北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.3 线性映射与线性变换 4.3.4 线性变换的定义与运算

第一学期第二十五次课 第四章§3线性映射与线性变换(续) 434线性变换的定义与运算 定义线性空间到自身的线性映射称为线性变换,记Homk(,V)为Endk(W)或 nd() 例恒同变换 E:F→ aba 例投影(射影)设=H2,va∈V,a=a1+a2(a1∈1,a2∈V2),定义V到V 的投影P(a)=a1,V到2的投影P(a)=a2 定义End()中的运算(加法、数乘和乘法) 加法定义为A+B(a)=A(a)+B(a),(a∈) 数乘定义为(4a)=k(A(a),其中k∈K 乘法(复合)定义为(A。B)a)=A(B(a) 命题End()关于加法和复合(作为乘法)构成环,称为V的自同态环 命题设V为数域K上的n维线性空间,则End(V)同构于M,(K)。 证明由定理直接推出 43.5线性变换的矩阵与矩阵的相似 线性变换(在一组基下)的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例 设a和A在E1,…,En下的坐标分别为 y21.记A在61…,5n下的矩阵为A、则:/引点 即在给定的基下向量在线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的 坐标 命题设线性变换A在一组基E1,…6n下的矩阵为A,由基￡1…En到基η1,…7, 的过渡矩阵为T,则A在n1,…刀n下的矩阵为TAT 证明由已知,A(E12E2…En)=(41AE2,…,Asn)=(1,E2,…,En)A,且有 (2…7n)=(E1,…,En)T(*) 设A在1,…,n下的矩阵为B,则

第一学期第二十五次课 第四章 §3 线性映射与线性变换（续） 4.3.4 线性变换的定义与运算 定义 线性空间到自身的线性映射称为线性变换，记 Hom (V,V) K 为 End (V) K 或 End (V )。 例 恒同变换 : , . V V   E → 例 投影（射影）设 V V V = 1 2 ， 1 2 1 1 2 2   = +         V V V , ( , ) ，定义 V 到 V1 的投影 1 1 ( ) PV  = ，V 到 V2 的投影 2 2 ( ) PV  = 。 定义 End( ) V 中的运算（加法、数乘和乘法） 加法定义为 (A+ B) A + B ( ) ( ) ( ),( )     =  V ； 数乘定义为 ( )( ) ( ( )) k k A A   = ，其中 k K  ； 乘法（复合）定义为 ( )( ) ( ( )) A B A B   = 。 命题 End (V ) 关于加法和复合（作为乘法）构成环，称为 V 的自同态环。 命题 设 V 为数域 K 上的 n 维线性空间，则 End (V ) 同构于 M (K) n 。 证明 由定理 直接推出。 4.3.5 线性变换的矩阵与矩阵的相似 线性变换（在一组基下）的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例。 设  和 A 在 n  , , 1  下的坐标分别为 1 2 n x x x             和 1 2 n y y y             ，记 A 在 n  , , 1  下的矩阵为 A ，则 1 1 2 2 n n y x y x A y x             =             。 即在给定的基下向量在线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的 坐标。 命题 设线性变换 A 在一组基 n  , , 1  下的矩阵为 A ，由基 n  , , 1  到基   n , , 1  的过渡矩阵为 T ，则 A 在   n , , 1  下的矩阵为 T AT −1 。 证明 由已知， 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) A A A A          n n n = = A ，且有 1 1 ( , , ) ( , , )     n n = T （*）， 设 A 在   n , , 1  下的矩阵为 B ，则

B(h,n2,…,n)=(B,Bn2…,Bn)=(n,n2,…,7n)B 将(*)代入,则有B=T-AT。 定义称n阶矩阵A相似于B(记为A~B),若存在可逆矩阵T,使得B=TAT 命题相似是等价关系。 命题二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 证明充分性已证。必要性若A~B,则存在T∈GLn(K),使得B=TAT。定义 K上的n为线性空间V上的线性变换A如下:任取V的一组基E,…,En,定义 A(E1…En)=(E,…,En)A,再令(m,…n)=(E1,…,En)T,由命题可知,n12…,刀n是 V的一组基,代入整理,得到A(71,…7n)=(71,…7n)T-AT。证毕

1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) B B B B          n n n = = B。 将（*）代入，则有 1 B T AT − = 。 定义 称 n 阶矩阵 A 相似于 B （记为 A B ），若存在可逆矩阵 T ，使得 1 B T AT − = 。 命题 相似是等价关系。 命题 二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 证明 充分性已证。必要性 若 A B ，则存在 ( ) T GL K  n ，使得 1 B T AT − = 。定义 K 上的 n 为线性空 间 V 上的线性变换 A 如下：任取 V 的一组基 1 , , n   ，定义 1 1 ( , , ) ( , , ) A     n n = A ，再令 1 1 ( , , ) ( , , )     n n = T ，由命题 可知，   n , , 1  是 V 的一组基，代入整理，得到 1 1 1 ( , , ) ( , , )     n n T AT − A = 。证毕