第三章变量变化速度与局部改 变量估值问题—一导数与微分 §1函数的局部变化率——导数 §11抽象导数概念的两个现实原型
第三章 变量变化速度与局部改 变量估值问题——导数与微分 §1 函数的局部变化率——导数 §1.1 抽象导数概念的两个现实原型
数学中研究导数、微分及其应用的 部分叫做微分学 牛顿从变速直线运动的瞬时速度出 发,莱布尼茨从求曲线上一点处的切线 出发分别得出了导数的概念
数学中研究导数、微分及其应用的 部分叫做微分学 牛顿从变速直线运动的瞬时速度出 发, 莱布尼茨从求曲线上一点处的切线 出发,分别得出了导数的概念
求变速直线运动的速度 设一质点作变速直线运动其运动 方程为s=s(O),求该点在t时刻的瞬时速 度yo) 分析: 1若质点作匀速直线运动:=() 2若质点作变速直线运动: (1)取一邻近于t的时刻t,运动时间△t
一、求变速直线运动的速度 设一质点作变速直线运动,其运动 方程为s=s(t),求该点在t0时刻的瞬时速 度v(t0 ) t0 o s t 分析: 1.若质点作匀速直线运动： 0 0 0 ( ) t s t v = 2.若质点作变速直线运动： (1)取一邻近于t0的时刻t,运动时间t
相应地△=s()-s(4)=s(4+△-(t) “求增量” (2)当△很小时速度变化不大可把质点 在△t间隔内的运动近似看成匀速运动 △t内的平均速度: △ss(o+△)-S(0) △t △t “求增量比
可把质点 在t 间隔内的运动近似看成匀速运动 相应地,s=s(t)−s(t0 )=s(t0+t)−s(t0 ) “求增量” (2)当t 很小时,速度变化不大, t 内的平均速度: t s t t s t t s v + − = = ( ) ( ) 0 0 “求增量比” t0 o s t
(3)当Δ越来越小,平均速度便越来越接近 于时刻的瞬时速度v 则当△t->0时,平均速度的极限就是瞬时 速度v,即 lim y 0△→>0 Sr DS=lim s(to+At)-s(to) ->0△tMr->0 △t “取极限
t0 o s t (3)当t越来越小,平均速度便越来越接近 于t0时刻的瞬时速度v0 则当t→0时,平均速度的极限就是瞬时 速度v0 ,即 v v t 0 0 lim → = “取极限” t s t t s t t s t t + − = = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0
二、求曲线切线的斜率 如图如果割线MN 绕点M旋转而趋向 y=f(r) 极限位置MT直线 MT就称为曲线C在 点M处的切线 ■■■■■ xx 极限位置即MM->0,∠NMT→>0 设M(x0J),N(xy)
如果割线MN 绕点M旋转而趋向 极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在 点M处的切线 二、求曲线切线的斜率 如图, T 0 x x o x y y = f (x) C N M 极限位置即|MN|→0, NMT→0 设M(x0 ,y0 ), N(x,y)
(1)求增量 给x一个增量△x y=f(r) 自变量由x变到xo+△x, 曲线上点的纵坐标有相|CM 应的增量 r x Δy=f(x0+△x)-f(x (2)求增量比,即求割线MN的斜率 当△很小时,曲线上点的纵坐标变化 不大,可用割线MN的斜率近似代替切线 M的斜率
(1)求增量 给x0一个增量x, 自变量由x0变到 x0+x, 曲线上点的纵坐标有相 应的增量 y=f(x0+x)−f(x0 ) (2)求增量比,即求割线MN的斜率 当x很小时,曲线上点的纵坐标变化 不大,可用割线MN的斜率近似代替切线 MT的斜率 T 0 x x o x y y = f (x) C N M
割线MN的斜率为 y=f(x) Δy∫(x0+△x)-f(x0) = △v △v C M (3)求极限 xx 当△x>0时,点N沿曲线C无限趋近于点 M割线MN以切线MT为极限,因而割线斜 率的极限就是切线的斜率即 tan a= lim ay= lim f(o+Ax)-f(o) △x->0△x△x->0 △v 其中a(a≠π/2)是切线MT与x轴正向的夹角
(3)求极限 当x→0时,点N沿曲线C无限趋近于点 M,割线MN以切线MT为极限, 因而割线斜 率的极限就是切线的斜率,即 x f x x f x x y x x + − = = → → ( ) ( ) tan lim lim 0 0 0 0 其中 (/2)是切线MT与x轴正向的夹角 x f x x f x x y + − = ( ) ( ) 0 0 割线MN的斜率为 T 0 x x o x y y = f (x) C N M
以上两个问题从纯数学的角度来考 察所要解决的数学问题是相同的:求 个变量相对于另一个变量的变化率问题 由这两个具体问题便可抽象出导数的概
以上两个问题从纯数学的角度来考 察,所要解决的数学问题是相同的: 求一 个变量相对于另一个变量的变化率问题. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概 念