水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 三角有理分式R(Sinx,cosx)的积分 (1)半角替换 记t=tan,则imxs2 +r’cosr=!-2 于是可将三角有理分式 R(sinx,cosx)的不定积分R(snx,cosx)dx化为关于的有理分式积分 (2)三角替换 若R(-sinx,cosx)=-l(sinx,cOsx),则取变换t=cosx,dt=- sin xdx,=_d sIn x 若R(sinx,cosx)=-R(sinx,cosx),则取变换t=sinx,asd COSx 若R(-sinx,-cosx)=R( In x cos x),则取变换t=tanx,ax=cos2xdt 定积分应用相关公式 (1)f(x)dx=-f(x)dx ()对积分区间的可加性:vc∈R,∫f(x)d=J(xt+∫f(x)r (3对被积函数满足线性性4()+Eg()]=4/(x)d+」g(x)h (4)保序性(保号性):若可积函数f(x)20,Vx∈[a,b],则f(x)x≥0 若可积函数f(x,g()满足(x)≥8g(x,则J(x)2J,g(x)x 特别,若非负连续函数f(x)在[a,6上不恒为零,则|f(x)dx>0 )若/1)上可则(上也可积/(x1(x 若可积函数f(x)在[a,b上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤Jf(x)x≤M(b-a) 进一步,若函数g(x)在[a,b]上非负可积,则(称为比较性质) m g(x) s.(x)(x)dsm.(x)d (7)积分中值定理:若函数∫(x)在[a,b]上连续,g(x)在[,b]上取定号且可积,则彐5∈(an,b) f(x)g(x)dx=f(s) 8( 特别 g(x)=1时,35∈[a,b,使「f(x)dt=f(5b-a)
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 三角有理分式 xxR )cos,(sin 的积分 （1）半角替换： 记 2 tan x t = , 则 2 1 2 sin t t x + = ， 2 2 1 1 cos t t x + − = ， dt t dt 2 1 2 + = ，于是可将三角有理分式 xxR )cos,(sin 的不定积分 化为关于t 的有理分式积分。 ∫ )cos,(sin dxxxR （2）三角替换 若 − xxR )cos,sin( = − xxR )cos,(sin , 则取变换t = cos x ，dt = −sin xdx ， x dt dx sin −= 。 若 − xxR )cos,(sin = − xxR )cos,(sin , 则取变换 = sin xt ， x dt dx cos = 。 若 −− xxR )cos,sin( = xxR )cos,(sin , 则取变换t = tan x ， dx xdt 。 2 = cos 定积分应用相关公式： (1) ∫∫ −= a b b a )()( dxxfdxxf (2) 对积分区间的可加性: ∫∫∫ ∈∀ = + b c c a b a )()()(, dxxfdxxfdxxfRc (3) 对被积函数满足线性性: [ ] ∫ ∫∫ + = + b a b a b a )()( )()( dxxgBdxxfAdxxBgxAf (4) 保序性（保号性）: 若可积函数 ≥ ∀ ∈ baxxf ],[,0)( , 则 ∫ ≥ 0)( 。 b a dxxf 若可积函数 xgxf )(),( 满足 ≥ xgxf )()( , 则 ≥ ∫∫ 。 b a b a )()( dxxgdxxf 特别，若非负连续函数 在 上不恒为零， xf )( ba ],[ 则 ∫ > 0)( 。 b a dxxf (5) 若 在 上可积 xf )( ba ],[ , 则 xf )( 在 上也可积 ba ],[ , 且 ∫∫ ≤ b a b a )()( dxxfdxxf (6) 估值定理 : 若可积函数 xf )( 在 ba ],[ 上满足 ≤ )( ≤ Mxfm , 则 abMdxxfabm )()()( b a ≤− −≤ ∫ 进一步 , 若函数 xg )( 在 ba ],[ 上非负可积 , 则（称为比较性质） ∫∫ ∫ ≤ ≤ b a b a b a )()()( )( dxxgMdxxgxfdxxgm (7) 积分中值定理: 若函数 xf )( 在 ba ],[ 上连续, xg )( 在 ba ],[ 上取定号且可积, 则 ξ ∈∃ ba ),,( 使 ∫ = ∫ 。 b a b a ξ )()()()( dxxgfdxxgxf 特 别 , xg ≡ 1)( 时 , ∃ξ ∈ ba ],,[ 使 abfdxxf ))(()( , 或 b a −= ∫ ξ 19
水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 b =f(5)=fa,(x)(平均值 (8)若f(x)在[-a]上是可积的奇函数,则」f(x)dtx=0 若f(x)在[-a,d上是可积的偶函数,则f(x)dx=2f(x)r (9)若f(x)是可积的周期函数,切周期为T,则对任意是实数a必有f(x)d=」。f(x)dh (0)若连续函数f(x)满足J/(x)d=0,则存在x∈(b)使得f(x)=0 (1)若非负连续函数f(x)满足」f(x)x=0,则vx∈[a,b1,f(x)=0 (12)分部积分法设∫(x)与g(x)在[a,b连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则 ∫”f(x)g(xk=F()g(x)2-JF(x)g(x)d 13)区间变换f(x)d→f(x()x()d:令1=q ∫,(x)→(x)(0:令1=ba(d-)+c 1)i运用定积分求极限常用公式为mb-aSf )=|f(x)d 其中f(a+ b-k)=f(s),o-d=mk (15)2 sin"xdx cos x dx,记 sin"xdx,则 n2,(n=2,3,…),初值:0=,1 上述结果可归纳得到下述实用形式 (2 (2m)! l(n=1,2,3,…) (2n+1)! 定积分的近似计算: 矩形法:f(x (yo+y1+…+yn-1) 梯形法:(x)=二1(x+y,)+y+…+ym 抛物线法:f(x、b-a (yo+yn)+2(y2+y4+…+yn-2)+4(y1+y3 y-D)] 定积分的几何应用 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法)
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 __________ ],[ )()( )( xff ab dxxf Ba b a == − ∫ ξ （平均值） （8）若 在 上是可积的奇函数 xf )( − aa ],[ , 则 = 0)( ; ∫− a a dxxf 若 在 上是可积的偶函数 xf )( − aa ],[ , 则 = ∫∫ 。 − a a a dxxfdxxf 0 )(2)( （9）若 是可积的周期函数 xf )( , 切周期为T ，则对任意是实数 必有 a ∫∫ = +Ta T a dxxfdxxf 0 )()( （10）若连续函数 满足 xf )( ∫ = 0)( ，则存在 b a dxxf ),( 0 ∈ bax 使得 0)(xf 0 = 。 （11）若非负连续函数 满足 xf )( ∫ = 0)( ，则 b a dxxf ∀ ∈ xfbax ≡ 0)(],,[ 。 （12）分部积分法 设 与 在 连续， 为 在 上的一个原函数，则 xf )( ′ xg )( ba ],[ xF )( xf )( ba ],[ ∫ ∫ = − b a b a b a )(')()()()()( dxxgxFxgxFdxxgxf （13）区间变换 dttxtxfdxxf ：令 b a )('))(()( 1 ∫∫ 0 ⇒ ab ax t − − = ， dttxtxfdxxf d c b a )('))(()( ⇒ ∫∫ ：令 ccd ab ax t +− − − = )( ， （14）运用定积分求极限常用公式为 ∑ ∫ = − + − = ∞→ b a n k dxxfk n ab af n ab lim )()( 1 n ， 其中 ( )() k fk n ab af = ξ − + ， k x n ab Δ= − （15） ∫ 2 0 sin π xdx n ∫ = 2 0 cos π xdx n ，记 ∫ = 2 0 sin π I xdx n n ，则 2 1 − − n = n I n n I ，（ n = ,3,2 L），初值： 1, 2 0 II 1 == π 。 上述结果可归纳得到下述实用形式： 1 !)!12( !)!2( , 2!)!2( !)!12( 2 12 ⋅ + ⋅ = − = + n n I n n I n n π （ n = ,3,2,1 L）。 定积分的近似计算： 矩形法： ∫ +++ − − ≈ b a n yyy n ab xf ()( ) 10 L 1 梯形法： ∫ ++++ − − ≈ b a n n yyyy n ab dxxf )( ] 2 1 [)( 0 1 L 1 抛物线法： ∫ − +++++++++ − − ≈ b a n n n yyyyyyyy n ab dxxf (2)[( (4) )] 3 )( 0 42 L 2 31 L 1 定积分的几何应用 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 20
木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 平面区域D={xy)≤x≤b0≤y≤f(x)绕x轴旋转生成的旋转体的 V,=Tf2(x)dx 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法) 平面区域D=(xy)a≤x≤b0≤y≤f(x)绕y轴旋转生成的旋转体 V,=xrf()dx 光滑曲线的弧长 3.直角坐标系中的光滑曲线y=f(x)2a≤x≤b的弧长为 =[+[(x) 4.参数方程下x=x(1),y=y(1),a≤t≤B的弧长为 |=5VIoP++lorDe 5.极坐标系下光滑曲线p a≤q≤B的弧长为 旋转体的侧面积 6.直角坐标系中曲线y=f(x),a≤xsb绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2r(x)1+r()a 7.参数方程下曲线x=X1)y=y(,a≤≤B绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2[00+od 定积分的物理应用 水压力:F=p·A 引力:F=k=22,k为引力系数 函数的平均值 均方根:10 f(dr 质心与形心 平面光滑曲线的质心设平面光滑曲线的参数方程为 x=x(1),y=y(1),a≤t≤B 其质量线密度为/(),则其质量为M=oo+bot 曲线关于x轴与y轴的静力矩分别为 M, =5uoyVrof+boF dr, M, aO)(oF +VvO
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 平面区域 { } ≤≤≤≤= xfybxayxD )(0,),( 绕 x 轴旋转生成的旋转体的 ∫ = b a x )( dxxfV 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平 面 区 域 { } ≤≤≤≤= xfybxayxD )(0,),( 绕 y 轴旋转生成的旋转体 ∫ = b a y π )(2 dxxfxV 光滑曲线的弧长 3. 直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线 = ),( ≤ ≤ bxaxfy 的弧长为 [ ] ∫ += ′ b a dxxfl 2 )(1 。 4. 参 数 方 程 下 = = ),(),( α ≤ ttyytxx ≤ β 的 弧 长 为 [] [] ∫ = ′ ++ ′ β α dttytxl 2 2 )()( 。 5. 极 坐 标 系 下 光 滑 曲 线 ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β 的弧长为 ( ) [ ] ∫ = ++ ′ β α l dϕϕρϕρ2 2 )( 。 旋转体的侧面积 6. 直 角 坐 标 系 中 曲 线 ),( ≤≤= bxaxfy 绕 x 轴 旋 转 生 成 的 旋 转 体 的 侧 面 积 为 [ ] ∫ = + ′ b a dxxfxfA 2 π )(1)(2 。 7. 参数方程下曲线 = ),(),( α ≤= ttyytxx ≤ β 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 [] [] ∫ = ′ ++ ′ β α π tytxtyA dt 2 2 )()()(2 定积分的物理应用 ∫ ∫ − − = = ⋅= ⋅= b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功： 质心与形心 平面光滑曲线的质心 设平面光滑曲线的参数方程为 == ),(),( α ttyytxx ≤≤ β 其质量线密度为 μ t)( , 则其质量为 [ ][ ] ∫ = ′ + ′ β α μ dttytxtM 2 2 )()()( 。 曲线关于 x 轴与 y 轴的静力矩分别为 [ ][ ] ∫ = ′ + ′ β α x μ dttytxtytM 2 2 )()()()( ， [ ][ ] ∫ = ′ + ′ β α y μ dttytxtxtM 2 2 )()()()( 21
迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/8237805地址:清华同方科技广场B座609室 其质心坐标(x,y)为 LuoxV'oF +voF or于+vod NuOvI(F+W(oFdr 若平面光滑曲线的方程为y=(x,2 asso,则r=J4(0)xy1+[ro]am CuO 1+(edt TADf(n1+roF TAO1+r( dr 平面图形的形心(质心)设∫(x),g(x)在区间[a,b]上可积,则平面图形 D=(x≤x≤x)y≤g的形心为 (x)-f(x 空间解析几何和向量代数 空间两点的距离:d=|MM2l=V(x2-x)2+(y2-y)2+(=2-=1)2 向量在轴上的投影:P元4B=1Bc0s,9是AB与u轴的夹角,P(a+a)=P问+P问 b=a+a+a是二个数量 ab+ab + b 两向量之间的夹角:co= axb 例:卩=ⅳxF线速度 向量的混合积 为锐角时,代表平行六面体的体积 平面的方程 1.点法式A(x-x0)+B(y-y)+C(=-=0)=0,其中亓={A,B,C,M(x,y,=0) 2.一般方程:Ax+By+C+D=0 3.截距式方程:x+y+三=1
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 其质心坐标 ( , yx ) 为 [ ][ ] [ ][ ] ∫ ∫ ′ + ′ ′ + ′ = β α β α μ μ dttytxt dttytxtxt x 2 2 2 2 )()()( )()()()( ， [ ][ ] [ ][ ] ∫ ∫ ′ + ′ ′ + ′ = β α β α μ μ dttytxt dttytxtyt y 2 2 2 2 )()()( )()()()( 若平面光滑曲线的方程为 = ),( ≤ ≤bxaxfy , 则 [ ] [ ] ∫ ∫ + ′ + ′ = β α β α μ μ dttft dttfxt x 2 2 )(1)( )(1)( ， [ ] [ ] ∫ ∫ + ′ + ′ = β α β α μ μ dttft dttfxft y 2 2 )(1)( )(1)()( 平面图形的形心（质心） 设 xgxf )(),( 在区间 上可积, 则平面图形 ba ],[ { } ≤≤≤≤= xgyxfbxayxD )()(,),( 的形心为 [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a dxxfxg dxxfxgx x )()( )()( ， [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a dxxfxg dxxfxg y )()( )()( 2 1 2 2 。 空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离： 2 12 2 12 2 21 12 −+−+−== zzyyxxMMd )()()( 向量在轴上的投影：Pr u ABABj ⋅= ,cos ϕϕ 是 AB 与u 轴的夹角， u 21 1 PrPr)(Pr ajajaaj 2 v vv v + += θ ++=⋅=⋅ bababababa zzyyxx cos v v v v 是一个数量 两向量之间的夹角 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ++⋅++ ++ ： θ = , bac sinθ bbb aaa kji bac zyx zyx v vv v vv =×= ⋅= 例： wv r v v v ×= 线速度 向量的混合积： )(][ cba ,cos αα ccc bbb aaa cbacba zyx zyx zyx v v v v v vv v v =⋅×= ⋅×= 为锐角时，代表平行六面体的体积。 平面的方程： 1．点法式 0)()()( 0 0 −+−+− zzCyyBxxA 0 = ，其中 ),,(},,,{ 0000 = zyxMCBAnv 2．一般方程： + + DCzByAx =+ 0 3．截距式方程： =++ 1 c z b y a x 22
迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/8237805地址:清华同方科技广场B座609室 平面外任意一点到该平面的距离 Ax, +By+C-+D A2+B2+C2 空间直线的方程:x-xy-y02=50 其中={m,n,P其中参数方程{y=y+m 1.椭球面 2抛 (p,q同号) p 2q 3双曲面 单叶双曲面:x2 双叶双曲面 +=1(马鞍面) b 多元函数微分法及应用 全微分:d=dx+dy dx+一d+d 全微分的近似计算:△≈d=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay 多元复合函数的求导法 =)m在=9.如+. dt au at av ar :=flu(x, y), v(x, y) 当=l(x,y),v=v(x,y)时 au dx+dy 隐函数的求导公式 隐函数F(x,y)=0,(如=F d2v a F 隐函数F(xy2=0FcFn axF:’ayF 隐函数方程组 a(F, G) xyxy=0”J=9FO_a ∫F(xy4)=0 ax J a(x, v) ax J d(u, x) aa u aF,G av 1 a(F, G) a(, v) a(,y)
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 平面外任意一点到该平面的距离： 222 000 CBA DCzByAx d ++ +++ = 空间直线的方程： t p zz n yy m xx = − = − = − 0 0 0 ，其中 = pnms };,,{ v 其中参数方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += ptzz ntyy mtxx 0 0 0 二次曲面 1.椭球面： 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x 2.抛物线： （ qpz 同号） q y p x ,, 22 22 =+ 3.双曲面 单叶双曲面： 1 2 2 2 2 2 2 =−+ c z b y a x 双叶双曲面： 1 2 2 2 2 2 2 =+− c z b y a x （马鞍面） 多元函数微分法及应用： 全微分： dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 全微分的近似计算： yyxfxyxfdzz =≈Δ x Δ + y ),(),( Δ 多元复合函数的求导法： x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = = )],(),,([ )](),([ 当 = ， = yxvvyxuu ),(),( 时， dy y v dx x v dvdy y u dx x u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 隐函数的求导公式： 隐函数 dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF y x y x y x ⋅− ∂ ∂ − ∂ ∂ = 0),( −= = )()( 2 2 ， ， ＋ 隐函数 z y z x F F y z F F x z zyxF −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = 0),,( ， ， 隐函数方程组： vu vu GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎩ ⎨ ⎧ = = ),( ),( , 0),,,( 0),,,( ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ 23
