水木艾迪 ww.tsinghuatutor com电话:010-6270105363805地址:清华同方科技广场B座609室 微分法在几何上的应用 空间曲线{y=v(0在点M(x,y0,=0)处的切线方程 o)v()c(6) 在点M处的法平面方程:φ(o0)(x-x)+y(10)(y-y0)+o(10(=-20)=0 若空间曲线方程为 F(x,y,=)=0 F FE FILE FI IG(x,y, 2)=0 则切向量了=GGG 若空间曲线方程为:曲面F(x,y,)=0上一点,则M(x0,y,=0), 1过此点的法向量:n={Fx(x0,yo,=0),Fy(x0,y0,=0),F(x,y0,=0)} 2过此点的切平面方程:F(x2%-0x-x)+F(x2)0y-1)+F(x1-)-)=0 3过此点的切法线方程 F(x0,y,=0)F,"(x0,y0,0)F:'(x0,y,=0) 方向导数与梯度 函数:=(x,)在一点p(x,y)沿任一方向1的方向导数为:=yc030+smnp 其中q为为x轴到方向l的转角。 函数:=(xy)在一点pxy)的梯度:gad(xy)=27+7 它与方向导数的关系是:9=grad(xy)其中=cosg·+sing为l方向上的单位向量 是 gradf(x,y)在l上的投影 多元函数的局部极值及其求法 设∫(x0,y)=∫(x,y0)=0,令:fx(x,y)=A,∫(x,y0)=B,f(x,y0)=C AC-B2>0时,40,(x0,y)为极小值 AC-B-<OH 无极值 不确定 量积分及其应用: ∫J(x,y)dhy=』( rcos0, rsin O)rdrde
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 微分法在几何上的应用： 空间曲线 在点 处的切线方程： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = )( )( )( tz ty tx ω ψ ϕ ),,( 000 zyxM )()()( 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx ωψϕ ′ − = ′ − = ′ − 在点 M 处的法平面方程： 0))(())(())(( ϕ′ 0 − 0 +ψ′ 0 − 0 +ω′ 0 − zztyytxxt 0 = 若空间曲线方程为： 则切向量 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 0),,( 0),,( zyxG zyxF },,{ yx yx xz xz zy zy GG FF GG FF GG FF T = v 若空间曲线方程为：曲面 zyxF = 0),,( 上一点，则 zyxM 000 ),,( ， 1.过此点的法向量： )},,('),,,('),,,('{ 000 000 000 = x y z zyxFzyxFzyxFnv 2.过此点的切平面方程： 0))(,,('))(,,('))(,,(' x − 0000 + y − 0000 + z −zzzyxFyyzyxFxxzyxF 0000 = 3.过此点的切法线方程： ),,('),,('),,(' 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx x y z − = − = − 方向导数与梯度： 函数 = yxfz ),( 在一点 沿任一方向 的方向导数为： yxp ),( l cos sinϕϕ y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 其中ϕ 为为 x 轴到方向l 的转角。 函数 = yxfz ),( 在一点 的梯度： yxp ),( j y f i x f yxf vv ∂ ∂ + ∂ ∂ ),(grad = 它与方向导数的关系是： eyxf l f v ⋅= ∂ ∂ ),(grad 其中 jiev v v = cosϕ ⋅ + sinϕ ⋅ 为 方向上的单位向量。 l l f ∂ ∂ ∴ 是 yxf ),(grad 在l 上的投影。 多元函数的局部极值及其求法： 设 yxfyxf CyxfByxfAyxf x 00 = y 00 = ，令： xx 00 = xy 00 = yy 00 ),(,),(,),(0),(),( = 则： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− − 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 2 2 00 2 00 BAC BAC yxA yxA BAC 重积分及其应用： ∫∫ ∫∫ ′ = D D ),( )sin,cos( rdrdrrfdxdyyxf θθθ 24
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 曲面z=f(x,y)的面积A dxd y 平面薄片的重心 Fs4,列(x,y)d M JJp(,ldo o(r, y)do o(, y)do 平面薄片的转动惯量:对于x轴1=y(x,y),对于y轴,=jxp(x,ylo 平面薄片(位于xOy平面)对于z轴上质点M(00.a),(a>0)的引力,F={Fx,Fy,F},其中 ,=f p(x, y)xd Fr=fff-p(r,n)ydo p(x, y)xdo (x2+y2+a2)2 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标:{x=r60 历(xy,)=F(r,., )reread 其中:F(r,O,=)=f(rcos0,rsin,-) 球面坐标 y=rsinosin 8 dv=rdorsin..dr=r sin drdadB ∫1(gyx=F(, e)r sin g drdo=drdp"r(a. )r sin o dr重心 x 其中:M=x=h 转动惯量: 1=y2+2)m1,=jx+=)oh1=Jx2+y)h 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分) 设f(xy在L上连续 (a≤t≤B) ∫fxy)bs=jnwo(0)+voon(a<B, x=t 特殊情况: =0() 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 曲面 = yxfz ),( 的面积 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ += D dxdy y z x z A 2 2 1 平面薄片的重心： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ == == D y D D x dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x σρ σρ σρ σρ ),( ),( , ),( ),( D 平面薄片的转动惯量：对于 x 轴 ,),( 对于 2 ∫∫ = D x dyxyI σρ y 轴 ∫∫ = D y ),( dyxxI σρ2 平面薄片（位于 xoy 平面）对于 轴上质点 z aaM > )0(),,0,0( 的引力， },,{ = FFFF zyx ，其中： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ++ −= ++ = ++ = D z D y D x ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF 2 3 2 222 3 2 222 3 222 ( ) ),( ( ) ),( ( ) ρ ),( σ ρ σ ρ σ ， ， 柱面坐标和球面坐标： 柱面坐标： ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = dxdydzzyxf dzrdrdzrF zz ry rx θ θθ θ ),,(,sin ),,( cos 其中： θ = θ θ zrrfzrF ),sin,cos(),,( 球面坐标： θϕϕ θϕϕ ϕ θϕ θϕ ddrdrdrdrrddv rz ry rx sin sin cos sinsin cossin 2 =⋅⋅⋅= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ， ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ = = Ω Ω ππ θϕ ϕθθϕϕθϕ ϕθϕ ,( 0 2 0 2 0 2 ),,( sin),,( sin),,( r dxdydzzyxf drrrFdddddrrrF 重心： ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ， Ω Ω Ω = = = dvz M zdvy M ydvx M x ρ ρ ρ 1 , 1 , 1 其中： ∫∫∫ Ω == ρdvxM 转动惯量： ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω Ω += += += dvyxIdvzxIdvzyI x )( ρ y )( ρ z )( ρ 22 ， 22 ， 22 曲线积分： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 设 yxf ),( 在 L 上连续， L 的参数方程为： )(, 则 ： )( )( βα ψ ϕ ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = t ty tx )()()()](),([),( 2 2 βαψϕψϕ β α = ′ + ′ < ∫ ∫ L dtttttfdsyxf ， 特殊情况： ⎩ ⎨ ⎧ = = ty )( tx ϕ 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 25
木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 x=(1) L 的 方 为 y=v(1) P(x, y)dx+O(x, y)dy=(P[o(o),(ol(+O[o(o), (Oly(ojdt 两类曲线积分之间的关系:其中以和B分别为L上积分起止点处切向量的方向角 Pdx+@dy=(Pcosa+g cos B)ds 格林公式 dd=Pax+小y P=-y,Q 2时,得到D的面积:4=!d=元xd-yh ax ay 平面上曲线积分与路径无关的条件 1G是一个单连通区域: a0 aP 2.P(x,y),Qx,y)在G内具有一阶偏导数,且 注意奇点,如(0,0)应减去对此奇点的 积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积 aP 时,Px+Qd才是二元函数l(x,y)的全微分,其中: ay l(xy)=.、P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分 (xy,Ab=nxy,x(xy小+:(x,y)+3(xy 对坐标的曲面积分:P(x,y,2)d+Q(x,y,)ddx+R(x,y,-)d,其中 R(x,y,)dd=±fx,y,x(x,y),取曲面的上侧时取正号 ∫P(x,y)=px.y.1d,取曲面的前侧时取正号 (x,y.1dk=土x,y(x)1dk,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系: [ Pdyd=+@ddx+ Rdxdy=[(P cosa+@ cos B+Cosy)d 高斯公式
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 L 的参数方程为： , 则 )( )( ⎩ ⎨ ⎧ = = ty tx ψ ϕ ∫ ∫ + = ′ + ′ L dttttQtttPdyyxQdxyxP β α ψψϕϕψϕ )}()](),([)()](),([{),(),( 两类曲线积分之间的关系：其中α 和 β 分别为 L 上积分起止点处切向量的方向角。 ∫ ∫ =+ + L L cos( βα )cos dsQPQdyPdx 格林公式： ∫∫ ∫ += ∂ ∂ − ∂ ∂ D L dxdy QdyPdx y P x Q )( 当 , =−= xQyP ，即： = 2 ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x Q 时，得到 的面积： D ∫∫ ∫ −== D L dxdyA ydxxdy 2 1 平面上曲线积分与路径无关的条件： 1.G 是一个单连通区域； 2. ， yxQyxP ),(),( 在 G 内具有一阶偏导数，且 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ ＝ 。注意奇点，如 ( ，00 )应减去对此奇点的 积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积： 在 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ ＝ 时， + QdyPdx 才是二元函数 的全微分，其中： yxu ),( ∫ = + ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu ，通常设 = yx 00 = 0 。 曲面积分： 对面积的曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∑ = ++ Dxy x y ),(),(1)],(,,[),,( dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf 2 2 对坐标的曲面积分： ∫∫ ，其中 ∑ + + ),,(),,(),,( dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ∫∫ ∫∫ ， ∑ ±= Dxy ),,( dxdyzyxR )],(,,[ dxdyyxzyxR 取曲面的上侧时取正号； ∫∫ ∫∫ ∑ ±= Dyz ),,( dydzzyxP ],),,([ dydzzyzyxP ，取曲面的前侧时取正号； ∫∫ ∫∫ ∑ ±= Dzx ),,( dzdxzyxQ ]),,(,[ dzdxzxzyxQ ，取曲面的右侧时取正号； 两类曲面积分之间的关系： ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ Pdydz Qdzdx Rdxdy =++ cos( cos ++ γβα )cos dsRQP 高斯公式： 26
水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 ++Mh=2b+Q在+=手Pa+wB+Ry 高斯公式的物理意义——通量与散度 散度:divp=mP+QBR 即:单位体积内所产生的流体质量,若divvl时,级数发散 设:P=lim 则/时,级数收敛 「p=时,不确定 p=时,不确定 3.定义法 Sn=l1+2+…+ln; lim s存在,则收敛,否则发散。 交错级数1-l2+a3-l4+…(或-1+2-l2+…n>0)的审敛法—莱布尼兹定理 ln≥ln+1 如果交错级数满足 lim u.=0·那么级数收敛且其和s≤a1,其余项n的绝对 值 绝对收敛与条件收做
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω ∑ ∑ =++= ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy dsRQP z R y Q x P ( ) cos( cos γβα )cos 高斯公式的物理意义——通量与散度： 散度： z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ν =v div 即：单位体积内所产生的流体质量，若 ν 的审敛法——莱布尼兹定理； 如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ ∞→ + 0lim 1 n n nn u uu 1 ≤ us ，其余项 的绝对值 nr ≤ ur nn +1。 绝对收敛与条件收敛： 27
木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (1)l1+l2+…+ln+…,其中ln为任意实数 (2)4|+al+1+…+nl+… 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数: 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 调和级数∑上发散,而∑收级数∑收敛P级数∑1/51时发散 P>1时收敛 幂级数: R时发散,其中尺称为收效半径 =R时不定 求收敛半径的方法:1imam出=p,其中an,an+1是(3)的系数,则 ≠0时,R=1 p=0时,R=+∞ 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数 (x)=(xx-x)+(xx-x)2++((x-x)y+ 余项:R= ∫m"(5), (n+1)! (x-x0)”,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: lim r x=0时,即为麦克劳林公式:f(x)=f(0)+r(o)x+(0)x2+…+(x+ 一些函数展开成幂级数: ∈(- (-1) x∈(-∞+∞), h+x)=(-) x∈(-1, +xy=∑a(a-p)(a-n+x 其中,当a≤-1时,x∈(-1,1):当-10时,x∈[-1, 特别,当=-1时,有1--x,x∈(CD, 欧拉公式 28
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （1） 21 uuu n ++++ LL ，其中un 为任意实数； （2） 321 uuuu n +++++ LL 如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数； 如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。 调和级数 ∑ n 1 发散，而 ∑ − n n )1( 收敛，级数： ∑ 2 1 n 收敛； p 级数：∑ > ≤ 时收敛 ｐ １时发散 1 1 n p p 幂级数： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − 0 时， x −∈ ]1,1[ 。 特别，当α −= 1时，有 ∑ ∞ = −= + 0 )1( 1 1 n nn x x ， x ∈ − )1,1( 。 欧拉公式： 28
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 e= cosx+Sinx / sinr=e-e 三角级数 f()=4+∑Asin(no+o)=2+∑( an cos nx+ bn, sin nx) 其中,a=2A0,an= A, sin o,bn= An cos o,ot=x 正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x… sin nx, coS nx…任意两个不同项的乘积在[-,x]上的积 傅立叶级数: f(x)= ( a. cos nx+ b. sin nx),周期=2n 其中{a=jf( r)cosrxdx(m=02…) ==J//(rksinxr (n=1, 2, 3-.) 正弦级数:a-=0.b=2) sin ndx n=123-f(x)=∑smnm是奇函数 余弦级数: f(x)cos ndx n=0, 1, 2... f(x) 3+∑acom是偶函数。 周期为2/的周期函数的傅立叶级数 f(x)=a+∑(a1cos"n+bsin"n周期=2 其中,./3-(-02 .=打(x)sn"a(=123) 可引用的结果有: +…=-(相加) 2+4+g242324*、(相减) 微分方程的相关概念 阶微分方程:y'=f(x,y)或P(x,y)dx+(x,y)hy=0 可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dhy=f(x)dax的形式,解法 「s()d丁(x)d得:G(y)=F(x)+C称为隐式通解 齐次方程:一阶微分方程可以写成 dy f(x,y)=0(x,y),即写成的函数,解法: y d r-p(u), 分离变量,积分后将二代替l,即得
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = += − − 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数： ∑ ∑ ∞ = ∞ = += +=+ + 1 0 1 0 cos( )sin 2 )( sin( ) n n n n n n nxbnxa a tnAAtf ϕω 其中， AbAaAa xt 0 = 2 0， = sinϕ ， = nnnnn cosϕ n，ω = 正交性： L cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 nxnxxxxx L任意两个不同项的乘积在 −π π ],[ 上的积 分=0。 傅立叶级数： ∑ ∞ = += + 1 0 cos( )sin 2 )( n n n nxbnxa a xf ，周期 = 2π 其中 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ∫ ∫ − − π π π π π π sin)( )3,2,1( 1 cos)( )2,1,0( 1 L L nnxdxxfb nnxdxxfa n n 正弦级数： == ∫ nxdxxfba = = ∑ nxbxf n n n sin)(3,2,1nsin)( 2 0 0 ， L π π 是奇函数。 余弦级数： == ∫ = += ∑ nxa a nnxdxxfab xf n n n cos 2 cos)( )(2,1,0 2 0 0 0 ， L π π 是偶函数。 周期为 的周期函数的傅立叶级数： 2l l l xn b l xn a a xf n n cos( n 2)sin 2 )( 1 0 += ∑ + = ∞ = ，周期 π π ， 其中， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ∫ ∫ − − l l n l l n ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a sin)( )3,2,1( 1 cos)( )2,1,0( 1 L L π π 可引用的结果有： 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 2 222 2 22 π π =+++ =+++ L L ， （相减） （相加） 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 2 222 2 222 π π =+−+− =++++ L L 微分方程的相关概念： 一阶微分方程： ′ = yxfy ),( 或 + dyyxQdxyxP = 0),(),( 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 = )()( dxxfdyyg 的形式，解法： ∫∫ = )()( dxxfdyyg 得： = )()( + CxFyG 称为隐式通解。 齐次方程：一阶微分方程可以写成 yxyxf ),(),( dx dy == ϕ ，即写成 x y 的函数，解法： 设 uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u − = =∴=++= )( )( ϕ ，则 ， ϕ ， 分离变量，积分后将 x y 代替u ，即得 29
水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:0106270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 齐次方程的通解。 阶线性微分方程 一阶线性微分方程:+P(x)y=Qx) 当Qx)=0时,为齐次方程,y=CePM 当0x)≠0时,为非齐次方程y=( are muamar+kJ 2贝努里方程: +P(x)y=Q(x)y",n≠0,1) 全微分方程: 如果P(x,y)dx+Q(x,y)d=0中左端式某函数的全微分方程,即 dn(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)l=0,其中c P(xy1xy),∴(x,y)=C应该式该 全微分方程的通解 阶微分方程 f(x)=0时为齐次 +P(x)+O(x)y=f(x) (x)≠0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 (*)y”+py+qy=0,其中p,q为常数 求解步 写出特征方程:(△y2+p+q=0,其中r2,r的系数及常数项恰好式()中y",y,y系数 2求出(△)式的两个根F1,F2 3根据F,F2的不同情况,按下表写出(*)式的通解 n,2的形式 (*)式的通解 两个不相等实根(p2-4q>0) y=ce+ce2r 两个相等实根(p2-4q=0) y=(C+c,r)e 对共轭复根(p2-4q<0) y=e(c, cos Bx+C2 sin Ar) ,=a+iB,r,=a-iB B 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x),p,q为常数 f(x)=eP(x)型, f(x)=e[P(x)cosIx+P(xr)sinex]y
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 齐次方程的通解。 一阶线性微分方程： 1。.一阶线性微分方程： xQyxP )()( dx dy =+ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∫ + ∫ ≠ = ∫ = = ∫ − − dxxP dxxP dxxP xQ eCdxexQy xQ Cey )( )( )( 0)( )(( ) ,0)( 当 时，为非齐次方程， 当 时 为齐次方程， 2.贝努里方程： =+ nyxQyxP ≠ )1,0()()( dx dy n ， 全微分方程： 如 果 + dyyxQdxyxP = 0),(),( 中左端式某函数的全微分方程，即 = + dyyxQdxyxPyxdu = 0),(),(),( ，其中 yxQ ),(),( y u yxP x u = ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ，∴ ),( = Cyxu 应该式该 全微分方程的通解。 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 ≠ = =++ xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*) ′′ + ′ qyypy =+ 0 ，其中 p, q 为常数； 求解步骤： 1.写出特征方程： )( 0 ，其中 的系数及常数项恰好式 (*) 中 系数。 2 qprr =++Δ ，rr 2 ′′′ ,, yyy 2.求出 式的两个根 Δ)( 21,rr 3.根据 的不同情况，按下表写出 ,rr 21 (*) 式的通解： ，rr 21 的形式 (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2 qp >− xrxr ececy 1 2 1 += 2 两个相等实根 )04( 2 qp =− xr exccy 1 += )( 21 一对共轭复根 )04( 2 qp <− 2 4 2 2 1 2 p pq irir − =−= += −= α β α β α β ， ， 1 cos( 2 xcxcey )sin x ββ α = + 二阶常系数非齐次线性微分方程 ′′ + ′ =+ ， ,)( qpxfqyypy 为常数 m xPexf )()( 型 ， λx = λ 为常数， = λx l ω + n ωxxPxxPexf ]sin)(cos)([)( 型 30
