线性代数(同济四版)习题参考答案 黄正华 Email:huangzh@whu.edu.cn 武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072 WUHAN UNIVERSITY
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 黄正华 Email: huangzh@whu.edu.cn 武汉大学 数学与统计学院, 湖北 武汉 430072 Wuhan University
目录 第一章行列式 第二章矩阵及其运算 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第四章向量组的线性相关性 第五章相似矩阵及二次型
目 录 第一章 行列式 1 第二章 矩阵及其运算 17 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 33 第四章 向量组的线性相关性 48 第五章 相似矩阵及二次型 69
第一章行列式 课后的习题值得我们仔细研读.本章建议重点看以下习题:5.(2),(5);7;8.、(2).(这几个题号建立有超级链接)若 您发现有好的解法,请不吝告知 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)1 a b 111 (4) a2 b2 c2 解:(1) 2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8-0×1×3-2×(-1)×8-1×(-4)×(-1) -24+8+16-4 b c al=acb+ bac cba-bb-aaa-ccc=3abc-a2-b3-c abc=b2+a2+a2-a2-b2-d2=(a-b)(b-(c-a) y I+y I =r(r+)y+yr(a +y)+(r+y)yz x+y)3-x3 3xy(x+y)-y3-3x2y-3y2x-x3-y3-x3 2(x3+y3 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数 (1)1234; (2)4132; (3)3421 (4)2413 (5)13…(2n-1)24…(2n); (6)13…(2n-1)(2n) (1)逆序数为0 (2)逆序数为4:41,43,42,32
第一章 行列式 课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若 您发现有好的解法, 请不吝告知. 1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 1 1 −4 −1 −1 8 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c b c a c a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 解: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 1 1 −4 −1 −1 8 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (−4) × 3 + 0 × (−1) × (−1) + 1 × 1 × 8 − 0 × 1 × 3 − 2 × (−1) × 8 − 1 × (−4) × (−1) = −24 + 8 + 16 − 4 = −4. (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c b c a c a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a 3 − b 3 − c 3 . (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = bc2 + ca2 + ab2 − ac2 − ba2 − cb2 = (a − b)(b − c)(c − a). (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y 3 − (x + y) 3 − x 3 = 3xy(x + y) − y 3 − 3x 2 y − 3y 2x − x 3 − y 3 − x 3 = −2(x 3 + y 3 ). 2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1) 1 2 3 4; (2) 4 1 3 2; (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 · · ·(2n − 1) 2 4 · · ·(2n); (6) 1 3 · · ·(2n − 1) (2n) (2n − 2)· · · 2. 解 (1) 逆序数为 0. (2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2. 1
第一章行列式 (3)逆序数为5:32,31,42,41,21 (4)逆序数为3:21,41,43 (5)逆序数为m2=1 72.74.76 个个个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6 2n-1)(2n-2) (n-1)个 (6)逆序数为n(n-1): 32 52,54 2个 72,74,76 3个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2) (n-1)个 个 62,64 2个 (2n)2,(2n)4,(2n)6,…,(2n)(2n-2 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 由定义知,四阶行列式的一般项为 a1p, a2p2a3p a4 其中t为p1PP3p4的逆序数 由于p1=1,p2=3已固定,pP2P3p4只能形如13口,即1324或1342.对应的逆序数t分别为 0+0+1+0=1,或0+0+0+2=2 所以,-a1123a32a44和a123a34a4为所求 4.计算下列各行列式 2141 1202 10520 100 00-1d 10520r3-10r
2 第一章 行列式 (3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5) 逆序数为 n(n−1) 2 : 3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 (6) 逆序数为 n(n − 1): 3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 4 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 6 2, 6 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n − 1) 个 3 . 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解: 由定义知, 四阶行列式的一般项为 (−1)t a1p1 a2p2 a3p3 a4p4 , 其中 t 为 p1p2p3p4 的逆序数． 由于 p1 = 1, p2 = 3 已固定, p1p2p3p4 只能形如 13¤¤, 即 1324 或 1342. 对应的逆序数 t 分别为 0 + 0 + 1 + 0 = 1, 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2. 所以, −a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 为所求. 4 . 计算下列各行列式: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 1 3 −1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 0 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 解: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r1↔r2 ====== − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 4 1 2 4 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r2−4r1 ======= r3−10r1 − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 −7 2 −4 0 −15 2 −20 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
线性代数(同济四版)习题参考答案 1202 0117 0117 0-152-20r3+152001785 0015 00945 2141 2140 2140 3-121 1230 506 0000 r2triadfbce0 0 2=-adfbce 4abcdef 020 01+ab 0 b10 10 1+ab 0 按第1列(-1)(-1)2+1 1 C3+dc? 1 c 1+cd 按第3行 1)(-1)3 abcd +ab+ cd+ ad+1 11+cd 5.证明 (1)2a+b2b=(a-b 2a a+b 2b 2a b-a 26- 2a 111 0 b2=a2 b+ (b-a)(b-a) (2) ay +bz az+bar az+by=(a3+b)y az+br az+by ay+ bz 2 y
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 3 r2↔r4 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 −15 2 −20 0 −7 2 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4+7r2 ======= r3+15r2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 0 17 85 0 0 9 45 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 17 × 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 0 1 5 0 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 1 3 −1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c4−c2 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4−r2 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 2 1 4 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4−r1 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = adf ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −b c e b −c e b c −e ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r2+r1 ===== r3+r1 adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 0 0 2 0 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 4abcdef. (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 0 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r1+ar2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 + ab a 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 1 列 ======== 展开 (−1)(−1)2+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab a 0 −1 c 1 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3+dc2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab a ad −1 c 1 + cd 0 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 3 行 ======== 展开 (−1)(−1)3+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab ad −1 1 + cd ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = abcd + ab + cd + ad + 1. 5 . 证明: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab b2 2a a + b 2b 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b) 3 ; 证明 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab b2 2a a + b 2b 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c2−c1 ===== c3−c1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab − a 2 b 2 − a 2 2a b − a 2b − 2a 1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(−1)3+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ab − a 2 b 2 − a 2 b − a 2b − 2a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (b − a)(b − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b + a 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b) 3 . (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ;
第一章行列式 ar+by ay+bz az+bI ay+bz az +br y ay+bz az+bz ay+bz az bz ar+ by y az+ bz ar+by+ ar 分裂开 az+b ar+by ay+ ba z ar by ay+ bz r ay+bz 2 y 2 az +ba 再次 r ar+by 裂开 x|+b3(-1 (a3+b3) y 2 y 此题有一个“经典”的解法 a ay a2 +bz az br ar + by ay az ar+ bz b az+ bz ar+by ay +bz a2 a t ay y 2 b3 1 这个解法“看上去很美”,实则是一个错解!我们强调,行列式不能作这种形式上的加法 b1 a11+b1 aIn +b1 ann b anI+bnl ann+b a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 (3)|2(c+1)2(c+2)2(+3)2|=0 d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2 a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 a22a+14a+46a+9 (b+1)2(b+2)2(b+3)2 (c+1)2(c+2)2(c+3) d2(d (d+2)2(d+3) d22d+14d+46d 2a+126 2b+126 列成比例
4 第一章 行列式 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 1 列 ======== 分裂开 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ay + bz az + bx y az + bx ax + by z ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y ay + bz az + bx z az + bx ax + by x ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再次 ==== 裂开 a 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ay + bz z y az + bx x z ax + by y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + 0 + 0 + b 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z az + bx z x ax + by x y ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再次 ==== 裂开 a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z x z x y x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 (−1)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 此题有一个 “经典” 的解法: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax ay az ay az ax az ax ay ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ by bz bx bz bx by bx by bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z x z x y x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 (−1)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 这个解法 “看上去很美”, 实则是一个错解! 我们强调, 行列式不能作这种形. 式. 上. 的加法: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 . . . a1n . . . . . . . . . an1 · · · ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b11 . . . b1n . . . . . . . . . bn1 · · · bnn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . . . . an1 + bn1 · · · ann + bnn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0; 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj−c1 ====== j=2,3,4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 4a + 4 6a + 9 b 2 2b + 1 4b + 4 6b + 9 c 2 2c + 1 4c + 4 6c + 9 d 2 2d + 1 4d + 4 6d + 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3−2c2 ====== c4−3c2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 2 6 b 2 2b + 1 2 6 c 2 2c + 1 2 6 d 2 2d + 1 2 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 两列成比例 ========= 0
线性代数(同济四版)习题参考答案 (4)a262e2a2=(a-b)(a-)(a-0b-(b-d(c-(a+b+c+d) b cy-cia a2b2c2d2j=2,3.4a2b2-a2c2-a2d2-a2 ba ca dl ai b4 b d 展开r1 b2-a2c2-a2d2-a2 b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2 b2(6+a) c2(c+a) d2(d+a) 0 (b-a)(c-a)(d-a) b2(6+a)c2(c+a)-b2(6+a)d2(d+a)-b2(6+a) 展开n=(b-a(c-a)d-a)(c-b)d- (c2+bc+b2)+a(c+b)(d2+bd+b2)+a(d+b) (a-b(a-c(a-d)(b-c(b-d)(c-d)(a+b+c+d) 00 00 (5) + a1r+.+ an-1I+ an 00 0 an-2 a2 I+a1 证明:方法一.设法把主对角线上的x变为0,再按第一列展开 000 00 0 000 000 an-1 an-2 a3 a2 I+a1 0 0 0 0 0
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 5 (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)(a + b + c + d); 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj−c1 ====== j=2,3,4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 a b − a c − a d − a a 2 b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − a 2 a 4 b 4 − a 4 c 4 − a 4 d 4 − a 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 r1 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b − a c − a d − a b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − a 2 b 2 (b 2 − a 2 ) c 2 (c 2 − a 2 ) d 2 (d 2 − a 2 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (b − a)(c − a)(d − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 b + a c + a d + a b 2 (b + a) c 2 (c + a) d 2 (d + a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c2−c1 ===== c3−c1 (b − a)(c − a)(d − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 b + a c − b d − b b 2 (b + a) c 2 (c + a) − b 2 (b + a) d 2 (d + a) − b 2 (b + a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 r1 ====== (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 (c 2 + bc + b 2 ) + a(c + b) (d 2 + bd + b 2 ) + a(d + b) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)(a + b + c + d). (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 证明: 方法一. 设法把主对角线上的 x 变为 0, 再按第一列展开. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 x −1 an an−1 an−2 · · · a3 a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cn−1+xcn ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 0 −1 an an−1 an−2 · · · a3 x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
第一章行列式 0 0 r 0 000 0 x3+a1x+a2r+a3 x2+012+a2 2+al 0 0 0 0 +an-ia+an ta12n-2 +…+an-2x+an -+alI+ a2 a+al (x+a1xn-1+…+an-1x+an)(-1)n/a 00 (x+a1xn-1+…+an-1x+an)(-1)n+1(-1)y-1 22-1 +an-iI+an 方法二.设法把-1全部变为0,得到一个下三角矩阵 若x=0,则Dn=an.等式成立 若x≠0,则 0 0 0 00 0 0 0 00 0 an an-1+ gn an-2+-n-l+ a2 I+al 0 00 P2 P1 这里
6 第一章 行列式 cn−2+xcn−1 ========== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 −1 0 0 0 0 · · · 0 0 −1 an an−1 an−2 · · · x 3 + a1x 3 + a2x + a3 x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj+xcj−1 ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 · · · 0 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · −1 0 0 0 · · · 0 −1 x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an x n−1 + a1x n−2 + · · · + an−2x + an−1 · · · x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 · · · 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 · · · −1 0 0 · · · 0 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1(−1)n−1 =x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法二. 设法把 −1 全部变为 0, 得到一个下三角矩阵. 若 x = 0, 则 Dn = an. 等式成立. 若 x 6= 0, 则 Dn c2+ 1 x c1 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3+ 1 x c2 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x 0 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · P2 P1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 这里, P2 = a2 + a3 x + a4 x 2 + · · · + + an x n−2
线性代数(同济四版)习题参考答案 7 PI 得到下三角阵,所以 方法三.用递归法证明.记 00 则 0 an-1 (n-2 a2 r+al xDn-1+an(-1)+1(-1)-1=xDn2-1 所以,Dn=xDn-1+an,由此递归式得 方法四.按最后一行展开.先看an-的代数余子式.因为 an an-1 an-2 an-(i-1)an-i an-(i+1) 划掉an-a所在的行和所在的列,左上角是i×i的方块,右下角是(n-i-1)×(n-i-1)的方块,余下全为0. 则an-1的代数余子式为(注意到an-i处在第n行、i+1列 1)n++1 所以,Dn按最后一行展开,得到
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 7 P1 = x + a1 + a2 x + a3 x 2 + · · · + + an x n−1 . 得到下三角阵, 所以 Dn = x n−1 · P1 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法三. 用递归法证明. 记 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 则 Dn 展开 c1 ======x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + an(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = xDn−1 + an(−1)n+1(−1)n−1 = xDn−1 + an. 所以, Dn = xDn−1 + an. 由此递归式得 Dn = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法四. 按最后一行展开. 先看 an−i 的代数余子式. 因为 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 an an−1 an−2 · · · an−(i−1) an−i an−(i+1) a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 划掉 an−i 所在的行和所在的列, 左上角是 i×i 的方块, 右下角是 (n−i−1)×(n−i−1) 的方块, 余下全为 0. 则 an−i 的代✿✿数✿✿余✿✿子✿✿✿式✿为 (注意到 an−i 处在第 n 行、i + 1 列) (−1)n+i+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i×i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 x . . . . . . −1 x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−i−1)×(n−i−1) = x i 所以, Dn 按最后一行展开, 得到 Dn = an + an−1x + an−2x 2 + · · · + an−ix i + · · · + a2x n−2 + (x + a1)x n−1
第一章行列式 方法五.针对c1作变换 0 0 00 00 00 00 0 0 C1+Icy 00 an+ an-lI+ an an-1 an-2 a2 a+al 00 00 0 这里,P=an+an-1x+an-2x2+…+a1xn-1+x 再按第一列展开,得 6.设n阶行列式D=det(a),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得 ann an1 证明D1=D2=(-1)="D,D2 证明 使rn换到第一行
8 第一章 行列式 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法五. 针对 c1 作变换. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1+xc2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 x 2 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an + an−1x an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1+x 2 c3 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 x 3 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an + an−1x + an−2x 2 an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 P an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 这里, P = an + an−1x + an−2x 2 + · · · + a1x n−1 + x n. 再按第一列展开, 得 Dn = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 6 . 设 n 阶行列式 D = det (aij ), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90◦、或依副对角线翻转, 依次得 D1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 · · · ann . . . . . . a11 · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , D2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1n · · · ann . . . . . . a11 · · · an1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , D3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ann · · · a1n . . . . . . an1 · · · a11 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 证明 D1 = D2 = (−1) n(n−1) 2 D, D3 = D. 证明: D1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 · · · ann . . . . . . a11 · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 次行的相邻互换 =============== 使 rn 换到第一行 (−1)n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 · · · a1n an1 · · · ann . . . . . . a21 · · · a2n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯