复变数与积分变换 第八章 Laplace变换 §8.1 Laplace变换的概念 §8.2 Laplace变换的性质 §8.3 Laplace逆变换 §8.4 Laplace变换的应用
第八章 Laplace变换
复变数与积 主要内容 本章介绍 Laplace变换的概念、性质 变以及 aplace逆变换最后给出 Laplace变 换一些应用的例子
本章介绍Laplace变换的概念、性质 以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子
复变数 Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 画但是在通常意义下, Fourier变换存在的条件需要 5实函数/0在(+)上绝对可积很多常见的初等 积函数(例如,常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等都不满足这个要求另外,很多以时间为 变 换为自变量的函数,当0时,往往没有定义,或者 不需要知道κ0的情况.因此, Fourier变换在实际 G应用中受到一些限制
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制
当函数f(2)在0)
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需要知 道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier 变换的表达式为 0 [ ( )] ( ) d . i t f t f t e t F 但是仍然需要f (t)在[0,)上绝对可积的条件， 这个要求限制了它的应用. 对定义在[0,)上的函数 f (t), 如果考虑 1( ) ( ) ( 0), t f t f t e
复 那么f1(t)容易满足在|0,+)上绝对可积的 变要求例如,f()为常数、多项式、正弦与余弦 数函数时, 与 f(t)=f(te p(b> 积 分都在0,+∞)上绝对可积这是因为t→+∞时,eB 变 换是衰减速度很快的函数,称它为指数衰减函数 如果β>0取得适当大,那么 f1(t) ∫f()l,t≥0 t<0
那么 1f (t) 容易满足在 [0,)上绝对可积的 要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦 函数时, 1( ) ( ) ( 0) t f t f t e 都在[0,)上绝对可积. 这是因为 t 时, t e 是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数. 如果 0 取得适当大，那么 1 ( ) , 0 ( ) 0, 0 t f t e t f t t
复的 Fourier变换可能有意义f()的 Fourier变换 变可表示为 数与积分变 f(t) e o dt=.f(t)e (B+io)t 将B+io记为s,可写成 ∫n ∫(t)es"d 换这就是本章要讨论的 Laplace变换,它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便
的Fourier变换可能有意义. 1f (t)的Fourier变换 可表示为 ( ) 0 0 ( ) d ( ) d . t i t i t f t e e t f t e t 将 i 记为s, 可写成 0 ( ) ( ) d . st F s f t e t 这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便
复变函数与积兮变换 §8.1 Laplace变换的概念 1 Laplace变换的定义 2周期函数和δ函数的 Laplace变换
1 Laplace变换的定义 2 周期函数和d 函数的Laplace变换 §8.1 Laplace变换的概念
8.1.1 Laplace变换的定义 复变函数与积兮变换 定义81设f(1)在t≥0上有定义,并且积分 F(s)= f(t)e"dt(s是复参变量)关于某一范围 s收敛,则由这个积分确定的函数 F(s)=f(oe sdt, 称为函数∫()的 Laplace变换,并记做LIf(o),即 L I(t]=F(s)=f(t)e stdt
定义8.1 设 f (t)在 t 0上有定义, 并且积分 0 ( ) ( ) d st F s f t e t (s是复参变量)关于某一范围 s 收敛，则由这个积分确定的函数 0 ( ) ( ) d , st F s f t e t 称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做L [ f (t)],即 0 [ ( )] ( ) ( ) d . st f t F s f t e t L 8.1.1 Laplace变换的定义
F(S)称为∫(t)的像函数,f(t)称为F() 复变函数与积分变一 的像原函数 已知F(s)是∫(n)的 Laplace变换,则记 f(t=L-F(s) 换并称∫(0)为F(的 Laplace变换
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数. 已知 F(s)是 f (t) 的Laplace变换，则记 1 f (t) [F(s)], L 并称 f (t)为F(s)的Laplace逆变换
例81求单位阶跃函数 复变函数与积兮变换 t>0 u(t)= 0,t0时, + OO L[() e dt 因为在 Laplace变换中不必考虑t<0时的情况, 所以经常记作L[
0 0 1 1 [ ( )] d . st st u t e t e s s L 因为在Laplace变换中不必考虑 t 0 时的情况， 所以经常记作 1 [1] . s L 例8.1 求单位阶跃函数 1, 0 ( ) 0, 0 t u t t 的Laplace变换. 根据Laplace变换的定义，当 Re s 0 时
