§2计算不定式极限的一般方法 一洛必达法则 §21两个基本类型不定式 0 0型不定式 2.型不定式
§2 计算不定式极限的一般方法 ——洛必达法则 §2.1 两个基本类型不定式 1. 0 0 型不定式 2. 型不定式
1.0型不定式 定理1如果函数fx)和g(x)满足 (1)当x→x或x-→>0时,f(x)->0,g(x)->0 (2)∫(x)和g"(x)存在,且g(x)≠0 3)im(x)存在或为无穷大 g(x) 那么加J(x)=mi"(x) g(x) g(x)
1. 型不定式 0 0 定理1 如果函数f(x)和g(x)满足 (1)当x→a或x→时, f(x)→0, g(x)→0 (2) f (x)和g (x)存在,且g (x)0 (3) ( ) ( ) lim g x f x 存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x =
定义:这种在一定条件下通过分子分母 分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 例1求 lim tan x x→>0y 解:原式= (tan x)y x->0 2 sec x x→)0
定义: 这种在一定条件下通过分子分母 分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 例1 求 x x x tan lim →0 解: 原式= x x x → (tan ) lim 0 1 sec lim 2 0 x x→ = =1 0 0
例2求lmx-3x+2 0 x少1x3-x2-x+1 解:原式=im 3x2-3 x→13x2-2x-1 =lim-6x x→16x-2 =lim=1(错解) x→16
例2 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 解: 原式= 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − → x x x x 0 0 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 1 6 6 lim 1 = = x→ (错解) 0 0
2.型不定式 定理2如果函数(x)和g(x)满足 (1)当x→>a或x->o时,fx)->,g(x)- (2)f(x)和g(x)存在,且g'(x)≠0 )(x存在(或为无穷大 8(r) 那么limf(x)=imf(x) g(x) 8(r)
2. 型不定式 定理2 如果函数f(x)和g(x)满足 (1)当x→a或x→时, f(x)→, g(x)→ (2) f (x)和g (x)存在,且g (x)0 (3) ( ) ( ) lim g x f x 存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x =
例3求lmx x→+y 解:原式=limx x→)+0∠y -lim 1 2 x→)+2y =0
例3 求 2 ln lim x x x→+ 解: 原式= x x x 2 1 lim →+ 2 2 1 lim x→+ x = =0
兀- arctan x 例4求lim2 X→+0 解:原式=加im1+飞≠mim灯 y→+Q x→)+011+x 2 lim x→》+∞2x
例4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解: 原式= 0 0 2 2 1 1 1 lim x x x − + − →+ 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 x x x 2 2 lim →+ =
例5求 lim In SIna x→>0 n sinx cos ax·m 解:原式= :lim onn uw x→>01 cos bx·b sin bx a cos ax sin bx 0 x-0 bcos bx sin ax 0 lim a cos ax lim bcos bx x-0 bcos bx xo0 acos ax =lim coS hx =1 x→>0 cos ax
例5 求 bx ax x lnsin lnsin lim →0 解: 原式= bx b bx ax a ax x → cos sin 1 cos sin 1 lim 0 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim →0 = a ax b bx b bx a ax x x cos cos lim cos cos lim →0 →0 = ax bx x cos cos lim →0 = =1 0 0
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效 方法,但与其它求极限方法结合使用, 效果更好 例6求 lim tanx-x x→>0y2tanx 解:原式- lim tanx-x, secx-1 =m x→>0 3 x-03x2 =lim 2secxsecx tan x 6x =lim tanx x→>03x3
注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效 方法,但与其它求极限方法结合使用, 效果更好 例6 求 x x x x x tan tan lim 2 0 − → 解: 原式= 3 0 tan lim x x x x − → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x x x 6 2sec sec tan lim →0 = x x x 3 tan lim →0 = 3 1 =
例7求 lim x+cosx x→0 解:原式=im1-Sinx=lm(-sinx) x→ ●● x→0 极限不存在 洛必达法则失效 原式=lim(1+1cosx)=1 注意:洛必达法则的使用条件
例7 求 x x x x cos lim + → 解: 原式= 1 1 sin lim x x − → lim(1 sin x) x = − → 极限不存在 洛必达法则失效 原式= cos ) 1 lim(1 x x x + → =1 注意: 洛必达法则的使用条件