概率公式整理 随机事件及其概率 A∪Q=9 AoQ=A 吸收律:A∪=A A∩= A∪(AB)=AA∩(A∪B)=A A-B=AB=A-(AB) 反演律:A∪B=ABAB=A∪B 4=∩4∩4=U4 2.概率的定义及其计算 P(A)=1-P(A 若AcB→P(B-A)=P(B)-P(A) 对任意两个事件A,B,有P(B-A)=P(B)-P(AB) 加法公式:对任意两个事件A,B,有 P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AUB)≤P(A)+P(B) PA)=∑P(4)-∑P(A44)+∑P(A4A4)+…+(-1)P(A142…4) 3.条件概率 P(B|)= P(AB) P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)P(B4)(P()>0)
概率公式整理 1．随机事件及其概率 吸收律： A AB A A A A = = = ( ) A A B A A A A = = = ( ) A− B = AB = A−(AB) 反演律： A B = A B AB = A B n i i n i Ai A =1 =1 = n i i n i Ai A =1 =1 = 2．概率的定义及其计算 P(A) =1− P(A) 若 A B P(B − A) = P(B) − P(A) 对任意两个事件 A, B, 有 P(B − A) = P(B) − P(AB) 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) P(A B) P(A) + P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 n n n i j k n i j k i j n i j n i i n i P Ai P A P A A P A A A P A A A − = = = − + + + − 3．条件概率 P(B A)= ( ) ( ) P A P AB 乘法公式 P(AB) = P(A)P(B A) (P(A) 0)
P(A4…A)=P(A)P(41A1)P(|442…A-) (P(41A2…An-1)>0) 全概率公式 P()=∑P(AB)=∑P(B)P(AB) Bayes公式 P(BA)=P(AB)=_P(B)P(AB) P(A) ∑P(B)P(4B) 4.随机变量及其分布 分布函数计算 P(a0 有 Im CP(I-p)=e k=0,2 (3) Poisson分布P() P(X=k)=,k=0.2
( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 = − − n n n n P A A A P A A A P A P A A P A A A A 全概率公式 = = n i P A P ABi 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i n i = P Bi P A B = Bayes 公式 P(B A) k ( ) ( ) P A P ABk = = = n i i i k k P B P A B P B P A B 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a P a X b P X b P X a = − = − 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X k p p k k k (2) 二项分布 B(n, p) 若 P ( A ) = p P X k C p p k n k k n k n ( = ) = (1− ) , = 0,1, , − * Possion 定理 lim = 0 → n n np 有 0,1,2, ! lim (1 ) = − = − − → k k C p p e k n k n k n k n n (3) Poisson 分布 P() , 0,1,2, ! ( = ) = = − k k P X k e k
6.连续型随机变量 (1)均匀分布U(a,b) a<x< b f(x)=b 其他 x)= (2)指数分布E() f(x)= 0.其他 F(x)= 0, X< x≥0 (3)正态分布N(,a2) f(x) 0<X<+∞ 2丌G a)2 F(x)= *N(0,1)一标准正态分布 p(x= 00<X<+0 <x<+ 7多维随机变量及其分布 二维随机变量(X,y)的分布函数 F(x,y)=ELf(u,v)dvd 边缘分布函数与边缘密度函数 Fro f(u, v)dadu
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 U (a,b) = − 0, 其他 , 1 ( ) a x b f x b a − − = 1 , 0, ( ) b a x a F x (2) 指数分布 E() = − 0, 其他 , 0 ( ) e x f x x − = − 1 , 0 0, 0 ( ) e x x F x x (3) 正态分布 N ( , 2 ) = − + − − f x e x x 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) − − − = x t F x e d t 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) * N (0,1) — 标准正态分布 = − + − x e x x 2 2 2 1 ( ) = − + − − x e t x x t d 2 1 ( ) 2 2 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 − − = x y F(x, y) f (u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 − + − = x FX (x) f (u,v)dvdu
f(x)= f(x, v)d f(u, v)dudy fr()=f(u,y)du 8.连续型二维随机变量 (1)区域G上的均匀分布,U(G) (xy)=4(x,y∈G 0,其他 (2)二维正态分布 f(x, y) e2(-p2L可 00 fr()fxr(xy) fr()>0 f1(x)=/(xy)=m()( fr()= f(x, y)dr=frr(x)r()a xry (rly)=f(x, y)=nr(yx)/(x) f() ()=1(xy)=fmp(x)(y) f(r) fr(x) 10.随机变量的数字特征 数学期望 E(X)=∑xP
+ − f x = f x v dv X ( ) ( , ) − + − = y FY (y) f (u,v)dudv + − f Y (y) = f (u, y)du 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) = 0, 其他 , ( , ) 1 ( , ) x y G f x y A (2) 二维正态分布 − + − + − = − + − − − − − − x y f x y e x x y y , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 9. 二维随机变量的 条件分布 f (x, y) = f (x) f (y x) f X (x) 0 X Y X = f (y) f (x y) f Y (y) 0 Y X Y + − + − f x = f x y dy = f x y f y dy X X Y Y ( ) ( , ) ( ) ( ) + − + − f y = f x y dx = f y x f x dx Y Y X X ( ) ( , ) ( ) ( ) f (x y) X Y ( ) ( , ) f y f x y Y = ( ) ( ) ( ) f y f y x f x Y Y X X = f ( y x) Y X ( ) ( , ) f x f x y X = ( ) ( ) ( ) f x f x y f y X X Y Y = 10. 随机变量的数字特征 数学期望 + = = 1 ( ) k k pk E X x
E(X) 随机变量函数的数学期望 X的k阶原点矩 E(X) X的k阶绝对原点矩 E(X1) X的k阶中心矩 E(X-E(X)) X的方差 E(X-E(XD=D(X) X,Y的k+l阶混合原点矩 E(XY) X,Y的k+l阶混合中心矩 E( X-E(X(Y-E(n) X,Y的二阶混合原点矩 E(XY X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差 E(Y-E(YXY-E(YD) X,Y的相关系数 (X-E(XDOY-E(n) Pxy D(x√D(Y) X的方差 D(X)=E((X-E(X)2) D(X)=E(X2)-E2(X)
+ − E(X) = xf(x)dx 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 ( ) k E X X 的 k 阶绝对原点矩 (| | ) k E X X 的 k 阶中心矩 (( ( )) ) k E X − E X X 的 方差 (( ( )) ) ( ) 2 E X − E X = D X X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 ( ) k l E X Y X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ( ) k l E (X − E(X)) (Y − E(Y)) X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E((X −E(X))(Y −E(Y))) X ,Y 的相关系数 XY D X D Y X E X Y E Y E = − − ( ) ( ) ( ( ))( ( )) X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) ( ) ( ) ( ) 2 2 D X = E X − E X
协方差 coM(X, Y)=E-E(XXY-E(Y) E(XY-E(XE(r (D(X±Y)-D(X)-D(Y) 相关系数 coM(X,Y) D(X)√D() 简单整理了一下,中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出,有问题可以给我来信,希望能与 大家多交流 fish@situ.edu.cn
协方差 cov(X,Y) = E((X −E(X))(Y − E(Y))) = E(XY) − E(X )E(Y) ( ( ) ( ) ( )) 2 1 = D X Y − D X − D Y 相关系数 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y XY = 简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，希望能与 大家多交流。 fish@sjtu.edu.cn
