第二章微积分的研究对象 函数、连续函数 s1微积分的主要研究对象 初等函数 s11变量相依关系的数学模型 函数
第二章 微积分的研究对象 ——函数、连续函数 §1 微积分的主要研究对象 ——初等函数 §1.1 变量相依关系的数学模型 ——函数
常量与变量 常量:在某过程中数值保持不变的量 变量:数值变化的量 函数就是刻画变量间在运动变化中 相依关系的数学模型
常量与变量 常量：在某过程中数值保持不变的量 变量：数值变化的量 函数就是刻画变量间在运动变化中 相依关系的数学模型
例1球的半径r与该球的体积V互相联系 Vr∈|0,+)都对应一个球的体积v 已知r与之间的对应关系是:=4m3 那么当半径r在区间[0,∞)上任意取 定一个数值时,由上式就可以确定球体积 J的相应数值
例1 球的半径r与该球的体积V 互相联系 r[0,+)都对应一个球的体积V 已知r与V之间的对应关系是： 3 3 4 V = r 那么当半径r在区间[0,+)上任意取 定一个数值时,由上式就可以确定球体积 V的相应数值
例2Vx∈R都对应一个数y=sinx 即x与y之间的对应关系是:y=sinx 例3Vx∈(-56都对应一个数y=3x2+x-1 即x与y之间的对应关系是:y=3x2+x-1 以上例子从数学角度看,有共同的特 征:都有一个数集和一个对应关系对于 数集中任意数x按照对应关系都对应R中 个确定的数
例3 x(−5,6]都对应一个数y=3x 2+x−1 即x与y之间的对应关系是: y=3x 2+x−1 以上例子从数学角度看,有共同的特 征: 都有一个数集和一个对应关系. 对于 数集中任意数x,按照对应关系都对应R中 一个确定的数. 例2 xR都对应一个数y=sinx 即x与y之间的对应关系是: y=sinx
定义设x和y是两个变量,X是一个给定的 数集如果对于每个数x∈X,变量y按照某个 对应法则f,都有唯一确定的值和它对应, 则称是x的函数作y=f(x) 因变量〖自变量 x的取值范围X叫做函数的定义域, 和x的值对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合Y叫做函数的值域
设x和y是两个变量,X是一个给定的 数集,如果对于每个数xX,变量y按照某个 对应法则 f , 都有唯一确定的值和它对应, 则称y是x的函数,记作 y=f(x) x的取值范围X叫做函数的定义域, 和x的值对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合Y叫做函数的值域 因变量 自变量 定义
如果对于确定的xn∈X通过对应法则 f因变量y有唯一确定的实数值v相对应, 则称函数yf(x)在点x有定义如果函数在 某个区间上的每一点都有定义,则称这个 函数在该区间上有定义 函数的三要素:定义域、对应法则、值域 对应法 自变量 r y f(ro) 因变量
自变量 因变量 对应法则f 函数的三要素:定义域、对应法则、值域 x X x0 Y y f(x0 ) ( ) ( ) 如果对于确定的x0X,通过对应法则 f,因变量y有唯一确定的实数值y0相对应, 则称函数y=f(x)在点x0有定义.如果函数在 某个区间上的每一点都有定义, 则称这个 函数在该区间上有定义
有些函数在其定义域上的对应法则 不能由一个式子表示,而是在定义域的不 同区段上由不同的式子来表示这样的函 数叫做分段函数 2x-1,x>0 例如,f(x)= x2-1,x≤0 y=2x-
1 y = 2x − 1 2 y = x − 有些函数在其定义域上的对应法则 不能由一个式子表示,而是在定义域的不 同区段上由不同的式子来表示,这样的函 数叫做分段函数 例如, − − = 1, 0 2 1, 0 ( ) 2 x x x x f x
函数的特性 1.函数的有界性: 设定义域为X,M为非负实数若vx∈X, 有x)≤M,则称fx)在X内有界 flx
函数的特性 M −M y o x y=f(x) X 1．函数的有界性: 设定义域为X, M为非负实数.若xX, 有|f(x)|≤M,则称f(x)在X内有界
2.函数的单调性: 设定义域为X,区间∈X,如果对于 区间上任意两点x1及x2,当x1xx2时,有 fx1)<f(x2)2则称函数(x)在区间/上单调 增加 you) f(x
2．函数的单调性: x y o 设定义域为X, 区间IX, 如果对于 区间I上任意两点 x1及x2 , 当x1<x2时,有 f(x1 )<f(x2 ),则称函数f(x)在区间I上单调 增加 y=f(x) f(x1 ) f(x2 ) I
设定义域为X,区间I∈X,如果对于 区间l上任意两点x1及x2,当x1x2时,有 fx)>f(x2),则称函数f(x)在区间L上单调 减少 f(1) f(x2) y=fer)
x y o 设定义域为X, 区间IX, 如果对于 区间I上任意两点 x1及x2 , 当x1f(x2 ),则称函数f(x)在区间I上单调 减少 y=f(x) f(x1 ) f(x2 ) I