北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.3）对称变换

第二学期第六次课 第六章§3对称变换 设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,如果对va,B∈V,都有 (Aa, b)=(a,AB) 则称A是V内的对称变换 命题n维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基 E,E2,,En下的矩阵A是实对称矩阵 证明设a=(E,E2…,En)X,B=(E,E2,,En)Y,则 (Aa, B)=XAY,(a, AB)=XAY 由(Aa,B)=(a,AB)可得A=A 命题实对称矩阵A的特征根都是实数 证明设A是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=2X.于是 XA=AX",从而ⅩAX=AXX;另一方面,XAX=AXX.得到λ=λ 命题n维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值入,A2的特征向量51,52必正 证明A51=15,A52=1252,于是 A(51,52)=(A51,52)=(5,A52)=A2(51,2 由于1≠2,故(5152)=0 命题n维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补M仍是不变子空间 证明ya∈M,B∈M,因Aa∈M,有 0=(Aa,B)=(a,AB) 这表明AB∈M,故M是不变子空间 定理设n维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形 证明对维数n做数学归纳法 推论设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正交矩阵T,使得T47(=T47)为对角 阵 证明把A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理,A在另一组标

第二学期第六次课 第六章 §3 对称变换 设 A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换，如果对  ,   V，都有 （A  ,  ）=(  , A  ) 则称 A 是 V 内的对称变换. 命题 n 维欧氏空间 V 上的线性变换 A 是对称变换当且仅当它在标准正交基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵 A 是实对称矩阵. 证明 设  =( 1 2 n  ， ，， )X,  =( 1 2 n  ， ，， )Y,则 （A  ,  ）= XAY ,(  , A  )= XAY 由（A  ,  ）=(  , A  )可得 A = A . 命题 实对称矩阵 A 的特征根都是实数. 证明 设  是 A 的特征多项式在 C 内的根.则存在 n 维非零复向量 X,使 AX=  X.于是 XA = X ,从而 XAX = XX ;另一方面, XAX = XX.得到  =  . 命题 n 维欧氏空间 V 上的对称变换 A 的属于不同特征值 1 2  , 的特征向量 1 2  , 必正 交. 证明 A 1  =1 1  ,A  2 =  2  2 ,于是 1 ( 1 2  , )=(A 1  , 2 )=( 1  ,A  2 )=  2 ( 1 2  , ) 由于 1   2 ,故( 1 2  , )=0. 命题 n 维欧氏空间上 V 的对称变换 A 的不变子空间 M 的正交补 ⊥ M 仍是不变子空间. 证明    M,   ⊥ M ,因 A   M,有 0=（A  ,  ）=(  , A  ), 这表明 A   ⊥ M ,故 ⊥ M 是不变子空间. 定理 设 n 维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形. 证明 对维数 n 做数学归纳法. 推论 设 A 是 n 阶实对称矩阵，则存在 n 阶正交矩阵 T ，使得 ( ) 1 T AT = TAT − 为对角 阵. 证明 把 A 看作 V 上对称变换 A 在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A 在另一组标

准正交基下的矩阵是对角阵设过渡矩阵为T,则易证TA7(=T4T)是对角阵 推论n元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形 提示:n元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法(亦即用正交线性变数替换将 n元实二次型化为标准形的计算方法)。 1)计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者)λ,A,…,A 2)对每个A,求齐次线性方程组(AE-A)X=0的一个基础解系X1X12,…X它们 是解空间M,的一组基 3)在欧氏空间R"内将X1,X2,…Xa正交化,再单位化得M的一组标准正交基 Zn,Z2…Zn此时nk=(41,…,En)(=1.2…1)即为Vx的一组标准正交基而所寻 求的正交矩阵T应为;,E2…,En到 n1,…nm1,n21…,n2,…k1,…,nkt 的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 t1个λ1 t2个2 t个

准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为 T,则易证 ( ) 1 T AT = TAT − 是对角阵. 推论 n 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 提示: n 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交线性变数替换将 n 元实二次型化为标准形的计算方法）。 1) 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) 1，2，，k ; 2) 对每个 i ,求齐次线性方程组( i E-A)X=0 的一个基础解系 Xi1 ,Xi2 ,… i Xit .它们 是解空间 Mi 的一组基. 3）在欧氏空间 R n 内将 Xi1 , Xi2 ,… i Xit 正交化,再单位化,得 Mi 的一组标准正交基 1 2 , , , i Z Z Z i i it .此时 1 ( , , )    ik n ij = Z (j=1,2,…, i t ) 即为 V i 的一组标准正交基.而所寻 求的正交矩阵 T 应为 1 2 n  ， ，， 到 1 2 k1 ktk 11 1t 21 2t  ,  , , ,  , ,  ,  , 的过渡矩阵,其列向量组应为 1 2 k1 ktk Z11 ,  , Z1t , Z21 ,  , Z2t , Z ,  , Z 此时相应的对角矩阵 D 为 k k 2 2 1 1 k k 2 2 1 1 t t t D          个 个 个                                      =