《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）8.1.1 线性代数——行列式的定义

第八章处理线性关系的数学问题 线性代数概述 §I一种特殊数—行列式 §11行列式的定义

第八章 处理线性关系的数学问题 ——线性代数概述 §1 一种特殊数——行列式 §1.1 行列式的定义

b, 求解二元线性方程组 12~2 a21x1+a2x2=b2 1ly1+观L 1222~2 b 采用消元法→ 22 12021~1 十a1 12022~2 a12b2 若a1a2-a12a21≠0→x1 22 1202 1122a 12021 同理→x2= 1b2-b14a2 1122 12u21

   + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 采用消元法    + = + =  1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 a a x a a x a b a a x a a x b a 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − −  = 同理 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 若a11a22−a12a210 求解二元线性方程组

为了便于讨论,引进符号 12 22 来表示数a1a2-a12a21,即 12 112-a.(1 21 22 我们称之为二阶行列式,其中横写的叫行, 竖写的叫列,Gi12称为它的元素

为了便于讨论,引进符号 21 22 11 12 a a a a 来表示数a11a22−a12a21,即 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a = − 我们称之为二阶行列式,其中横写的叫行, 竖写的叫列,aij (i,j=1,2)称为它的元素

十 则方程组 12~2 的解 a211+a2x2=b2 b a1202-,x h-b 22 21 2 1122 12021 1122 1221 可写成 12 ÷,2a 22 →公式解 12 12 21 22 21 22

则方程组    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 的解 21 22 11 12 2 22 1 12 1 a a a a b a b a x = 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 a a a a a b a b x = , 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 可写成: →公式解

在这个公式解中,有一定的规律可循: (1)分母是由原方程组未知 数系数按原顺序排成的一x1 D 个行列式,记作D 12 21 22 (2)x的分子行列式是将分 母行列式的第一列换成常 数项而得;x2的分子行列式 21 是将分母行列式的第二列 12D 换成常数项所得分别记作12 DD 2

在这个公式解中,有一定的规律可循: (1)分母是由原方程组未知 数系数按原顺序排成的一 个行列式,记作D (2)x1的分子行列式是将分 母行列式的第一列换成常 数项而得;x2的分子行列式 是将分母行列式的第二列 换成常数项所得.分别记作 D1 , D2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 a a a a b a b a x = 21 22 11 12 21 2 11 1 2 a a a a a b a b x = D D1 = D D2 =

求解三元线性方程组 a11x1+a12x,+a1x3=b 2n1x1+l2X2+23-03 31x1+a32x2+a3x3=b3 采用消元法消去x2与x3→ 1122033+1223 317a 13021032 1(a23432-a121a3-a13f231)x b1a23+a12423b3+a13b2a32 b1a2332-a12b23-a1342b3

(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31) x1 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32 −b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3 求解三元线性方程组      + + = + + = + + = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 采用消元法,消去x2与x3

由二阶行列式的定义,x1的系数可表示成 22 23 21 23 21 22 12 L 13 32 33 31 33 31 32 2 13 把它记为 21a ,称为三阶行列式 22 23 31 32L 33 上式的规律:把第一行每一元素乘以划去该元 素所在的行、列之后剩下的二阶行列式,前面 再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和

由二阶行列式的定义, x1的系数可表示成: 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a − + 把它记为 ,称为三阶行列式 上式的规律: 把第一行每一元素乘以划去该元 素所在的行、列之后剩下的二阶行列式, 前面 再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和

若x1的系数不为零,方程组的解可表示为: 12, 13 13 2 22 23 21 b2 23 3 32a 33 31 3 33 2 11 12 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32a, 33 31 32 33

若x1的系数不为零,方程组的解可表示为: 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 a a a a a a a a a b a a b a a b a a x = 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 3 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 a a a a a a a a a a b a a b a a b a x =

12 21 22 x1,x2,x3分子行列式 都是由分母行列式 31 32 3 去掉对应于的第 -ana2a再换上常数列b,b 2na22a2组成 32 33 DI D3 公式解:x1=D,x2=Dx=D

3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a b a a b a a b x = x1 , x2 , x3分子行列式 都是由分母行列式 去掉对应于的第i列, 再换上常数列b1 ,b2 ,b3 组成 , 2 2 D D x = D D x 3 , 3 = 1 1 D D 公式解: x =

n阶行列式 定义:由n2个数an(户=1,2,…,n)构成n阶 行列式 12 D 21 22 2n n2 nn

n阶行列式 定义: 由n 2个数aij (i, j=1,2,...,n)构成n阶 行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =