第1篇建立数学模型 随着科学技术的迅速发展,数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、 工作和社会活动中。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型,用这个模 型对控制装置作出相应的设计和计算,才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得 到准确的天气预报,一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等 资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间的变化的数 学模型,就可以分析药物的疗效,有效地指导临床用药。城市规划工作者需要建立 个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型,为领导层对城市发展规划的决 策提供科学根据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存 费用等信息,筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型,一定可以获得更大的经济 效益。就是在日常活动如访友、采购当中,人们也会谈论找一个数学模型,优化一下 出行的路线。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说,建立数学模型是沟通 摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁 本章作为全书的导言和数学模型的概述,主要讨论建立数学模型的意义、方法和 步骤,给读者以建立数学模型的全面的、初步的了解。§1介绍现实对象和它的模型 的关系,给出一些模型形式,说明什么是数学模型;§2阐述建立数学模型的重要意 义:§3节通过几个示例说明用数学语言和数学方法表述和解决实际问题,即建立数 学模型的过程:§4述建立数学模型的一般方法和步骤:§5介绍数学模型的特点及 数学模型的分类;§6论建立数学模型能力的培养。 §1从现实对象到数学模型 人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里,无时无刻不在运用智慧和力量去 认识、利用、改造这个世界,从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精 神文明。博览会常常是集中展示这些成果的场所之一,那些五光十色、精美绝伦的展
1 第 1 篇 建立数学模型 随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、 工作和社会活动中。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模 型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得 到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等 资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间的变化的数 学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药。城市规划工作者需要建立一 个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决 策提供科学根据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存 费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济 效益。就是在日常活动如访友、采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化一下 出行的路线。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通 摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。 本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和 步骤，给读者以建立数学模型的全面的、初步的了解。§1 介绍现实对象和它的模型 的关系，给出一些模型形式，说明什么是数学模型；§2 阐述建立数学模型的重要意 义；§3 节通过几个示例说明用数学语言和数学方法表述和解决实际问题，即建立数 学模型的过程；§4 述建立数学模型的一般方法和步骤；§5 介绍数学模型的特点及 数学模型的分类；§6 论建立数学模型能力的培养。 §1 从现实对象到数学模型 人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里，无时无刻不在运用智慧和力量去 认识、利用、改造这个世界，从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精 神文明。博览会常常是集中展示这些成果的场所之一，那些五光十色、精美绝伦的展
品给我们留下了深刻的印象。工业博览会上,豪华、舒适的新型汽车叫人赞叹不已 农业博览会上,硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返:科技展览厅里,大型水电站模 型雄伟壮观,人造卫星模型高高耸立,清晰的数字和图表显示着电力工业的迅速发展 和整面墙壁一样大的地图上鲜明地标出了新建的铁路和新辟的航线,核电站工程的彩 色巨照前,手持原子结构模型的讲解员深入浅出地介绍反应堆的运行机理:电影演播 室里,播放着一部现代化炼钢厂实现生产自动控制的科技影片,其中既有火花四溅的 钢坯浇铸情景,也有展示计算机管理和控制的框图、公式和程序 参观博览会,像汽车、水果那些原封不动地从现实世界搬到展厅里的物品固然给 人以亲切真实的感受,可是从开阔眼界、丰富知识的角度看,电站、卫星、铁路、钢 ∫……这些在现实世界被人们认识、构造、控制的对象,以它们的各种形式的模型一 一实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前,这些模型在短短几小时 里所起的作用,恐怕是置身现实世界多少天也无法做到的。 与形形色色的模型相对应,它们在显示世界里的原始参照物通称为原型。本节先 讨论原型和模型,特别是数学模型的关系,再介绍数学模型的意义。 原型和模型原型( Prototype)和模型(Mode)是一对对偶体,原型指人们在现实世界 里关心、硏究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统( System)、 过程( Process等词汇、如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统, 又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、 计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则指 为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 这里特别强调构造模型的目的性。模型不是原型原封不动的复制品,原型有各个 方面的各种层次的特征,而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个 原型,为了不同的目的可以有许多不同的模型。如放在展厅里的飞机模型应该在外形 上逼真,但是不一定会飞。而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能,在外 观上不必苛求。至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟,则只要 在数量规律上真实反映飞机动态特性,毫不涉及飞机的实体。所以模型的基本特征是
2 品给我们留下了深刻的印象。工业博览会上，豪华、舒适的新型汽车叫人赞叹不已； 农业博览会上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展览厅里，大型水电站模 型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，清晰的数字和图表显示着电力工业的迅速发展， 和整面墙壁一样大的地图上鲜明地标出了新建的铁路和新辟的航线，核电站工程的彩 色巨照前，手持原子结构模型的讲解员深入浅出地介绍反应堆的运行机理；电影演播 室里，播放着一部现代化炼钢厂实现生产自动控制的科技影片，其中既有火花四溅的 钢坯浇铸情景，也有展示计算机管理和控制的框图、公式和程序。 参观博览会，像汽车、水果那些原封不动地从现实世界搬到展厅里的物品固然给 人以亲切真实的感受，可是从开阔眼界、丰富知识的角度看，电站、卫星、铁路、钢 厂……这些在现实世界被人们认识、构造、控制的对象，以它们的各种形式的模型— —实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前，这些模型在短短几小时 里所起的作用，恐怕是置身现实世界多少天也无法做到的。 与形形色色的模型相对应，它们在显示世界里的原始参照物通称为原型。本节先 讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。 原型和模型 原型(Prototupe)和模型(Model)是一对对偶体，原型指人们在现实世界 里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统(System)、 过程(Process)等词汇、如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统， 又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、 计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则指 为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 这里特别强调构造模型的目的性。模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个 方面的各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个 原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型。如放在展厅里的飞机模型应该在外形 上逼真，但是不一定会飞。而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外 观上不必苛求。至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要 在数量规律上真实反映飞机动态特性，毫不涉及飞机的实体。所以模型的基本特征是
由构造模型的目的决定的。 我们已经看到模型有各种形式。用模型替代原型的方式来分类,模型可以分为物 质樸型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后 者包括思维模型、符号模型、数学模型等 直观模型指那些供展览用的实物模型,以及玩具、照片等,通常是把原型的尺 寸按比例缩小或放大,主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的 物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型,它不仅可以 显示原型的外形或某些特征,而且可以用来进行模拟实验,间接地研究原型的某些规 律。如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能,风洞中的飞机模 型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。有些现象直接用原型研究非常困难,更 可借助于这类模型,如地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等。应注意验证原型与模 型间的相似关系,以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型常可得到实用上很有价值 的结果,但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。 思维模型指通过人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验形式直接贮存于 人脑中,从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。如汽车司机对方向盘的操纵、一 些技艺性较强的工种(如钳工)的操作,大体上是靠这类模型进行的。通常说的某些 领导者凭借经验作决策也是如此。思维模型便于接受,也可以在一定条件下获得满意 的结果,但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点,难以对它的假设 条件进行检验,并且不便于人们的互相沟通 符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等,按一定形式组合 起来描述原型。如地图、电路图、化学结构式等,具有简明、方便、目的性强及非量 化等特点。 本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的,描述现实 对象数量规律的数学公式、图形或算法。 什么是数学模型其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了。当 然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓
3 由构造模型的目的决定的。 我们已经看到模型有各种形式。用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物 质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后 者包括思维模型、符号模型、数学模型等。 直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺 寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。 物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以 显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规 律。如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模 型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。有些现象直接用原型研究非常困难，更 可借助于这类模型，如地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等。应注意验证原型与模 型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型常可得到实用上很有价值 的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。 思维模型 指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于 人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。如汽车司机对方向盘的操纵、一 些技艺性较强的工种（如钳工）的操作，大体上是靠这类模型进行的。通常说的某些 领导者凭借经验作决策也是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意 的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设 条件进行检验，并且不便于人们的互相沟通。 符号模型 是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合 起来描述原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量 化等特点。 本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实 对象数量规律的数学公式、图形或算法。 什么是数学模型 其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了。当 然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓
“航行问题” 甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h,从乙到甲逆水航行需50h, 问船速、水速各若干? 用x,y分别代表船速和水速,可以列出方程 (x+y)-30=750,(x-y)50=750 实际上,这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程,原问题已转化为纯粹的 数学问题。方程的解x=20kmh,y=5km/h,最终给出了航行问题的答案。 当然,真正实际问题的数学模型通常要复杂得多,但是建立数学模型的基本内容 已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是:根据建立数学模型的目的和问题 的背景做出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数);用字母表示待求的未知 量(x,y代表船速和水速);利用相应的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速 度乘以时间),列出数学式子(二元一次方程组);求出数学上的解答(x=20,y=5); 用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20km/h和5km/h):最后还要用实际现象 来验证上述结果。 般地说,数学模型可以描述为,对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定 目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到 的一个数学结构。 需要指出,本书的重点不在于介绍现实对象的数学模型( Mathematical model)是什 么样子,而是要讨论建立数学模型( Mathematical Modelling)的全过程,建立数学模型 下面简称为数学建模或建模。 与数学建模有密切关系的数学模拟,主要指运用数字式计算机的计算机模拟 ( Computer Simulation)。它根据实际系统或过程的特性,按照一定的数学规律用计算机 程序语言模拟实际运行状况,并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。例如 通过各种工件在不同机器上按一定工艺顺序加工的模拟,可以分析车辆在路段上的分 布特别是堵塞的状况,与用物理模型的模拟实验相比,计算机模拟有明显的优点;成
4 “航行问题”： 甲乙两地相距 750 km，船从甲到乙顺水航行需 30 h，从乙到甲逆水航行需 50 h， 问船速、水速各若干？ 用 x ， y 分别代表船速和水速，可以列出方程 (x + y)30 = 750， (x − y)50 = 750 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的 数学问题。方程的解 x = 20 km/h， y = 5 km/h，最终给出了航行问题的答案。 当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容 已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是：根据建立数学模型的目的和问题 的背景做出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知 量（ x， y 代表船速和水速）；利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程组）；求出数学上的解答（ x = 20 ，y = 5 ）； 用这个答案解释原问题（船速和水速分别为 20 km/h 和 5 km/h）；最后还要用实际现象 来验证上述结果。 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定 目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到 的一个数学结构。 需要指出，本书的重点不在于介绍现实对象的数学模型(Mathematical Model)是什 么样子，而是要讨论建立数学模型(Mathematical Modelling)的全过程，建立数学模型 下面简称为数学建模或建模。 与数学建模有密切关系的数学模拟，主要指运用数字式计算机的计算机模拟 (Computer Simulation)。它根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机 程序语言模拟实际运行状况，并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。例如 通过各种工件在不同机器上按一定工艺顺序加工的模拟，可以分析车辆在路段上的分 布特别是堵塞的状况，与用物理模型的模拟实验相比，计算机模拟有明显的优点；成
本低、时间短、重复性高、灵活性强。有人把计算机模拟作为建立数学模拟的手段之 但是数学模拟在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系,其结果容易推广, 特别是得到了解析形式答案时,更容易推广。而计算机模拟则完全模仿对象的实际演 变过程,难以从得到的数字结果分析对象的内在规律。当然,对于那些因内部机理过 于复杂,目前尚难以建立数学模型的实际对象,用计算机模拟获得一些定量结果,可 称是解决问题的有效手段。 §2数学建模的重要意义 数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历 史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题 的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德 几何,17世纪发现的牛顿万有引力定律,都是科学发展史上数学建模的成功范例。 进入20世纪以来,随着数学以空间的广度和深度向一切领域的渗透,和电子计 算机的出现与飞速发展,数学建模越来越受到人们的重视,可以从以下几方面来看数 学建模在现实世界中的重要意义 1)在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等 工程技术领域中,数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有 的,但是由于新技术、新工艺的不段涌现,提出了许多需要用数学方法解决的新问题 高速、大型计算机的飞速发展,使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大 型水坝的应力计算,中长期天气预报等)迎刃而解;建立在数学模型和计算机模拟基 础上的CAD技术,以其快速、经济、方便等优势,大量地替代了传统工程设计中的 现场实验、物理模拟等手↓ 2)在高薪技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身,还是将高新技术用于 传统工业去创造新工艺、开发新产品,计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用
5 本低、时间短、重复性高、灵活性强。有人把计算机模拟作为建立数学模拟的手段之 一，但是数学模拟在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系，其结果容易推广， 特别是得到了解析形式答案时，更容易推广。而计算机模拟则完全模仿对象的实际演 变过程，难以从得到的数字结果分析对象的内在规律。当然，对于那些因内部机理过 于复杂，目前尚难以建立数学模型的实际对象，用计算机模拟获得一些定量结果，可 称是解决问题的有效手段。 §2 数学建模的重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历 史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题 的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德 几何，17 世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。 进入 20 世纪以来，随着数学以空间的广度和深度向一切领域的渗透，和电子计 算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数 学建模在现实世界中的重要意义。 1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等 工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有 的，但是由于新技术、新工艺的不段涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题； 高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大 型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基 础上的 CAD 技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的 现场实验、物理模拟等手段。 2）在高薪技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于 传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用
的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件,已经 被固化于产品中,在许多高新技术领域起着核心作用,被认为是高新技术的特征之 在这个意义上,数学不再仅仅作为一门科学,是许多技术的基础,而且直接走向了技 术的前台。国际上一位学者就提出了“高技术本质上一种数学技术”的观点。 3)数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学 科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。这里一般地说 不存在作为支配关系的物理定律,当用数学方法研究这些领域中的定量关系时,数学 建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不 同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大,为数学建模提供了广阔的新 天地。马克思说过:“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步”。展 望21世纪,数学必将大踏步地进入所有学科,数学建模将迎来蓬勃发展的新时期 今天,在国民经济和社会活动的以下诸多方面,数学建模都有着非常具体的应用 分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效;建立跨 音速流和激波的数学模型,用数值模拟设计新的飞机翼型。 预报与决策生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长 预报等等,都要有预报模型;使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方 案,是决策模型的例子。 控制与优化电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化,要以数 学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学建模,是迫切需要和十分棘手的课题。 规划与管理生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度,以及排队策 略、物资管理等,都可以用数学规划模型解决。 数学建模与计算机技术的关系密不可分。一方面,像新型飞机设计、石油勘探数 据处理中的数学模型的求解当然离不开巨型计算机,而微型电脑的普及更使数学建模 逐步进入人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交 货期等要求,用手提电脑与客户进行价格谈判时,您不会怀疑他的电脑中贮存了由公
6 的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经 被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。 在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技 术的前台。国际上一位学者就提出了“高技术本质上一种数学技术”的观点。 3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学 科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。这里一般地说 不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学 建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不 同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新 天地。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。展 望 21 世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。 今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。 分析与设计 例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨 音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。 预报与决策 生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长 预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方 案，是决策模型的例子。 控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数 学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学建模，是迫切需要和十分棘手的课题。 规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策 略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。 数学建模与计算机技术的关系密不可分。一方面，像新型飞机设计、石油勘探数 据处理中的数学模型的求解当然离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学建模 逐步进入人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交 货期等要求，用手提电脑与客户进行价格谈判时，您不会怀疑他的电脑中贮存了由公
司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型一一快速报价系统和 生产计划系统。另一方面,以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机,去伪存 真、归纳整理、分析现象、显示结果……,计算机需要人们给它以思维的能力,这些 当然要求助于数学模型,所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如 虎添翼,是恰如其分的 美国科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败,得出 了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论,认为数学“由研究到工 业领域的技术转化,对加强经济竞争力具有重要意义”,而“计算和建模重新成为中 心课题,它们是数学科学技术转化的主要途径” §3.1建模示例之一椅子能在不平的地面上放稳吗 本节和下面两节将给出三个数学建模的例子,重点说明如何作出合理的、简化的 假设,用数学语言确切地描述实际问题,以及模型的结果怎样解释实际现象。 本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实:把椅子往不平的地面上 放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着 地,放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给予表述,并用数学工具 来证实吗?让我们试试看B21 棋型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设: 、椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形。 2、地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情 ),即地面可视为数学上的连续曲面 3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件,因为如果地面高 度不连续,譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这 样的情况:地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,出现深沟或凸峰 (即使是连续变化的),致使三只脚无法同时着地
7 司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型——快速报价系统和 生产计划系统。另一方面，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存 真、归纳整理、分析现象、显示结果……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些 当然要求助于数学模型，所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如 虎添翼，是恰如其分的。 美国科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败，得出 了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工 业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”，而“计算和建模重新成为中 心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。 §3.1 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗 本节和下面两节将给出三个数学建模的例子，重点说明如何作出合理的、简化的 假设，用数学语言确切地描述实际问题，以及模型的结果怎样解释实际现象。 本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实；把椅子往不平的地面上一 放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着 地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给予表述，并用数学工具 来证实吗？让我们试试看[32] . 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。 2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情 况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 假设 1 显然是合理的。假设 2 相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高 度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设 3 是要排除这 样的情况；地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰 （即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只 脚同时着地的条件和结论表示出来。 B 首先用变量表示椅子的位置,由于椅 脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位 置改变,于是可以用旋转角度θ这一变量 来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直 距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变 量的函数 由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距 离之和为f(O),B、D两脚与地面距离之和为g(0),显然f()、g()≥0,由假设 (2)知f、g都是连续函数,再由假设(3)知f(0)、g(0)至少有一个为0。当O=0 时,不妨设g(O)=0,f(0)>0,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如 下命题: 命题己知f(0)、g(0)是O的连续函数,对任意O,f()*g0)=0,且 g(0)=0.,/(0)>0,则存在Oo,使g(0)=f(a)=0。 模型求解 将椅子旋转90,对角线AC和BD互换,由gO)=0,f(O)>0可知 g(x/2)>0,f(x/2)=0。令O)=f(0)-g(0),则h(0)>0.h(x/2)<0,由f、g 的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在60(0<60</2)使h() 8()=f(0),由g(O0)*f(0)=0,所以g(0)=f(0)=0 评注 模型巧妙在于用已知变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四脚与地
8 模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只 脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先用变量表示椅子的位置，由于椅 脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位 置改变，于是可以用旋转角度 这一变量 来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直 距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变 量的函数。 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C 两脚与地面距 离之和为 f ( )，B、D 两脚与地面距离之和为 g( ) ，显然 f ( )、g( ) 0 ，由假设 （2）知 f、g 都是连续函数，再由假设（3）知 f ( )、g( ) 至少有一个为 0。当 = 0 时，不妨设 g( ) = 0, f ( ) 0 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如 下命题： 命题 已知 f ( )、 g( ) 是 的连续函数，对任意 ， f ( ) * g( ) =0，且 g(0) = 0, f (0) 0 ，则存在 0 ，使 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0。 模型求解 将椅子旋转 0 90 ，对角线 AC 和 BD 互换，由 g(0) = 0, f (0) 0 可 知 g( 2) 0, f ( 2) = 0 。令 h() = f () − g() ，则 h(0) 0,h( 2) 0 ，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在 (0 2) 0 0 使 h( 0 ) = 0 ， ( ) ( ) 0 0 g = f ，由 g( 0 )* f ( 0 ) = 0 ，所以 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0。 评 注 模型巧妙在于用已知变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地 B B A C A x C D D
面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的,同学们可以考虑四脚 呈长方形的情形 §3.2建模示例之二商人们怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行。随 从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。但是如何乘船渡 河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢? 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求 解,一是为了给出建模的示例,二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题,比 逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了,所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为 一个多步决策过程。每一步,即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸,都要对船上的 人员(商人、随从各几人)作出决策,在保证安全的前提下(两岸的随从数都不比商 人多),在有限步内使全部人员过河。用状态(变量)表示某一岸的人员状况,决策 (变量)表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态 的允许变化范围内(即安全渡河条件),确定每一步的决策,达到渡河的目标。 模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk,k=12…,xk y=01,2,3.将二维向量S4=(x,y)定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为 允许状态集合,记作S S={x,y)x=0,y=0123x=3,y=02,3x=y=12}(1) 不难验证,S对此岸和彼岸都是安全的。 记第k次渡船上的商人数为u4,随从数为v将二维向量dk=(u4,v)定义为决 策。允许决策集合记作D,由小船的容量可知 D={a,v1≤a+v≤2,u,v=0
9 面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转 0 90 并不是本质的，同学们可以考虑四脚 呈长方形的情形。 §3.2 建模示例之二 商人们怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随 从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡 河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢？ 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求 解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比 逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为 一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的 人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商 人多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策 （变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态 的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。 模型构成 记第 k 次渡河前此岸的商人数为 k x ，随从数为 k y ， k k =1,2, , x ， yk = 0,1,2,3. 将二维向量 ( ) k k k s = x , y 定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为 允许状态集合，记作 S . S = (x, y) x = 0, y = 0,1,2,3; x = 3, y = 0,1,2,3; x = y =1,2 (1) 不难验证， S 对此岸和彼岸都是安全的。 记第 k 次渡船上的商人数为 k u ，随从数为 k v . 将二维向量 ( ) k k k d = u ,v 定义为决 策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 D = (u,v) 1 u + v 2,u,v = 0,1,2 (2)
因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸,k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态S4随决 策d4变化的规律是 Ski=Sk+(-l)dk (3)式称状态转移律。这样,制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型: 求决策d∈D(k=1,2…,n),使状态S∈S按照转移率(3),由初始状态 s1=(33)经有限步n到达状态sn1=0.0) 模型求解根据(1)(3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。 不过对于商人和随从人数不大的简单状况,用图解法这个模型更为方便 d, d 图2安全渡河问题的图解法 在Oxy平面坐标系上画出图2那样的方格,方格点表示状态=(x,y).允许状态 集合S是用圆点标出的10个格子点。允许决策d是沿方格线移动1或2格,k为奇 数时向左、下方移动,k为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的d4使由S1=(3,3)
10 因为 k 为奇数时船从此岸驶向彼岸， k 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 k s 随决 策 k d 变化的规律是 ( ) k k sk+1 = sk + −1 d (3) (3)式称状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策 dk D (k =1,2, ,n) ，使状态 sk S 按照转移率(3)，由初始状态 (3,3) s1 = 经有限步 n 到达状态 (0,0) sn+1 = . 模型求解 根据(1)~ (3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。 不过对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法这个模型更为方便。 图 2 安全渡河问题的图解法 在 Oxy 平面坐标系上画出图 2 那样的方格，方格点表示状态 s = (x, y). 允许状态 集合 S 是用圆点标出的 10 个格子点。允许决策 k d 是沿方格线移动 1 或 2 格， k 为奇 数时向左、下方移动， k 为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的 k d 使由 (3,3) s1 = O 1 2 y x 1 2 3 3 1 s 1 d 3 d 2 d 4 d5 d 9 d 6 d 7 d 11 d 8 d 10 d