《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.3.3 函数的最大值和最小值

§33函数的最大值和最小值

§3.3 函数的最大值和最小值

最值的求法 步骤: 1求驻点和不可导点 2求区间端点及驻点和不可导点的函数 值,比较大小,哪个大哪个就是最大值哪 个小就是最小值 注意:如果区间内只有一个极值则这个 极值就是最值

步骤: 1.求驻点和不可导点 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数 值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪 个小就是最小值 注意: 如果区间内只有一个极值,则这个 极值就是最值 最值的求法:

例1求函数y2x3+3x2-12+14在[-3,4]上 的最大值与最小值 解:∫《(x)=6x2+6x-12=6(x+2)x-1) 解方程∫(x)=0→x1=-2,x2=1 计算得:f(-3)=27J(4)=142 八(-2)=34f(1)=7 比较得:最大值f(4)=142 最小值八(1)=7

例1 求函数y=2x 3+3x 2−12x+14在[−3,4]上 的最大值与最小值 解: f (x)=6x 2+6x−12=6(x+2)(x−1) 解方程f (x)=0x1= −2, x2=1 计算得: f(−3)=27 f(4)=142 f(−2)=34 f(1)=7 比较得: 最大值f(4)=142 最小值f(1)=7

y=2x3+3x2-12x+14的图形: 70 60 50 40 30 10 1 1 2 4

y=2x 3+3x 2−12x+14的图形:

例2某房地产公司有50套公寓要出租当 租金定为每月80元时,公寓会全部租出 去当租金每月增加10元时就有一套公寓 租不出去而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费试问房租定为多少可获 得最大收入? 解:设房租为每月x元 租出去的房子有50-X180套 每月总收入为: R(x)=(x-20(50-x-180 10

例2 某房地产公司有50套公寓要出租.当 租金定为每月 180 元时, 公寓会全部租出 去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓 租不出去,而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获 得最大收入? 解: 设房租为每月x元 租出去的房子有 10 180 50 − − x 套 每月总收入为: ) 10 180 ( ) ( 20)(50 − = − − x R x x

→R(x)=(x-20)68-x 10 →R(x)=(68-+(x--0(10=70 5 令R'(x)=0→x=350为唯一驻点 R(0-0→R350)为极大值 故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为R(350)=(350-20)68-350 =10890(元)

) 10 ( ) ( 20)(68 x  R x = x − − ) 10 1 ) ( 20)( 10  ( ) = (68 − + x − − x R x 5 70 x = − 令R (x)=0 x =350 为唯一驻点 故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为R(350) ) 10 350 = (350 − 20)(68 − =10890 (元) R (350)= 5 1 − <0 R(350)为极大值

实际问题求最值: (1)建立目标函数 (2)求最值 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最值

实际问题求最值: (1)建立目标函数 (2)求最值 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最值

例3由直线p=0,x=8及抛物线=x2围成 个曲边三角形在曲边y=x2上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线y=0,x=8 所围成的三角形面积最大 解:如图, 设所求切点为Px0,y) y=x2→y=2x 则切线PT为: y-y0=2x0x-x0)

T x y o P A B C 例3 由直线 y=0, x=8及抛物线 y=x 2围成 一个曲边三角形,在曲边 y=x 2上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线y=0, x=8 所围成的三角形面积最大 解: 如图, 设所求切点为P(x0 , y0 ) 则切线PT为: y−y0=2x0 (x−x0 ) y=x 2y=2x

y-yo=2xo(xxo yo o A(7x0,0)C(8,0)B(8,16x0-x2) 2 °如△4BC (8 206-2 x0)(16x-x2) =64x。-8X040(x0∈[0,8l) 2 令S=0→64-16xn+3x2=0

T x y o P A B C y−y0=2x0 (x−x0 ) ∵ y0=x0 2 ∴ A , 0) 2 1 ( 0 x C(8, 0) B(8, 16x0−x0 2 ) )(16 ) 2 1 (8 2 1 2  SABC = − x0 x0 − x0 (x0[0, 8]) 令S=0 0 4 3 64 16 2  − x0 + x0 = 3 0 2 0 0 4 1 = 64x − 8x + x

16 解得:10-3,=16(舍去) 16 )=-16+3 2 16 8<0 3 3 S(16)=4096为极大值 3 217 故(16)=4096为所求的最大面积 3 217 对应的点为P(1,256 39

解得: , 16 3 16 x0 = x0 = (舍去) 3 16 2 4 3 ) 16 3 16 S( = − +   = −8 <0 217 4096 ) 3 16  S( = 为极大值 故 217 4096 ) 3 16 S( = 为所求的最大面积 对应的点为 ) 9 256 , 3 16 P(