§34极限的四则运算 1.极限运算法则 2.求极限方法
§3.4 极限的四则运算 1. 极限运算法则 2. 求极限方法
、极限运算法则 定理:设imf(x)=4,img(x)=B,则 (1)lim[f(x)g(x)=4±B (2 )lim(f(x) g (I=A. B (3)lim f(x)4 8(x)=(其中B≠0) (1)与(2)可推广到有限个极限存在的函数
一、极限运算法则 (1)与(2)可推广到有限个极限存在的函数 定理:设limf(x)=A, limg(x)=B,则 (1) lim[f(x)g(x)]=AB (2) lim[f(x)g(x)]=AB (3) B A g x f x = ( ) ( ) lim (其中B0)
推论1如果lmf(x)存在,而c为常数,则 lim(cf(x)=climf(x) 即常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果lmf(x)存在,而n是正整数,则 limit)n=llimf(r)n
即常数因子可以提到极限记号外面 推论1 如果limf(x)存在,而c为常数,则 lim[cf(x)]=climf(x) 推论2 如果limf(x)存在,而n是正整数,则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n
二、求极限方法举例 例1求Iim_,xC-1 2x2-3x+5 A: lim(x2-3x+5)=lim x2-lim 3x +lim 5 x→>2 →2 x→>2 (lim x)"-3 lim x+ lim 5 2 x→)2 x→>2 =2-3.2+5=3≠0 lim x-lim 1 ∴原式=n2 x→2 2°-1_7 im(x2-3x+5)33 x→>2
二、求极限方法举例 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例1 求 解: lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim 3 lim 5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim 5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + =3 0 lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − → → → x x x x x x 3 2 1 3 − = 3 7 ∴原式= =
小结:1.设fx)=ay+a1yn-1+…+an:则有 lim f(x=ao(lim x)+a,(lim x)+.+a x→>ro x→xo x→x =p0a1-01 +…+anf(x0 P 2设∫(x) (x),且Q(xo)≠0,则有 o(c) lim P(x) P(xo) lim f(x) x→>x0 lim e(x)2(ro) f(x0) x→>x0 x→x0 若Q(xo=0,则商的法则不能应用
小结: 1. 设f(x)=a0x n+a1x n−1+...+an ,则有 n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 (lim ) 1 (lim ) 1 0 0 0 =a0x0 n+a1x0 n−1+...+an =f(x0 ) 2.设 ( ) ( ) ( ) Q x P x f x = ,且Q(x0 )0,则有 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = =f(x0 ) 若Q(x0 )=0,则商的法则不能应用
例2求im-24x y2+2x-3 解::im(x2+2x-3)=0商的法则不能用 又∴im(4x-1)=3≠0 imx2+2x-3=0=0 x→4x-1 3 由无穷小与无穷大的关系,得 lim.2 x→1x2+2-3
2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x 例 x 2 求 解: lim( 2 3) 2 1 + − → x x x =0 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 =3 0 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 3 0 = =0 由无穷小与无穷大的关系,得 = + − − → 2 3 4 1 lim 2 1 x x x x
例3求imx2-1 0 99 2 +2x-3 解:x-以1时,分子,分母的极限都是零 X (x+1)(x-1) xx2+2x-3x1(x+3)(x-1) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求 极限) = lim x+1 x→Ix+32 消去零因子法
2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x 例 x 3 求 解: x→1时,分子,分母的极限都是零 “ ” 0 0 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 1 + − + − = → x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x 2 1 = (先约去不为零的无穷小因子x−1后再求 极限) 消去零因子法
例4求lim2x,+3x,+5 6009 X→0 7x3+4x2-1 解:x-)∞时,分子,分母的极限都是无穷大 先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限 3,5 2+3 2x3+3x2+5 3 3 2 =lim x>∞7x3+4x 7+ 无穷小因子分出法 以分母中自变量的最高次幂处分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限
7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x 例 x 4 求 解: x→时,分子,分母的极限都是无穷大 “ ” 先用x 3去除分子分母,分出无穷小,再求极限 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 3 3 4 1 7 3 5 2 lim x x x x x + − + + = → 7 2 = 无穷小因子分出法 以分母中自变量的最高次幂处分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限
例5求lm( 2 十十 解:n-→>∞时,是无穷小之和 先变形再求极限 im(,+2,+…+1,)=lim 1+2+…+n n→)0 n(n+1) =lim im(1+)= n→0 n→0 2
) 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 例5 求 解: n→时,是无穷小之和 先变形再求极限 ) 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 2 1 2 lim n n n + + + = → 2 ( 1) 2 1 lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → 2 1 =
例6求lmSx sInx J 解: 当x→>0 时 1为无穷小 而sinx是有界函数 SInd 0 x→>0x
x x y sin = x x x sin lim → 例6 求 解: 当x→时, x 1 为无穷小 而sinx是有界函数 0 sin lim = → x x x