s海工程本大学 (勤奋、求是、创新、奉献) 2005~2006学年第1学期期末考试答案 2006.1 原自然班代码 选课班代码 学号 姓名 《高等数学(-)》试卷A (本卷考试时间120分钟) 大题 五|总得分 应得分24分20分7分7分7分7分7分10分5分6分100分 填空题(每小题4分,共24分) sint di 1.极限lm 2.设函数y=(1+x)ln(1+x)- arctan2,则d=[n(1+x)+1dx. 3.设(x)连续且f(x)=x2+3(x)x,则f(x)=x 4.设m=41-2j+4k,则与m同方向的单位向量m°2 7-1+2k 5.过点(0,2,1),且与两平面2x+y-z=0,-x+3y+22=5都垂直的平面方程是 高数(一)A卷答案第1页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 1 页 共 6 页 （勤奋、求是、创新、奉献） 2005 ～ 2006 学年第 1 学期期末考试答案 2006.1 原自然班代码 选课班代码 学号____ ____ 姓名 ___ _ __ 《高 等 数学 （一）》试卷 A （本卷考试时间 120 分钟） 大 题 一 二 三 四 五 总得分 小 题 1 2 3 4 5 1 2 应得分 24 分 20 分 7 分 7 分 7 分 7 分 7 分 10 分 5 分 6 分 100 分 得 分 一、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 极限 = → 3 2 0 0 sin lim x t dt x x 3 1 . 2. 设函数 y = (1+ x)ln(1+ x) − arctan2, 则 dy = [ln(1+ x) +1]dx . 3. 设 f(x) 连续且 f (x) x 3 f (x)dx 1 1 2 − = + ，则 f (x) = 5 2 2 x − . 4. 设 m i j k = 4 − 2 +4 ，则与 m 同方向的单位向量 = m i j k 3 2 3 1 3 2 − + . 5. 过点 ( 0，2，1 ) ，且与两平面 2x + y − z = 0, − x + 3y + 2z = 5 都垂直的平面方程是
5x-3y+7 6.设质点作直线运动,t时刻的速度为v=v(t),则在时间区间[,2]上该质点所走过的 路程s v(t)dt 二、单项选择题(每小题4分,共20分) 1.设f(x)为连续函数,则 f(dt=(A A.2y/(x2)-f() B.2y/(x) C ) D.(2x-1)/(x) 2.函数y=J。ld在闭区间p.1上的最大值是(D) A.0 C (e-1) 3.设向量d≠0,b≠0,则以下结论中正确的是(C) A.a·b=0a∥b B.axb=0→a⊥b C.b=l台a∥b D.a·b= allb sin(是a,b的夹角) 4积分(1的值(D) A.等于0; B.等于1; C.等于-1 以上都不对 y+4x2=1 5.平面曲线 绕y轴旋转一周所得曲面的方程是(C =0 y 4z2=1 B.x2+4y2+4z2=1 C.4x2+y+42=1: D.4x2+4y2+z2=1 高数(一)A卷答案第2页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 2 页 共 6 页 5 x – 3 y + 7 z – 1 = 0 . 6. 设质点作直线运动, t 时刻的速度为 v = v(t), 则在时间区间 [ , ] 1 2 t t 上该质点所走过的 路程 s = v t dt t t ( ) 2 1 . 二、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．设 f (x) 为连续函数，则 = 2 ( ) x x f t dt dx d （ A ）． A． xf (x )− f (x) 2 2 ; B． ( ) 2 2xf x ; C． f (x) ; D．(2x −1)f (x). 2. 函数 y te dt t x 2 0 = 在闭区间 [0,1] 上的最大值是（ D ）． A．0； B． (1 ) 2 1 − e ； C．e −1 ； D． ( 1) 2 1 e − . 3. 设向量 0, 0 a b , 则以下结论中正确的是（ C ）. A． a b a b = 0 // ； B．a b a b = 0 ⊥ ； C． b a a b = // ； D．a b |a | |b |sin ( = 是 a b , 的夹角 ). 4. 积分 dx x 3 1 1 1 − 的值( D ). A．等于 0； B．等于 1； C．等于 −1 ； D．以上都不对 5. 平面曲线 = + = 0 4 1 2 x y z 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程是（ C ）. A． 4 1 2 2 x + y + z = ； B． 4 4 1 2 2 2 x + y + z = ； C． 4 4 1 2 2 x + y + z = ； D．4 4 1 2 2 2 x + y + z =
三、计算题(每小题7分,共35分) 设y=x1-x2+ arcsinx+e,求 1-x2√1-x2 (5分) +1 (6分) 2 (7分) 2.计算 arctan xd arctan xdx=arctan dx-S rctanxdx (3分) 1+x xarctanx-x-dx-arctan x d arctan 1+x xarctanx-In(1+x)--arctan x+C (7分) 高数(一)A卷答案第3页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 3 页 共 6 页 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1. 设 2 3 y = x 1− x + arcsin x + e ，求 dx dy . 解 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x dx dy − + − = − − (5 分) 2 2 2 1 1 1 x x x − − − + = (6 分) 2 1 . 2 = − x (7 分) 2. 计算 + xdx x x arctan 1 2 2 . 解 xdx x xdx x dx x x arctan 1 1 arctan arctan 1 2 2 2 + = − + (3 分) dx x d x x x x x arctan arctan 1 1 arctan 2 − + = − (5 分) arctan . 2 1 ln(1 ) 2 1 arctan 2 2 = x x− + x − x + C (7 分)
3.已知f(x)= 1,x≤1 求∫。f(x-2)dtx x> 解。f(x-2)dx=J2f(o)dt (2分) (x2+1)dx+.xe'dx x+x|+xe I:-5'e'dr (6分) 6+3e3-e-ei 6+2 (7分) 4.已知动点M(x,y2z)到xOy平面的距离与点M到点A(1,-1,2)的距离相等,求点M的 轨迹方程,并指出是什么图形 解由条件得 z|√(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2 (5分) 化简得 (x-1)2+(y+1)2=4z-4 是抛物面 (7分) 高数(一)A卷答案第4页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 4 页 共 6 页 3. 已知 + = , 1 1, 1 ( ) 2 xe x x x f x x ， 求 f (x 2)dx 5 0 − . 解 f x dx f t dt x t ( 2) ( ) 3 2 2 5 0 − − = − = (2 分) x dx xe dx x = − + + 3 1 2 1 2 ( 1) (4 分) x x xe e dx x x + − = + − 3 1 3 1 1 2 3 3 1 (6 分) 3 1 3 6 3 | x = + e − e −e 3 = 6 + 2e (7 分) 4．已知动点 M (x, y, z) 到 xOy 平面的距离与点 M 到点 A(1, -1, 2) 的距离相等, 求点 M 的 轨迹方程, 并指出是什么图形. 解 由条件得 2 2 2 | z|= (x −1) + (y +1) + (z − 2) (5 分) 化简得 ( 1) ( 1) 4 4. 2 2 x − + y + = z − 是抛物面. (7 分)
5.设向量a=1-2j+4k,b=3+j-4k,(1)确定这两个向量是否垂直;(2)求以这 两个向量为边的平行四边形的面积 解(1)因为a·b=1.3+(-2)·1+4-(-4)=-15≠0, 所以两向量不垂直 (3分) a×b=1-24=47+167+7k (5分) 31 4 得平行四边形的面积S=1axb42+162+72=321 (7分) 四、计算题 1.[10分过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线,使之与该曲线以及x轴所围成的平 面图形的面积为,求:(1)切点A的坐标:(2)过点A的切线方程:(3)上述图形绕x轴旋 转所形成的旋转体的体积 解()设切点坐标为(x0,y0),则y=x02,切线方程为y=2x0x-x2,令y=0得 切线的x截距x (2分) 面积 A=xdx-(xo-5xo)yo 12 由以知条件得x0=1,因此切点为A(1,1) (4分) (2)切线方程为y=2x-1 (6分) 「z(x2)2 (2x-1)2dx (8分) 分) 高数(一)A卷答案第5页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 5 页 共 6 页 5．设向量 a i j k = − 2 +4 , b i j k = 3 + −4 , (1) 确定这两个向量是否垂直; (2) 求以这 两个向量为边的平行四边形的面积. 解 (1) 因为 a b =1 3+ (−2) 1+4(−4) = −15 0, 所以两向量不垂直. (3 分) (2) 由 4 16 7 , 3 1 4 1 2 4 i j k i j k a b = + + − = − (5 分) 得平行四边形的面积 | | 4 16 7 321. 2 1 2 2 2 S = a b = + + = (7 分) 四、计算题 1. [10 分]过曲线 ( 0) 2 y = x x 上某点 A 作一切线，使之与该曲线以及 x 轴所围成的平 面图形的面积为 12 1 ．求：(1) 切点 A 的坐标； (2) 过点 A 的切线方程；(3) 上述图形绕 x 轴旋 转所形成的旋转体的体积． 解 (1) 设切点坐标为 ( , ) 0 0 x y , 则 , 2 0 0 y = x 切线方程为 2 , 2 0 0 y = x x − x 令 y = 0 得 切线的 x 截距 0 2 1 x , (2 分) 面积 , 12 1 4 1 3 1 ) 2 1 ( 2 1 3 0 2 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 A x dx x x y x x x x x = − − = − = 由以知条件得 1, x0 = 因此切点为 A(1, 1). (4 分) (2) 切线方程为 y = 2x −1. (6 分) (3) V x dx x dx 2 1 1/ 2 2 2 1 0 = ( ) − (2 −1) (8 分) . 30 1 (2 1) 6 1 5 1 1 1/ 2 3 1 0 5 = − − = x x (10 分)
2.[5分将边长为a的正方形薄板铅直 地浸入水中,其上底边与水面平齐,求薄板 侧所受的水压力(设水的比重为y) 解取x为积分变量,x∈[0,a] 压力元素dP= yxadx P=orad ya.a =ra (5分) 2 2 五、[6分]设函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,试证:在(a,b)内存在唯一一点c,使 得直线x=c将曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分 证令F()=J。(x)tx-J”f(xtx,t∈a,b (2分) F(a)=-J。f(x)dx0 由零点定理,至少存在一点C∈(a1,b),使得F(c)=0 (4分) 又 F(t)=f(1)+f()>0, 表明F(t)单调递增,因此函数F(x)至多有一个零点 (5分) 综上所述,(a,b)内存在唯一一点c,使得F(c)=0,即 ∫。fxlx=」。f(x)t 也即直线x=c将曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分 (6分) 高数(一)A卷答案第6页共6页
高数（一） A 卷 答案 第 6 页 共 6 页 O a 水面 x 2. [5 分]将边长为 a 的正方形薄板铅直 地浸入水中, 其上底边与水面平齐, 求薄板 一侧所受的水压力(设水的比重为 ). 解 取 x 为积分变量, x[0, a], 压力元素 dP = xadx, (2 分) P x adx a = 0 . 2 1 2 1 2 3 = a a = a (5 分) 五、[6 分] 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续且 f (x) > 0, 试证: 在 (a, b) 内存在唯一一点 c, 使 得直线 x = c 将曲线 y = f (x) 与直线 x = a, x = b 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分. 证 令 F(t) f (x)dx f (x)dx, t [a, b], b t t a = − (2 分) 则 ( ) = − ( ) 0, F a f x dx b a ( ) = ( ) 0, F b f x dx b a 由零点定理, 至少存在一点 c(a,b) , 使得 F(c) = 0; (4 分) 又 F(t) = f (t) + f (t) 0, 表明 F(t) 单调递增, 因此函数 F(x) 至多有一个零点. (5 分) 综上所述, (a, b) 内存在唯一一点 c, 使得 F(c) = 0, 即 f (x)dx f (x)dx, b c c a = 也即直线 x = c 将曲线 y = f (x)与直线 x = a, x = b 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分. (6 分)