ( ) ( ) n n F z f n z      2 2 2 2 1 (2 1) 2 2 0 0 3 2 3 . 4 9 m m m m m m z z z z z z                 2 (2 1) 0 0 (2 ) (2 1) m m m m f m z f m z             根据Z 变换的定义, 当 z  3时