§22分部积分法 问题:xed=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 (uvy'=u'v+uv →lv=(uv)y-u'v →|wvtx=lu-|uw →[wh=uy-「wl分部积分公式
§2.2 分部积分法 问题: = ? xe dx x 解决思路:利用两个函数乘积的求导法则 (uv)=uv+uv uv=(uv)−uv uv dx uv u vdx = − udv uv vdu = − 分部积分公式
例1求积分 x cos xax 解:令=cosx,xdk=1ax2=v 2 2 2 原式 x -cosx+xsin xdx 2 可见,l,v选择不当积分更难进行 解:令u=x, cosxdx= d sinx=lv 原式∫ cd sinx= sinx- fsin xd -xsinx +cosx+C
例1 求积分 x xdx cos 解: 令u=cosx, xdx = dx = dv 2 2 1 原式= xdx x x x + sin 2 cos 2 2 2 可见, u,v选择不当,积分更难进行 解: 令u =x, cosxdx =dsinx =dv 原式= xd sin x x x xdx = sin − sin =xsinx+cosx+C
例2求积分x2ex 解:令u=x2,eh=dev=hv 原式=x2e2-2xe -xex-2l xd e xe-2(xe-e dx =x2ex-2(xek-er)+C =(x2-2x+2)ex+C
例2 求积分 x e dx x 2 解: 令u=x 2 , 原式= e xdx=dex=dv x e xe dx x x − 2 2 x x x e xde = − 2 2 2( ) 2 x e xe e dx x x x = − − =x 2e x−2(xex−e x )+C =(x 2−2x+2)e x+C
例3求积分[ arctan xdx 解:原式 arctan xd2 arctan x d(arctan x) arctan x 2 1+x arctan x 2 d 1+x arctanx-(x-arctan x)+c
例3 求积分 x xdx arctan 解: 原式= 2 arctan 2 x xd (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x + = − 2 2 2 2 1 1 arctan 2 dx x x x + = − − ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 x x x C x = − ( − arctan ) + 2 1 arctan 2 2
例4求积分∫xmxd 解:原式-「mm nx n x xdx 4 x+c 16
例4 求积分 x xdx ln 3 解: 原式= 4 ln 4 x xd dx x x x x = − 1 4 1 ln 4 4 4 x x dx x = − 3 4 4 1 ln 4 = x x − x + C 4 4 16 1 ln 4 1
例5求积分sm(mnx) 解:原式- csin(n x)-「 xdsin(nx) xsin(n x)x cos(In x) dx xsin(n x)-Icos(n x dx xsin(n x)-xcos( x)+xd[cos(n x) x[sin(n x)-cos (n x)]sin(n xdx 原式=sin(nx)-cos(nx)+C
例5 求积分 x dx sin(ln ) 解: 原式= xsin(ln x) xd[sin(ln x)] − dx x x x x x = − 1 sin(ln ) cos(ln ) x x x dx = sin(ln )− cos(ln ) xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − + x x x x dx = [sin(ln )−cos(ln )]− sin(ln ) ∴原式= x x C x [sin(ln ) − cos(ln )]+ 2
例6求积分 e sin xdx 解:原式 sinxde e sinx=ed(sin x =e sinx e cos xdx ex sinx- cos xde sin x-le cos x-e d(cos x) e (sin x-cos x)e sin xdx 原式ix-cosx)+C
例6 求积分 e xdx x sin 解: 原式= x xde sin e sin x e d(sin x) x x = − e x e xdx x x sin cos = − x x e x xde = sin − cos e sin x [e cos x e d(cos x)] x x x = − − e x x e xdx x x = (sin −cos )− sin ∴原式= x x C e x (sin − cos ) + 2
例7求积 分 x arctan x 2 1+x 解:原式」 arctan x dx2 2√1+x arctan xc/√1+x2 =√1+x2 arctan x ∫√+x2d( arctan x) 1+x arctan x ∫ 2 1+x 2 =√1+x2 arctan x 2
例7 求积分 dx x x x + 2 1 arctan 解: 原式= 2 = arctan xd 1+ x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x = + − + dx x x x x + = + − + 2 2 2 1 1 1 arctan 1 dx x x x + = + − 2 2 1 1 1 arctan 2 2 2 1 arctan dx x x +
sec tdt 1+x 2 1+tan t (令x=tan = sector -Insect+tant+C =n|x+√1+x2|+C 原式= 1+x2 arctan x-ln|x+Ⅵ1+x2|+C′
dx x + 2 1 1 tdt t + = 2 2 sec 1 tan 1 (令x=tant) tdt = sec =ln|sect+tant|+C = ln | x + 1+ x | +C 2 ∴原式= 1+ x arctan x − ln | x + 1+ x | +C 2 2
例8已知fx)的一个原函数是ex,求 xf(rdx 解:∫(x=∫x(x) xf()-f(xddx f(e)ds tc rr(xdx]'=f(x)=-2xce ∫J(xM=2xe-2-e2+C
例8 已知f(x)的一个原函数是 ,求 2 x e − xf x dx ( ) 解: xf x dx ( ) xdf (x) = xf x f x dx = ( )− ( ) [ f (x)dx] = f (x) f x dx e C x = + − 2 ( ) 2 2 x xe− = − = xf (x)dx x e e C x x − − + − − 2 2 2 2