s33闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理 介值定理
§3.3 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理 二、介值定理
、最大值和最小值定理 定理1(最大值和最小值定理)闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 至少存在一个 p=/)/最高点x1,x1)和 最低点(x2,f(x2) 使得x∈[a,b 2xibx 有fx1)=fx) fx2)≤f(x)
一、最大值和最小值定理 定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 b x y o y = f (x) a x1 x2 至少存在一个 最高点(x1 , f(x1 ))和 最低点(x2 , f(x2 )), 使得x[a,b] 有f(x1 )≥f(x) f(x2 )≤f(x)
注意:1.若区间不是闭区间,定理不一定 成立 2.若区间内有间断点,定理不一定 成立 y=f(x) y=f(x)
1. 若区间不是闭区间,定理不一定 成立 2. 若区间内有间断点,定理不一定 成立 注意: x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x)
,x0 不是连续函数但它既存在最大值也存 在最小值 应注意条件与结论之间的逻辑关系 推论(有界性定理)在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界
,但它既存在最大值,也存 在最小值 推论(有界性定理) 在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界 = − = = 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) sgn x x x 例如,符号函数 f x x 不是连续函数 应注意条件与结论之间的逻辑关系
介值定理 定理2(介值定理)若函数f(x)在闭区间 a,b上连续,且fa)≠(b),m为介于fa)与 fb)之间的任意一个数,即fa)nfb)或 fa)>y(b),则至少存在一个内点ξe(a, b),使得f2)=7 y=f(r) 连续曲线弧yfx)T 与水平直线y=m至 少有一个交点 0a b x
二、介值定理 定理2(介值定理) 若函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,且f(a)f(b), 为介于f(a)与 f(b)之间的任意一个数,即f(a)>f(b),则至少存在一个内点(a, b),使得f()= a x y o y = f (x) 1 2 3 b 连续曲线弧y=f(x) 与水平直线y=至 少有一个交点
推论(根的存在定理)若函数fx)在闭区 间[(a,b上连续,且fa)与fb)异号,则至少 存在一个内点ξ∈(anb,使得f(2=0 连续曲线弧yf(x)的 y=f(x) 两个端点位于x轴的 两侧,则曲线弧与x"0 12 b 轴至少有一个交点
推论(根的存在定理) 若函数f(x)在闭区 间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号, 则至少 存在一个内点(a,b),使得f()=0 a b 3 2 1 x y o 连续曲线弧y= y = f (x) f(x)的 两个端点位于x轴的 两侧, 则曲线弧与x 轴至少有一个交点
表明:若方程fx)=0左端的函数x)在闭 区间{a,b两个端点处的函数值异 号,则该方程在开区间a,b)内至少 存在一个根 例1证明方程3-4x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 证]令fx)=x32-4x2+1 则x)在区间[0,1上连续
若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭 区间[a,b]两个端点处的函数值异 号,则该方程在开区间(a,b)内至少 存在一个根 表明: 例1 证明方程x 3−4x 2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 [证] 令f(x)=x 3−4x 2+1 则f(x)在区间[0,1]上连续
又f(0)=1>0 f(1)=-2<0 由根的存在定理, 日∈(a,b),使f2=0 即2-42+1=0 故,方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少 有一根ξ
又 f(0)=1 f(1)= −2 由根的存在定理, (a,b),使f()=0 即 3−4 2+1=0 故, 方程x 3−4x 2+1=0在区间(0,1)内至少 有一根 >0 <0
例2设函数f(x)在区间[a,b上连续,且 fa)b,证明e∈(a,b,使f)= 证令F(x)=f(x)-x 则F(x)在[a,上连续 而F(a)=fa)-a0 由根的存在定理, 日∈(a,b),使F()=-5=0 即f(2)=5
例2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)b,证明(a,b),使f()= [证] 令F(x)=f(x)−x 则F(x)在[a,b]上连续 而F(a)=f(a)−a 0 由根的存在定理, (a,b),使F()=f()− =0 即f()=
