s海工程本大嘮 (勤奋、求是、创新、奉献) 2004~2005学年第1学期期末考试答案20051 原自然班代码 选课班代码 学号姓名 《高等数学(-)》课程试卷B (本卷考试时间120分钟) 四 五六总得分 2 应得分21分9分6分6分6分16分6分7分7分7分|12分7分100 得分 填空题(每小题3分,共21分) I(e-l)dt 1. lin 2.设(xM=x-2+C,则f(x)=(2+x2 3.设函数()=了c,x(一+),则曲线y=(x)在(.0)点的切线方程是 y=x-1 1+x 4.积分[d 9+x 5.已知a=3.61,b={2.4,k},若a⊥b,则k=-1 高数(一)B卷第1页共6页
高数（一） B 卷 第 1 页 共 6 页 （勤奋、求是、创新、奉献） 2004 ～ 2005 学年第 1 学期期末考试答案 2005.1 原自然班代码 选课班代码 学号_____ __ 姓名 ___ _ __ 《高 等 数 学 （一）》课程试卷 B （本卷考试时间 120 分钟） 大 题 一 二 三 四 五 六 总 得 分 小 题 1 2 3 4 5 1 2 3 应得分 21 分 9 分 6 分 6 分 6 分 6 分 6 分 7 分 7 分 7 分 12 分 7 分 100 得 分 一、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 1． = − → 3 0 0 ( 1) lim x t e dt x t x 1 3 ． 2．设 ( ) x f x dx xe c − = + ，则 f (x) = ( 2 ) x x e − − + . 3．设函数 f x e dt x t − − = 1 0 2 ( ) , x (− , + ) , 则曲线 y = f (x) 在 (1, 0) 点的切线方程是 y x = −1 . 4．积分 dx x x − + + 3 3 2 9 1 = 6 ． 5．已知 a ={3, 6, 1}， b = , k 3 4 2, ，若 a ⊥ b ，则 k = −14
6.过点M(1,2,-1),且与直线x-2y+4+垂直的平面是x-3y-x+4=0 7.以点(1,-2,2)为球心,且过坐标原点的球面方程是(x-1)2+(y+2)2+(x-2)2=9 二、单项选择题(每小题3分,共9分) 1.设函数f(x)在{a,b]上连续,F(x)=f(x),则结论(B)正确 A.f(x)是F(x)在ab上的一个原函数:Bd J(x)=F() C.F(x)是f(x)在ab上唯一的原函数:D.F(x)dk=F() 2.以下结论中,错误的是(D) A.积分j(oyk=c2+C 积分 a2-a2 2t acost dt C.(a+b)·(a-b)=|a|-|b2 D.(a+b)×(a-b)=|aP2-|b -y+2-6=0 3.已知直线 过点(0,0,3),则k的值是(B). k=0 B.3 C.4; 三、计算题(每小题6分,共30分) .设函数y=x)由方程习+2hx=y所确定,求女 解方程两边分别对x求导得y+xy+==3y2y (4分) 解得 y′=-xy+2 (6分) x(31 高数(一)B卷第2页共6页
高数（一） B 卷 第 2 页 共 6 页 6．过点 M (1, 2, −1) ，且与直线 1 1 3 4 1 2 + = + = − x − y z 垂直的平面是 x y z − − + = 3 4 0 . 7．以点 (1, − 2, 2) 为球心，且过坐标原点的球面方程是 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) 9 x y z − + + + − = . 二、单项选择题（每小题 3 分，共 9 分） 1．设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续， F(x) = f (x) ，则结论（ B ）正确． A． f (x) 是 F(x) 在 [a, b] 上的一个原函数； B． f (x) dx = F(x) dx d ； C. F(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上唯一的原函数； D. F(x) dx = F(x) . 2．以下结论中，错误的是（ D ）. A．积分 dx C x x = + − − 2 2 (cos ) cos ； B．积分 a x dx a a t a t dt x a t a a sin cos / 2 / 2 2 2 2 sin 2 2 − = − − = − ； C． 2 2 (a b) (a b) | a | |b | + − = − ； D． 2 2 (a b) (a b) | a | |b | + − = − ． 3．已知直线 + − + = − + − = 4 0 3 2 6 0 x y z k x y z 过点 (0, 0, 3) ，则 k 的值是（ B ）． A．2 ； B．3 ； C．4 ； D．1． 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1．设函数 y = y(x) 由方程 3 xy + 2ln x = y 所确定，求 dx dy ． 解 方程两边分别对 x 求导得 2 2 y xy 3y y x + + = （4 分） 解得 2 2 (3 ) xy y x y x + = − （6 分）
2.求∫ e- sin xdx 解原式=」e-dco (2分) d sin --e cosx-e sInx sInx dx (4分) e- sinxdx (cosx +sinx)+ C. (6分) 3.设是f(x)的一个原函数,求∫xf(x)dk 解∵f(x)=(--) x cOSx -sInx (2分) ∫xyx=jx(x)=jx x cosx -sInx x cosx-Sinr r x cosx- sinx (4分) x -x sinx -3lxd sinx -3cosx x cosx-x sinx..x sinx +3sinxdx x-6cosx+c (6分) 4.计算 dx 解令√x-1=t,则 原式 dt (3分) t2+1 t2+1 2(t (5分) 4-2arctan 2 (6分) 高数(一)B卷第3页共6页
高数（一） B 卷 第 3 页 共 6 页 2．求 − e x dx x sin ． 解 原式 cos x e d x − = − （2 分） cos cos cos sin cos sin sin x x x x x x x e e e e x e xdx x e d x x x e xdx − − − − − − − = − = − − − = − − − （4 分） 1 sin (cos sin ) 2 x x e xdx x x e − − = − + + C. （6 分） 3．设 x sin x 是 f ( x) 的一个原函数，求 x f (x) dx 3 . 解 2 ( ) ( ) sin cos sin f x x x x x x x = = − , （2 分） 3 3 3 2 cos sin ( ) ( ) x x x x f x dx x df x x d x − = = 3 2 2 2 cos sin cos sin 3 x x x x x x x x dx x x − − = − （4 分） 2 = x cos sin 3 sin 3cos x x x xd x x − − − 2 = x cos sin 3cos 3 sin 3 sin x x x x x x xdx − − − + 2 = − − + x cos 4 sin 6cos x x x x c . （6 分） 4．计算 dx x 5 x 1 1 − . 解 令 x t − =1 ，则 原式 2 2 0 2 1 t tdt t = + （3 分） 2 2 2 0 1 1 2 1 t dt t + − = + 2 0 = − 2( arctan ) t t （5 分） = −4 2arctan2 （6 分）
将直线L的一般方程{x+2-32=0化为参数方程 j k 解∵|101 k=-3i+j+3k (2分) 03 又令z=0,得x=3,y=2,直线过点(3,2,0) (4分) 直线方程为{-3-1 3 x=3-3t 写成参数形式为:{y=2+1,其中为参数 (6分) 四、计算题(每小题7分,共21分) 1.设a为正常数,lm1+ exdx,求a的值 解∵im(1+-)=lim(1+-)P=e (3分) le"-lim eI (6分) e",解得a=1 (7分) 2.求过点(1,0,-2),且与平面3x+4y-x+6=0平行,又与直线 x-3y+2 =垂直的 直线方程 解|34-1|=87-4+8k (4分) 所求直线方程为: 2+2 (7分) 高数(一)B卷第4页共6页
高数（一） B 卷 第 4 页 共 6 页 5．将直线 L 的一般方程 − − = + − = 3 6 0 3 0 y z x z 化为参数方程． 解 0 1 1 1 1 0 1 0 1 3 3 3 1 0 1 0 3 0 3 1 i j k = − + = − + + i j k i j k − − − （2 分） 又令 z = 0 ，得 x = 3， y = 2 ,直线过点（3，2，0）. （4 分） 直线方程为 3 2 3 1 3 x y z − − = − = 写成参数形式为： 3 3 2 3 x t y t z = − = + = , 其中 t 为参数. （6 分） 四、计算题（每小题 7 分，共 21 分） 1．设 a 为正常数， e dx x a x ax x→ − = + 1 1 lim 1 ，求 a 的值． 解 lim lim[ 1 1 (1 ) (1 ) ] x x ax x a a e → x x → + = + = , （3 分） 1 1 lim 1 1 1 [ ] x ax ax a ax a e dx e e e e − a a a →− − = = − = （6 分） a a 1 e e a = , 解得 a =1. （7 分） 2．求过点 (1, 0, − 2) ，且与平面 3x + 4y − z + 6 = 0 平行，又与直线 4 1 2 1 x 3 y z = + = − 垂直的 直线方程． 解 i j k i j k 8 4 8 1 4 1 3 4 −1 = − + ， （4 分） 所求直线方程为： 2 2 2 1 1 + = − = x − y z . （7 分）
3.设有两点A(-5,4,0),B(-4,3,4),求满足条件|PA=2|PB的动点P(x,y,=)的轨迹 方程,并指出该方程表示什么图形 解P 由PA|=√2|PB|,得 (x+5)2+(y-4 √2√(x+4)2+(y-3)2+( (4分) 两边平方,化简并配方得(x+3)2+(y-2)2+(z-8)2=36, (6分) 该方程表示以(-3,2,8)为球心,半径为6的球面 (7分) 五、[12分]设当0≤x≤1时,y=3ax2+2bx≥0.已知以曲线y=3ax2+2bx为曲边,x轴 上区间[0,1为底边的曲边梯形的面积为1.试确定a,b的值,使得该曲边梯形绕x轴旋转所成 旋转体的体积为最小 解[(30x2+2hx)dt=(a3+bx2)=a+b=1, (4分) =z「(3a2+bx)dt=r(9a2x4+1bx3+4b2x2 =(2a2x5+3bx4+b2x3)=a2+3b+b21 =x[a2+3(1-a)+-(1-a) 丌(-a2+-a+-), (9分) 求导得′=x(a+3),令V=0,得唯一驻点a r>0,所以,当a=-5时,取最小值,此时b 因此,当a b=-时,该曲边梯形绕x轴旋转所成旋转体的体积最小.(12分) 高数(一)B卷第5页共6页
高数（一） B 卷 第 5 页 共 6 页 3．设有两点 A(−5, 4, 0)， B(−4, 3, 4) ，求满足条件 | PA| = 2 | PB | 的动点 P(x, y, z) 的轨迹 方程，并指出该方程表示什么图形． 解 2 2 2 PA x y z = + + − + − ( 5) ( 4) ( 0) ， 2 2 2 PB x y z = + + − + − ( 4) ( 3) ( 4) ， 由 | PA| = 2 | PB | ，得 2 2 2 2 2 2 (x + 5) + ( y − 4) + z = 2 (x + 4) + ( y − 3) + (z − 4) （4 分） 两边平方，化简并配方得 ( 3) ( 2) ( 8) 36 2 2 2 x + + y − + z − = ， （6 分） 该方程表示以 (− 3, 2, 8) 为球心，半径为 6 的球面. （7 分） 五、[12 分] 设当 0 x 1 时， y 3ax 2bx 2 = + 0 ．已知以曲线 y 3ax 2bx 2 = + 为曲边， x 轴 上区间 [0,1] 为底边的曲边梯形的面积为 1．试确定 a, b 的值, 使得该曲边梯形绕 x 轴旋转所成 旋转体的体积为最小． 解 1 1 2 3 2 0 0 (3 2 ) ( ) 1 ax bx dx ax bx a b + = + = + = ， （4 分） 1 2 2 0 V ax bx dx = + (3 2 ) 1 2 4 3 2 2 0 = + + (9 12 4 ) a x abx b x dx 1 2 5 4 2 3 0 9 4 ( 3 ) 5 3 = + + a x abx b x 9 4 2 2 3 5 3 = [ ] a ab b + + 9 4 2 2 3 (1 ) 5 3 = − [ (1 ) ] a a a + − + a 2 2 15 1 4 ( ) 3 3 = + a + a ， （9 分） 求导得 4 15 1 ( ) 3 V a = + ，令 V = 0 ，得唯一驻点 5 4 a = − . 又 4 15 V = 0 ，所以，当 5 4 a = − 时， V 取最小值，此时 9 4 b = . 因此，当 5 4 a = − ， 9 4 b = 时，该曲边梯形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积最小. （12 分）
六、[7分设f(x)有一阶连续的导数,正常数a为函数F(x)=x2J。f(O)d-Jrr(o)d的 驻点,试证:在(,a)内至少有一点c,使得f(c)=0 证F()=2xf(M+xy(x)=ytx)=2x5(M (3分) 因为正常数a是F(x)的驻点, F(a)=2df'(d=0, ft)t=0(:a>0),即f(a)-f(0)=0,或f(a)=f(0) (5分) 又由已知条件,f(x)有一阶连续的导数,故由罗尔定理得,至少存在一点c∈(0,a),使得 f"(c)=0 (7分) 高数(一)B卷第6页共6页
高数（一） B 卷 第 6 页 共 6 页 六、[7 分] 设 f (x) 有一阶连续的导数，正常数 a 为函数 F x x f t dt t f t dt x x ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 = − 的 驻点，试证：在 (0, a) 内至少有一点 c ，使得 f (c) = 0 ． 证 2 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) x x F x x x f x x = = f t dt x f x f t dt + − ， （3 分） 因为正常数 a 是 F x( ) 的驻点， 0 ( ) 2 ( ) 0 a = F a a f t dt = ， 0 ( ) 0( 0) a f t dt a = ，即 f a f ( ) (0) 0 − = ，或 f a f ( ) (0) = . （5 分） 又由已知条件， f x( ) 有一阶连续的导数，故由罗尔定理得，至少存在一点 c a (0, ) ，使得 f (c) = 0 （7 分）