《概率与统计》 概率与统计解答题精选

概率与统计解答题精选 1.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不 再重复,试求下列事件的概率 (1)第3次拨号才接通电话;(2)拨号不超过3次而接通电话. 解:设A1={第i次拨号接通电话},i1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为4于是所求概率为P(A4)=x3×1= (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为:A+A1A2+A1A243于是所求概率为 P(A+A41+A141,4)=P(A)+P(AA2)+P(4,4)=1+9×1+9x8x1=3 2.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这 事件是相互独立的,并且概率都是 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率 (2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解:(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 (2)易知5~B(6)∴E5=6x1=2.D=6××(-3)= 3.(理科)摇奖器有10个小球,其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5, 现摇出3个小球,规定所得奖金(元)为这3个小球上记号之和,求此次摇奖获 得奖金数额的数学期望 解:设此次摇奖的奖金数额为 当摇出的3个小球均标有数字2时,5=6; 当摇出的3个小球中有2个标有数字2,1个标有数字5时,5=9; 当摇出的3个小球有1个标有数字2,2个标有数字5时,=12 所以 P(=9) c=7P(=12) 分 C15 答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是-元 ………12分 4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9, 数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中 (I)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C,则P(A)=0.9 P(B)=0.8,P(C)=0.85 ……2分

- 1 - 概率与统计解答题精选 1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不 再重复，试求下列事件的概率： （1）第 3 次拨号才接通电话； （2）拨号不超过 3 次而接通电话. 解：设 A1={第 i 次拨号接通电话}，i=1，2，3. （1）第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2A3 于是所求概率为 ; 10 1 8 1 9 8 10 9 ( ) P A1 A2 A3 =   = （2）拨号不超过 3 次而接通电话可表示为：A1+ A1A2 + A1 A2A3 于是所求概率为 P（A1+ A1A2 + A1 A2A3 ）=P(A1)+P( A1A2 )+P( A1 A2A3 )= . 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 +  +   = 2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一 事件是相互独立的，并且概率都是 . 3 1 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 奎屯 王新敞 新疆 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P= . 27 4 3 1 ) 3 1 )(1 3 1 (1− −  = （2）易知 ). 3 1  ~ B(6, ∴ 2. 3 1 E = 6 = . 3 4 ) 3 1 (1 3 1 D = 6  − = 3. （理科）摇奖器有 10 个小球，其中 8 个小球上标有数字 2，2 个小球上标有数字 5， 现摇出 3 个小球，规定所得奖金（元）为这 3 个小球上记号之和，求此次摇奖获 得奖金数额的数学期望 解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元， 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时，ξ=6； 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2，1 个标有数字 5 时，ξ=9； 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2，2 个标有数字 5 时，ξ=12 奎屯 王新敞 新疆 所以， 15 7 ( 6) 3 10 3 8 = = = C C P  15 7 ( 9) 3 10 1 2 2 8 = = = C C C P  15 1 ( 12) 3 10 2 2 1 8 = = = C C C P  ……9 分 Eξ=6× 5 39 15 1 12 15 7 9 15 7 +  +  = （元） 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是 5 39 元 ……………………12 分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 0.9， 数学为 0.8，英语为 0.85，问一次考试中 （Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A、B、C，则 P（A）=0.9 P（B）=0.8，P（C）=0.85 …………………………2 分

(I)P(A·B·C)=P(A)P(B)·P(C) =[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)] (1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003 答:三科成绩均未获得第一名的概率是0.003…… (Ⅱ)P(A·B·C+A·B.C+A·B.C) P(A·B·C)+P(A·B·C)+p(A·B·C) =P(A)·P(B)P(C)+P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)·P(C) =[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1 P(C)] (1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) 答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329………12分 5.如图,A、B两点之间有6条网线并联它们能通过的最大信息量分别为1,1,2 2,3,4现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 (I)设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x,当x≥6时,则保证信息畅通 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 1+1+4=1+2+3=6,∴P(x=6)= 1+C2C21 1+2+4=2+2+3=7P(x=)51 1+3+4=2+2+4=8,P(x=8)s3 2+3+4=9P(x=9)2 2010 4分) P(x≥6)=1+1+3+1=3 (6分) (1)∵1+1+2=4.P(x=4)=11+1+3=1+2+2=5,P(x=5)=3(8分) ∴线路通过信息量的数学期望 二+6×-+7×2+8×-+9×-=6.5 (11分)

- 2 - （Ⅰ） P(A B C) = P(A) P(B) P(C) =[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003 答：三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003………………6 分 （Ⅱ）P（ A BC + A BC + A BC ） = P（ A B C) + P(A B C) + p(A B C) = P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) =[1－P（A）]·P（B）·P（C）+P（A）·[1－P（B）]·P（C）+P（A）·P（B）·[1 －P（C）] =（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85） =0.329 答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329……………………12 分 5. 如图，A、B 两点之间有 6 条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 1，1，2， 2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. （I）设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x，当 x≥6 时，则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率； （II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望. 解：（I） 4 1 1 1 1 4 1 2 3 6, ( 6) 3 6 1 2 1 2 = +  + + = + + =  = = C C C  P x (6 ) 4 3 10 1 20 3 4 1 4 1 ( 6) (4 ) 10 1 20 2 2 3 4 9, ( 9) 20 3 1 3 4 2 2 4 8, ( 8) 4 1 20 5 1 2 4 2 2 3 7, ( 7) 分 分   = + + + = + + =  = = = + + = + + =  = = + + = + + =  = = = P x P x P x P x    （II） (8 ) 20 3 , 1 1 3 1 2 2 5, ( 5) 10 1 1+1+ 2 = 4, P(x = 4) =  + + = + + = P x = = 分 ∴线路通过信息量的数学期望 6.5 10 1 9 20 3 8 4 1 7 4 1 6 20 3 5 10 1 = 4 +  +  +  +  +  = （11 分）

答:(1)线路信息畅通的概率是3.(1)线路通过信息量的数学期望是6.5.(12 分) 6.三个元件TT2、T正常工作的概率分别为 244将它们中某两个元件并联后再 和第三元件串联接入电路 (I)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时 电路图,并说明理由 T2 解:记“三个元件T1、T2、T3正常工作”分别为事件A1、A2、A3,则 P(A1)=,P(A2)=元,P(A3) (Ⅰ)不发生故障的事件为(A2+A3)A.(2分) ∴不发生故障的概率为 P=P(A2+A3)A4]=P(4+A3)·P(A1X4分) 图1 =[1l-P(A2)·P(A3)P(A1) 11,115 (Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下: 图1中发生故障事件为(A1+A2)·A3 不发生故障概率为 P2=P[(41+A2)43]=P(A1+A2)P(A3)=[-P(A1)P(A2)P(A3) P>P(11分) 图2不发生故障事件为(A1+A3)·A2,同理不发生故障概率为P=P2>P1(12分) 说明:漏掉图1或图2中之一扣1分 7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为0.05,而乙机床废品率为0.1,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率;(2)其中至多有一件废品的概率 解:设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”;B=“从乙机床抽得的一件是废品” 则P(A)=0.05,P(B)=0.1, (1)至少有一件废品的概率

- 3 - 答：（I）线路信息畅通的概率是 4 3 . （II）线路通过信息量的数学期望是 6.5.（12 分） 6. 三个元件 T1、T2、T3 正常工作的概率分别为 , 4 3 , 4 3 , 2 1 将它们中某两个元件并联后再 和第三元件串联接入电路. （Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ （Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时 电路图，并说明理由. 解：记“三个元件 T1、T2、T3 正常工作”分别为事件 A1、A2、A3，则 . 4 3 , ( ) 4 3 , ( ) 2 1 ( ) P A1 = P A2 = P A3 = （Ⅰ）不发生故障的事件为（A2+A3）A1.（2 分） ∴不发生故障的概率为 32 15 2 1 ] 4 1 4 1 [1 [1 ( ) ( )] ( ) [( ) ] ( ) ( )(4 ) 2 3 1 1 2 3 1 1 3 1 = −   = = −   = + = +  P A P A P A P P A A A P A A P A 分 （Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图 1 中发生故障事件为（A1+A2）·A3 ∴不发生故障概率为 32 21 [( ) ] ( ) ( ) [1 ( ) ( )] ( ) P2 = P A1 + A2 A3 = P A1 + A2  P A3 = − P A1  P A2 P A3 = (11 ) P2  P1 分 图 2 不发生故障事件为（A1+A3）·A2，同理不发生故障概率为 P3=P2>P1（12 分） 说明：漏掉图 1 或图 2 中之一扣 1 分 7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为 0.05，而乙机床废品率为 0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件 A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则 P（A）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率

P(A+B)=1-P(A+B(2分=1-P(A)P(B) =1-095×0.90=0.145(7分) (2)至多有一件废品的概率 P=P(A.B+A·B+A·B) =005×0.9+0.95×0.1+095×0.9=0.995(12分) 8.(理科)甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被 甲或乙解出的概率为0.92 (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数5的数学期望和方差 解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B. 设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2(2分) 则P(A)=P1=0.6,P(B)=P P(A+B)=1-P(A.B)=1-(1-P11-P2)=P1+P2-PP2=092 0.6+P2-0.6P2=0.92 则04P2=0.32即P2=0.8(7分) (2)P(2=0)=P(A)·P(B)=0.4×0.2=0.08 P(=1)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.6×0.2+04×0.8=044 P(=2)=P(A)P(B)=0.6×0.8=0.48 5的概率分布为 0.08 0.44 E=0×0.08+1×044+2×0.48=0.44+0.96=14 D2=(0-1.4)20.08+(1-14)2044+(2-14)2048 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4 或利用D5=E(22)-(E2)2=236-196=0.4(12分) 9.(理科考生做)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司 要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p为使公司收益的期望值等于a的百分 之十,公司应要求顾客交多少保险金? 解:设保险公司要求顾客交x元保险金,若以ξ表示公司每年的收益额,则ξ是一个随 机变量,其分布列为 6分 因此,公司每年收益的期望值为E=x(1-p)+(x-a)·p=x-ap

- 4 - 1 0.95 0.90 0.145(7 ) ( ) 1 ( )(2 ) 1 ( ) ( ) 分 分 = −  = P A+ B = − P A+ B = − P A  P B （2）至多有一件废品的概率 0.05 0.9 0.95 0.1 0.95 0.9 0.995(12 ) ( ) =  +  +  = 分 P = P A B + A B + A B 8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被 甲或乙解出的概率为 0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数  的数学期望和方差 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B. 设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2.（2 分） 则 P（A）=P1=0.6,P(B)=P2 : ( 2) ( ) ( ) 0.6 0.8 0.48 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.2 0.4 0.8 0.44 (2) ( 0) ( ) ( ) 0.4 0.2 0.08 0.4 0.32 0.8 (7 ) 0.6 0.6 0.92 ( ) 1 ( ) 1 (1 )(1 ) 0.92 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 的概率分布为 则 即 分     = =  =  = = = + =  +  = = =  =  = = =  + − = + = −  = − − − = + − = P P A P B P P A P B P A P B P P A P B P P P P P A B P A B P P P P P P  0 1 2 P 0.08 0.44 0.48 ( ) ( ) 2.36 1.96 0.4(12 ) 0.1568 0.0704 0.1728 0.4 (0 1.4) 0.08 (1 1.4) 0.44 (2 1.4) 0.48 0 0.08 1 0.44 2 0.48 0.44 0.96 1.4 2 2 2 2 2 或利用 = − = − = 分 = + + = = −  + −  + −  =  +  +  = + =      D E E D E 9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，该公司 要赔偿 a 元．设在一年内 E 发生的概率为 p，为使公司收益的期望值等于 a 的百分 之十，公司应要求顾客交多少保险金？ 解：设保险公司要求顾客交 x 元保险金，若以 表示公司每年的收益额，则是一个随 机变量，其分布列为：  x x－a P 1－p p 6 分 因此，公司每年收益的期望值为 E ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap． 8

分 为使公司收益的期望值等于a的百分之十,只需E=0.1a,即x-ap=0.1a, 故可得x=(0.1+p)a 10分 即顾客交的保险金为(0.1十p)a时,可使公司期望获益10%a 分 10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不 能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是0.2 (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); (2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数 解:(1)这批食品不能出厂的概率是:P=1-0.85-C×0.8×0.2≈0.263.4分 (2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是 B=C×0.2×0.8×0.8 五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是: B=C!×0.2×0.83×0.2 10分 由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批产 品是否出厂的概率是:P=B+B=C×0.2×0.82=0.4096 12分 11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出3名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛 比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛 ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,不得参加两盘单打比赛 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 I)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少? 解:(I)参加单打的队员有A2种方法 参加双打的队员有C种方法.…………………2分 所以,高三(1)班出场阵容共有42·C2=12(种) …5分 (I)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两 盘胜 7分 所以,连胜两盘的概率为 111113 …………10分 12.袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事件发生的

- 5 - 分 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十，只需 E ＝0.1a，即 x－ap＝0.1a， 故可得 x＝(0.1＋p)a． 10 分 即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a 时，可使公司期望获益 10%a． 12 分 10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不 能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)； (2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数 字)． 解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P＝1－0.85－ 1 C5 ×0.84×0.2≈0.263．4 分 (2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是： P1＝ 1 C4 ×0.2×0.83×0.8 8 分 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是： P2＝ 1 C4 ×0.2×0.83×0.2 10 分 由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产 品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝ 1 C4 ×0.2×0.83＝0.4096． 12 分 11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出 3 名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是： ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . 2 1 （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？ 解：（I）参加单打的队员有 2 A3 种方法. 参加双打的队员有 1 C2 种方法.……………………………………………………2 分 所以，高三（1）班出场阵容共有 12 1 2 2 A3 C = （种）………………………5 分 （II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两 盘胜，………………………………………………………………………7 分 所以，连胜两盘的概率为 . 8 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  +   = ………………………………10 分 12. 袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球，从中任意摸出 4 个，求下列事件发生的

概率 (1)摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球 解:(Ⅰ)设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B,则 P(A) A、B为两个互斥事件 ∴P(A+B)=P(A)+P(B) 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为一… 6分 (Ⅱ)设摸出的4个球中全是白球为事件C,则 P(C)=5=-至少摸出一个黑球为事件C的对立事件 其概率为/113.……2分 13.一名学生骑自行车上学,从他的家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各交通 岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是 (I)求这名学生首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率; (I〕求这名学生在途中遇到红灯数5的期望与方差 解:(1)P=(1-M、1 分 (II)依题意5B(6, 分 9分 D5=6·(1-) 12分 14.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这 事件是相互独立的,并且概率都是 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率 (2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解:(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 g=(3 )(1一) (2)易知5~B(6)∴E5=6x÷=2.B=6×0-2=

- 6 - 概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球. 解： （Ⅰ）设摸出的 4 个球中有 2 个白球、3 个白球分别为事件 A、B，则 7 3 , ( ) 7 3 ( ) 4 8 1 3 2 5 4 8 2 3 2 5 =  = =  = C C C P B C C C P A ∵A、B 为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）= 7 6 即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 7 6 …………6 分 （Ⅱ）设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C，则 P（C）= 14 1 4 8 4 5 = C C 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 其概率为 14 13 14 1 1− = ………………12 分 13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各交通 岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是 3 1 . （I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率； （II）求这名学生在途中遇到红灯数  的期望与方差. 解：（I） 27 4 3 1 ) 3 1 )(1 3 1 P = (1− − = …………………………………………4 分 （II）依题意  ~ ), 3 1 B(6, ……………………………………………………7 分 2 3 1  E = 6  = ……………………………………………………………9 分 3 4 ) 3 1 (1 3 1 D = 6   − = ……………………………………………………12 分 14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一 事件是相互独立的，并且概率都是 . 3 1 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 奎屯 王新敞 新疆 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P= . 27 4 3 1 ) 3 1 )(1 3 1 (1− −  = （2）易知 ). 3 1  ~ B(6, ∴ 2. 3 1 E = 6 = . 3 4 ) 3 1 (1 3 1 D = 6  − =