第一学期第十次课 252可逆矩阵,方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义 定义设A是属于K上的一个n阶方阵,如果存在属于K上的n阶方阵B,使 BA=AB=E 则称B是A的一个逆矩阵,此时A称为可逆矩阵 2、群和环的定义 定义设A是一个非空集合。任意一个由A×A到A的映射就成为定义在A上的代数 运算 定义设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算(二元运算),称为乘法, 记作a*b,而且它适合以下条件,那么就成为一个群 1、乘法满足结合律 对于G中的任意元素ab,c有(a*b)*C=a*(b*C) 2、存在单位元素e∈G,对于任意a∈G,满足e*a=a; 3、对于任意a∈G,存在b∈G,使得b*a=e。 关于群的性质,我们有如下命题: 命题对于任意a∈G,同样有a*b=e 证明对于b,存在C∈G,使得cb=e, 两端右乘b,得到 命题对于任意a∈G,同样有a*e=a 证明a=e*a=(a*b)*a=a*(b*a)=a*e 命题单位元素唯 证明假设存在e,e'∈G,均是单位元素,则e=e'e=e 命题对于任意a∈G,存在唯一b∈G,使得a*b=b*a=e,于是元素b就称为a 的逆元素,记为a-1。 证明设存在b,c∈G,满足条件,则 b=e*b=(c*a*b=c(a*b=cse=c 易知,(a)=a 命题对于G中的任意元素ab,方程a*x=b有唯一解。 定义一个群G称为一个交换群( Abelian Group),若定义在上面的代数运算*满足交 换律,即对于任意a,b∈G,都有a*b=b*a
第一学期第十次课 2.5.2 可逆矩阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义 定义 设 A 是属于 K 上的一个 n 阶方阵，如果存在属于 K 上的 n 阶方阵 B，使 BA AB E = = ， 则称 B 是 A 的一个逆矩阵，此时 A 称为可逆矩阵。 2、群和环的定义 定义 设 A 是一个非空集合。任意一个由 A A 到 A 的映射就成为定义在 A 上的代数 运算。 定义 设 G 是一个非空集合。如果在 G 上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法， 记作 a b ，而且它适合以下条件，那么 G, 就成为一个群： 1、 乘法满足结合律 对于 G 中的任意元素 a,b,c 有 ( ) ( ) a b c a b c = ； 2、 存在单位元素 e G ，对于任意 a G ，满足 e a a = ； 3、 对于任意 a G ，存在 b G ，使得 b a e = 。 关于群的性质，我们有如下命题： 命题 对于任意 a G ，同样有 a b e = 证明 对于 b ，存在 c G ，使得 cb e = ， a e a c b a c b a c e = = = = ( ) ( ) ， 两端右乘 b ，得到 a b e = 。 命题 对于任意 a G ，同样有 a e a = 证明 a e a a b a a b a a e = = = = ( ) ( ) 。 命题 单位元素唯一 证明 假设存在 e e G , ' ，均是单位元素，则 e e e e = = ' ' 。 命题 对于任意 a G ，存在唯一 b G ，使得 a b b a e = = ，于是元素 b 就称为 a 的逆元素，记为 1 a − 。 证明 设存在 b c G , ，满足条件，则 b e b c a b c a b c e c = = = = = ( ) ( ) 。 易知， 1 1 ( ) a a − − = 。 命题 对于 G 中的任意元素 a,b，方程 a x b = 有唯一解。 定义 一个群 G 称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算 满足交 换律，即对于任意 a b G , ，都有 a b b a =
定义设L是一个非空集合,在L上定义了两个代数运算,一个叫加法,记为a+b, 个叫乘法,记为ab。如果具有性质 (1)、L关于加法成为一个交换群 (2)、乘法满足结合律,即 va,b,c∈L,有a(bc)=(ab)c; (3)、乘法关于加法满足分配律,即Va,b,c∈L,有 a(b+c)=ab+ac 那么L就称为一个环。 命题数域K上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为K上的一般线性 群,记为GLn(K):数域K上的n阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为K上的 全矩阵环,记为Mn(K) 证明按定义逐项验证即可。其中GL,(K)中乘法的单位元是n阶单位矩阵,而Mn(K) 中加法的单位元是n阶零方阵 命题(AB)=BA 证明BA(AB)=E,由逆矩阵的唯一性可知,命题成立。 命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B,则B'是A的逆矩阵 证明只需要证明B'A'=A'B'=E即可 事实上, AB)=E=E A"B'=(BA)'=E'=E 于是命题得证。 命题矩阵可逆当且仅当满秩 证明必要性若n阶方阵A可逆,则存在n阶方阵B,使得BA=E,于是有 n=r(BA)≤r(A)≤n,于是r(A)=n; 充分性若n阶方阵满秩,则A可以表为初等矩阵的乘积,即存在初等矩阵B1,P,…,Pn, 使得A=PP2…Pn。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上,P(k·1)P(·1)=E P(k·i,j)P(-ki,j)=E:P(G,j)PG,j=E,所以由命题x=PP1…P。证 253用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,矩阵方程AX=B和XA=B的解法(A为可逆 阵
定义 设 L 是一个非空集合，在 L 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为 a+b，一 个叫乘法，记为 ab。如果具有性质： （1）、L 关于加法成为一个交换群； （2）、乘法满足结合律，即 a b c L , , ，有 a bc ab c ( ) ( ) = ； （3）、乘法关于加法满足分配律，即 a b c L , , ，有 ( ) , ( ) . a b c ab ac b c a ba ca + = + + = + 那么 L 就称为一个环。 命题 数域 K 上的 n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为 K 上的一般线性 群，记为 GL (K) n ；数域 K 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为 K 上的 全矩阵环，记为 M (K) n ； 证明 按定义逐项验证即可。其中 GL (K) n 中乘法的单位元是 n 阶单位矩阵，而 M (K) n 中加法的单位元是 n 阶零方阵。 命题 1 1 1 ( ) AB B A − − − = 证明 1 1 B A AB E ( ) − − = ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。 命题 假设 n 阶可逆方阵 A 的逆矩阵是 B，则 B ' 是 A' 的逆矩阵。 证明 只需要证明 B A A B E ' ' ' ' = = 即可。 事实上， ' ' ( )' ' ' ' ( )' ' B A AB E E A B BA E E = = = = = = ， 于是命题得证。 命题 矩阵可逆当且仅当满秩； 证明 必要性 若 n 阶方阵 A 可逆，则存在 n 阶方阵 B，使得 BA E = ，于是有 n r BA r A n = ( ) ( ) ，于是 r A n ( ) = ； 充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 1 2 , , , P P P n ， 使得 A PP P = 1 2 n 。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上， 1 P k i P i E ( ) ( ) k • • = ； P k i j P k i j E ( , ) ( , ) • − • = ； P i j P i j E ( , ) ( , ) = ，所以由命题 1 1 1 1 A P P P n n 1 1 − − − − = − 。证 毕。 2.5.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（ A 为可逆 阵）
1、用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果A可逆,则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形,即 PPn1…PA=E,则A=PPn1…PE。 于是,对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换(由矩阵乘法和初等变换的等价 性可以知道这是可行的)就可以得到A的逆矩阵,不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在 起,得到(4E),对A进行初等行变换,将其化为对角形,即得到(E|A) 同样地,将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状 进行初等列变换,同样可以得到A 2、关于矩阵方程AX=B和MA=B的解法(其中A为可逆阵) a、关于矩阵方程AX=B,其中A是一个n×n矩阵,X和B是n×l矩阵 由关于群性质,可以知道X=AB,于是将A和B并排拼成一个矩阵(AB),进行初等 行变换,将A化为单位矩阵,于是可以得到(E|AB) b、关于矩阵方程XA=B,其中A是一个n×n矩阵,X和B是m×n矩阵。同样地, 我们将A和B拼为(B),可以得到方程的解BF 例设A和B为数域K上的m×n和n×s矩阵,则 r(AB)≥r(A)+(B)-n 证明存在mXm和n×n初等矩阵,使得PP2…PAQQ2…Q=D,其中D为A在 初等变换的下标准形,记S为D的秩。令P=PP…P;Q=9Q2…Q,则PQ=D。Q 和P均为满秩方阵,则 r(AB=r(PAB)=r((PAQo B=r(D(o- B)) 6. b 记QB为 hb:b b, b
1、 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果 A 可逆，则 A 满秩。于是 A 可以经过初等行变换化为对角形，即 P P P A E n n−1 1 = ，则 1 A P P PE n n 1 1 − = − 。 于是，对单位矩阵做与把 A 化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价 性可以知道这是可行的）就可以得到 A 的逆矩阵，不妨把可逆矩阵 A 和单位矩阵 E 并在一 起，得到 ( A E| ) ，对 A 进行初等行变换，将其化为对角形，即得到 ( ) 1 E A| − ； 同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状 A E ， 进行初等列变换，同样可以得到 1 A − 。 2、关于矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（其中 A 为可逆阵） a、关于矩阵方程 AX = B ，其中 A 是一个 n n 矩阵，X 和 B 是 n l 矩阵。 由关于群性质，可以知道 1 X A B− = ，于是将 A 和 B 并排拼成一个矩阵 ( A B| ) ，进行初等 行变换，将 A 化为单位矩阵，于是可以得到 1 ( | ) E A B− ； b、关于矩阵方程 XA = B ，其中 A 是一个 n n 矩阵，X 和 B 是 m n 矩阵。 同样地， 我们将 A 和 B 拼为 A B ，可以得到方程的解 1 BA− 。 例 设 A 和 B 为数域 K 上的 m n 和 n s 矩阵，则 r (AB) r (A) +r (B) − n. 证明 存在 m m 和 n n 初等矩阵，使得 PP P AQ Q Q D 1 2 1 2 s t = ，其中 D 为 A 在 初等变换的下标准形，记 s 为 D 的秩。令 1 2 1 2 ; P PP P Q Q Q Q = = s t ,则 PAQ D= 。Q 和 P 均为满秩方阵，则 1 1 r AB r PAB r PAQ Q B r D Q B ( ) ( ) (( ) ) ( ( )) − − = = = ， 记 1 Q B− 为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b b b b ，则
b 6. b DO B 00 0 00 0 于是DQB的秩为QB前s个行向量的秩。而QB可以被gB前s个行向量的极大线 性无关部分组和OB的后ns个向量线性表示,于是 (QB)≤r(DQB)+(n-s) 于是 r(AB)≥r(A)+r(B)-n。 证毕
1 DQ B− = 11 12 1 21 22 2 1 2 0 0 0 0 0 0 m m s s sn b b b b b b b b b ， 于是 1 DQ B− 的秩为 1 Q B− 前 s 个行向量的秩。而 1 Q B− 可以被 1 Q B− 前 s 个行向量的极大线 性无关部分组和 1 Q B− 的后 n-s 个向量线性表示，于是 1 1 r Q B r DQ B n s ( ) ( ) ( ) − − + − ， 于是 r AB r A r B n ( ) ( ) ( ) + − 。 证毕