第九章含变化率的方程问题 微分方程浅说 s1微分方程初识 般概念 s11例子
第九章 含变化率的方程问题 ——微分方程浅说 §1 微分方程初识——一般概念 §1.1 例子
例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任 点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲 线的方程 解:设所求曲线为y=x) 由已知有=2x 两端对x积分有y=2x→=x2+C 曲线通过点(1,2)→2=12+C→C-1 所求曲线方程为:p=x2+1
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任 一点M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲 线的方程 解: 设所求曲线为y=f(x) x dx dy 由已知,有 = 2 两端对x积分,有 y xdx = 2 y=x 2+C 曲线通过点(1,2)2=12+C C=1 所求曲线方程为: y=x 2+1
例2列车在平直的线路上以20米/秒的 速度行驶当制动时列车获得加速度-04 米秒2,问开始制动后多少时间列车才能 停住?以及列车在这段时间内行驶了多 少路程? 解:设制动后秒钟行驶s米,s=s() 由已知有s=-04 、=(0.4M=-0.4+C →s=(-0.4+C1M=-0.2+C1计+C2
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的 速度行驶,当制动时列车获得加速度−0.4 米/秒2 ,问开始制动后多少时间列车才能 停住? 以及列车在这段时间内行驶了多 少路程? 解:设制动后t秒钟行驶s米, s=s(t) 0.4 2 2 = − dt 由已知 d s ,有 dt dt ds v = = (−0.4) = −0.4t+C1 s t C dt = (−0.4 + ) 1 = −0.2t 2+C1 t+C2
由已知有:t=0时,s=0,v20 可得:C1=20,C2=0 →1-041+20 s=-0.212+20t 故开始制动到列车完全停住共需: r=0.4-=50秒) 列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500米)
由已知,有: t=0时, s=0, v=20 可得: C1=20, C2=0 v= −0.4t+20 s= −0.2t 2+20t 故,开始制动到列车完全停住共需: 0.4 20 t = =50(秒) 列车在这段时间内行驶了: s= −0.2502+2050=500(米)
§12一般概念 含有未知函数的导数或微分的方程 叫做微分方程 例如,y=2x→一阶微分方程 s"=-04→>二阶微分方程 微分方程中未知函数的最高阶导数 的阶数称为微分方程的阶
§1.2 一般概念 含有未知函数的导数或微分的方程 叫做微分方程 例如, y=2x s= −0.4 →一阶微分方程 →二阶微分方程 微分方程中,未知函数的最高阶导数 的阶数称为微分方程的阶
分类1:常微分方程,偏微分方程 例如,az=x+ 分类2: 阶微分方程:F(x,y,y)=0或y=fxy) 高阶(n阶)微分方程: F(x,y,y,y",…,yo)=0 或y)=fx,y,y,…,y
分类1: 常微分方程, 偏微分方程 分类2: 一阶微分方程: F(x, y, y)=0 或 y=f(x,y) 高阶(n阶)微分方程: F(x, y, y , y , ..., y (n) )=0 或 y (n)=f(x, y, y , ..., y (n−1)) x y x z = + 例如
分类3:线性与非线性微分方程 y+p(r)y=o() x(y)2-2yy+x=0 分类4:单个微分方程与微分方程组 dy=3y 2 dx =2y-z d
分类3: 线性与非线性微分方程 y+P(x)y=Q(x) x(y) 2−2yy+x=0 分类4: 单个微分方程与微分方程组 = − = − y z dx dz y z dx dy 2 3 2
满足微分方程的函数称为微分方程 的解,即代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数 例如,y=x2+C,y=x2+1都是y=2x的解 s=-022+C什C2和s=-0.22+20k都 是s"=-0.4的解
满足微分方程的函数称为微分方程 的解,即代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数 例如, y=x 2+C, y=x 2+1都是y=2x的解 s= −0.2t 2+C1 t+C2和s= −0.2t 2+20t都 是s= −0.4的解
包含任意常数的解称为微分方程的 通解,且任意常数的个数与微分方程的阶 数相同 例如,y=x2+C是y=2x的通解 s=-022+C1计C2是s"=-0.4的通解 确定了通解中的任意常数后得到的 解称为它的特解 例如,y=x2+1是y=2x的特解 s=-0.22+20是s"=-0.4的特解
包含任意常数的解称为微分方程的 通解,且任意常数的个数与微分方程的阶 数相同 确定了通解中的任意常数后得到的 解称为它的特解 例如, y=x 2+C是y=2x的通解 s= −0.2t 2+C1 t+C2是s= −0.4的通解 例如, y=x 2+1是y=2x的特解 s= −0.2t 2+20t是s= −0.4的特解
初始条件:为从通解中确定出特解而附加 的条件 例如,y-1=2是例1的初始条件 s|=0=0,s=02=20是例2的初始条件 初值问题(柯西问题):求微分方程带有初 始条件的问题
初值问题(柯西问题):求微分方程带有初 始条件的问题 初始条件:为从通解中确定出特解而附加 的条件 例如, y|x=1=2是例1的初始条件 s| t=0=0, s| t=0=20是例2的初始条件
