《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）5.习题课

§5习题课 1原函数 2不定积分 3换元积分法 4分部积分法 5基本积分公式

§5 习题课 1.原函数 2.不定积分 3.换元积分法 4.分部积分法 5.基本积分公式

原函数的概念 设函数F(x)与fx)在区间/上有定义 若在/上F'(x)=fx),则称函数F(x)为f(x) 在区间上的一个原函数 原函数存在定理: 若函数x)在区间/上连续,则fx)在 上存在原函数F(x) 即:连续函数一定有原函数

原函数的概念 设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义. 若在I上F (x)=f(x) ,则称函数F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数 原函数存在定理: 若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在 I上存在原函数F(x) 即: 连续函数一定有原函数

不定积分的定义 fx)在区间上的全体原函数为f(x) 在上的不定积分记作∫fk ∫f(x)x=F(x)+C 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: f(rdx=F(x)+c=f() 函数fx)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线

不定积分的定义 f x dx = F x +C  ( ) ( ) f(x)在区间I上的全体原函数为f(x) 在I上的不定积分,记作  f (x)dx 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线 [ f (x)dx] = [F(x)+C] = f (x)  微分运算与求不定积分的运算是互逆的:

不定积分的性质 lIf(x)+g(x]dx=l f(xdx+ g(x)dx (2) kf ()dx=k f(x dx (k是常数,k≠0)

不定积分的性质    (1) [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx   (2) kf (x)dx = k f (x)dx (k是常数, k0)

换元积分法 第一类积分换元法: 设f)具有原函数,u=g(x)可导,则有 flo(x)lo(x)dx=f(u)du 第二类积分换元法 设fx),p(及q(O)均连续,且ρ(O)≠0, 又∫qp(O)存在原函数F(,则 f(xdx= fIo(tlo(t)t= F(t)+C =FIP-(x)1+C

换元积分法 设f(u)具有原函数, u= (x)可导,则有   f[(x)](x)dx = f (u)du 第一类积分换元法: 设f(x),  (t)及  (t)均连续, 且 (t)0, 又 f [(t)] (t)存在原函数F(t),则 f x dx = f t  t dt = F t +C   ( ) [( )] ( ) ( ) 第二类积分换元法: =F[ −1 (x)]+C

分部积分法 uy'dx=uy-lu'ydx udv=uv- ydv

分部积分法 uv dx uv u vdx    = −  udv uv vdu   = −

基本积分公式 )d=kx+C是常数) (2)xas+1 +1+C(H≠ (3)1dx=ln|x|+C(x≠0) dx= arctan x+C 十x (小n1= arcsinx+C

基本积分公式: kdx = kx +C  (1) C x x dx + + = +  1 (2) 1    (   −1) dx x C x = +  ln | | 1 (3) ( x  0) (k是常数) dx x C x = + +  arctan 1 1 (4) 2 dx x C x = + −  arcsin 1 1 (5) 2

(6) cos xdx=sinx+C (7 sin xdx =-cosx+C (8)see e 2 xdx=[-I-dx= tan x+c 2 cos x (9)lcsc xd= 1dx=-cotx+C 2 SIn (10)secx tan xdx=secx+C (11) cot xdx=-cScx+C

xdx = x +C  (6) cos sin xdx = − x +C  (7) sin cos dx x C x xdx = = +   tan cos 1 (8) sec 2 2 dx x C x xdx = = − +   cot sin 1 (9) csc 2 2 x xdx = x +C  (10) sec tan sec x xdx = − x +C  (11) csc cot csc

12)ed=e2+C (13)a' dx=lna +c(a>0,a+1) (14) tan xdx=-In x|+C 15) cot xdx=In sinx|+C (16) secxdx=In secx+tanx +C (17) csc xdx=In cscx-cotx +C

e dx e C x x = +  (12) C a a a dx x x = +  ln (13) (a >0, a  1) xdx = − x +C  (14) tan ln | cos | xdx = x +C  (15) cot ln |sin | xdx = x + x +C  (16) sec ln |sec tan | xdx = x − x +C  (17) csc ln | csc cot |

8)「21,2l=1 arctan x+C afx (19)-,1,d +c 2 2 2a x+a (20)」2 a2:2v= 1 a+x+ 2a a-x (21) 仄x= arcsin+C 2 (22)r x4、dx=lnx+Vx2±a2+C

C a x a dx a x = + +  arctan 1 1 (18) 2 2 C x a x a a dx x a + + − = −  ln 2 1 1 (19) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = −  ln 2 1 1 (20) 2 2 C a x dx a x = + −  arcsin 1 (21) 2 2 dx x x a C x a = +  +   2 2 2 2 ln 1 (22)