第八章λ-矩阵 §1-矩阵 设P是数域,λ是一个文字,作多项式环P],一个矩阵如果它的元素是A 的多项式,即P[]的元素,就称为λ-矩阵.在这一章讨论λ-矩阵的一些性质, 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域P中的数也是P]的元素,所以在A-矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与2-矩阵相区别,把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用A(A),B(4)…等表示λ-矩阵 我们知道,P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法,因此可以同样定义λ-矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个 n×n的一矩阵的行列式.一般地,λ一矩阵的行列式是A的一个多项式,它与数 字矩阵的行列式有相同的性质 定义1如果λ-矩阵A(4)中有一个r(r≥1)级子式不为零,而所有r+1级子 式(如果有的话)全为零,则称A(λ)的秩为r.零矩阵的秩规定为零 定义2一个n×n的A-矩阵A(4)称为可逆的,如果有一个n×n的A-矩阵 B(4)使 A()B(A)=B(A)A(4)=E (1) 这里E是n级单位矩阵适合(1)的矩阵B(A)(它是唯一的)称为A(4)的逆矩阵 记为A-(4) 定理1一个nxn的λ-矩阵A(4)是可逆的充要条件为行列式|A()是一个 非零的数
第八章 −矩阵 §1 −矩阵 设 P 是数域， 是一个文字，作多项式环 P[] ，一个矩阵如果它的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，就称为 −矩阵.在这一章讨论 −矩阵的一些性质， 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在 −矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与 −矩阵相区别，把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用 A(), B(), 等表示 −矩阵. 我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法，因此可以同样定义 −矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个 nn 的 −矩阵的行列式.一般地， −矩阵的行列式是 的一个多项式，它与数 字矩阵的行列式有相同的性质. 定义 1 如果 −矩阵 A() 中有一个 r(r 1) 级子式不为零，而所有 r +1 级子 式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r .零矩阵的秩规定为零. 定义 2 一个 nn 的 −矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的 −矩阵 B() 使 A()B() = B()A() = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆矩阵， 记为 ( ) 1 − A .. 定理 1 一个 nn 的 −矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是一个 非零的数
§24-矩阵在初等变换下的标准形 λ-矩阵也可以有初等变换 定义3下面的三种变换叫做λ一矩阵的初等变换: (1)矩阵的两行(列)互换位置 (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c (3)矩阵有某一行(列)加另一行(列)的q()倍,q()是一个多项式 和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵例如,将单位矩阵的第j行 的a(4)倍加到第i行上得 列 P(ii()) 仍用P(,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵,用 P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵同样地,对一个sxn 的λ-矩阵A()作一次初等变换就相当于在A(4)的左边乘上相应sxs的初等矩 阵;对A(4)作一次初等列变换就相当于A(4)在的右边乘上相应的n×n的初等矩 阵 初等矩阵都是可逆的,并且有 PG,j)-=P(i,j),P(i(c)-=Pi(c-),P(G,j()1=P(,j(-) 由此得出初等变换具有可逆性:设λ-矩阵A(4)用初等变换变成B(A),这 相当于对A(λ)左乘或右乘一个初等矩阵再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(4)就 变回A(λ),而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由B(4)可用初等变换变回A(λ) 定义4元-矩阵A(A)称为与B()等价,如果可以经过一系列初等变换将
§2 −矩阵在初等变换下的标准形 −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做 −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第 j 行 的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( )) 仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的 −矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘上相应 ss 的初等矩 阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相应的 nn 的初等矩 阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有 ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = = = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设 −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ，这 相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就 变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变回 A() . 定义 4 −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换将
A(4)化为B(A) 等价是λ-矩阵之间的一种关系,这个关系显然具有下列三个性质 ()反身性:每一个-矩阵与它自身等价 (2)对称性:若A(4)与B(4)等价,则B(A)与A(4)等价 (3)传递性:若A(A)与B(4)等价,B(4)与C()等价,则A(4)与C(4)等价 应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件为有 系列初等矩阵B,P,…,P,Q1,Q2…Q,使 A()=P…BB()gg2…Q 这一节主要是证明任意一个4-矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵 引理设λ-矩阵A(4)的左上角元素a1(4)≠0,并且A(4)中至少有一个元 素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与A(4)等价的矩阵B(4),它的左上角 元素也不为零,但是次数比a1(4)的次数低 定理2任意一个非零的sxn的λ-矩阵A(4)都等价于下列形式的矩阵 d1() d1(2) 0 其中r≥1,d(4)i=1,2,…,p)是首项系数为1的多项式,且 d()|dl()(i=1,2 这个矩阵称为A(4)的标准形 例用初等变换化A-矩阵
A() 化为 B() . 等价是 −矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个 −矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为有一 系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () . (2) 这一节主要是证明任意一个 −矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设 −矩阵 A() 的左上角元素 a11() 0 ，并且 A() 中至少有一个元 素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的左上角 元素也不为零，但是次数比 ( ) a11 的次数低. 定理 2 任意一个非零的 sn 的 −矩阵 A() 都等价于下列形式的矩阵 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d , 其中 r 1,d ( )(i 1, 2, ,r) i = 是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化 −矩阵
1-22-1 A()=元 1+223+A-1-2 为标准形
+ + − − − − − = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( ) A 为标准形
§3不变因子 现在来证明,-矩阵的标准形是唯一的 定义5设λ-矩阵A(A)的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r,A(4)中必有非 零的k级子式.A(4)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D(4)称为 A(A)的k级行列式因子 由定义可知,对于秩为r的λ-矩阵,行列式因子一共有r个行列式因子的 意义就在于,它在初等变换下是不变的 定理3等价的λ-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 现在来计算标准形矩阵的行列式因子设标准形为 d,() d2() (1 0 其中d(),d2(4)…,d()是首项系数为1的多项式,且 d(4)ldl-(λ)(=1,2,…,r-1)不难证明,在这种形式的矩阵中,如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k级子式一定为零因此,为了 计算k级行列式因子,只要看由i,2…行与l,2…列组成的k级子式就行 了,而这个k级子式等于 d2(4),d,(),…,d() 显然,这种k级子式的最大公因式就是 (4)d2(4)…d4() 定理44-矩阵的标准形是唯一的 证明设(1)是A(4)的标准形由于A(4)与(1)等价,它们有相同的秩与相同的 行列式因子,因此,A(4)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A(4)
§3 不 变 因 子 现在来证明， −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设 −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k r, ， A() 中必有非 零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因子的 意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的 −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 是 首 项 系 数 为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零.因此，为了 计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2 行与 k i ,i , ,i 1 2 列组成的 k 级子式就行 了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 k di di di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1 d2 dk 定理 4 −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的 行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ; A()
的k级行列式因子就是 D4(4)=d1()d2(1)…d4()(k=1,2,…,r) 于是 d1(A)=D1(4),d2(4) D2() d (a) D(4) (3) D1() () 这就是A(A)的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A(A)的行列式因子所唯 一决定的,所以A(4)的标准形是唯一的 定义6标准形的主对角线上非零元素d1(4),d2(4)…,d(4)称为λ-矩阵 A(4)的不变因子 定理5两个A-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子,或者,它 们有相同的不变因子 由(3)可以看出,在λ-矩阵的行列式因子之间,有关系式 D(4)Dk+1(4)(k=1,2 在计算λ-矩阵的行列式因子时,常常是先计算最高级的行列式因子这样,由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了 例如,可逆矩阵的标准形设A(4)为一个n×n可逆矩阵,由定理1知 4(4)Fd, 其中d是一非零常数,这就是说 Dn()=1 于是由(4)可知,DA(4)=1(k=1,2,…,m)从而 d4(4) (k=1,2,…,n) 因此,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来,与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵,因为它的行列式是一个非零的数这就是说,矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价又矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P,P2…,P,Q1Q2…,Q,使
的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k = k = . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2 − = = = r r r D D d D D d D d . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式因子所唯 一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 称为 − 矩阵 A() 的不变因子. 定理 5 两个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它 们有相同的不变因子. 由(3)可以看出，在 −矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk Dk+1 k = r − . (4) 在计算 −矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了. 例如，可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() |= d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () =1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 从而 d ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价.又矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使
A()=PP2…PB(1)QQ2…Q 特别是,当时B(4)=E,就得到 定理6矩阵A(λ)是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积 推论两个sxn的-矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件为,有一个sxs可逆 矩阵与一个n×n可逆矩阵Q(4),使 B(4)=P(4)A()Q()
A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () 特别是，当时 B() = E ，就得到 定理 6 矩阵 A() 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个 sn 的 −矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为，有一个 ss 可逆 矩阵与一个 nn 可逆矩阵 Q() ，使 B() = P()A()Q()
§4矩阵相似的条件 在求一个数字矩阵A的特征值和特征向量时曾出现过λ-矩阵AE-A,我们 称它A为的特征矩阵这一节的主要结论是证明两个n×n数字矩阵A和B相似的 充要条件是它们的特征矩阵E-A和E一B等价 引理1如果有nxn数字矩阵P,Q使 ME-A= PO(E- B)Q 则A和B相似 引理2对于任何不为零的n×n数字矩阵A和A-矩阵U(4)与V(4),一定存 在A-矩阵Q(4)与R(4)以及数字矩阵U和V使 U(4)=(E-A)Q4)+U (A)=R()E-A)+V 定理7设A,B是数域P上两个n×n矩阵.A与B相似的充要条件是它们 的特征矩阵A-A和E-B等价 矩阵A的特征矩阵AE-A的不变因子以后简称为A的不变因子因为两个 λ-矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子,所以由定理7即得 推论矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子 应该指出,n×n矩阵的特征矩阵的秩一定是n因此,n×n矩阵的不变因子 总是有n个,并且,它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式 以上结果说明,不变因子是矩阵的相似不变量,因此我们可以把一个线性变 换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变 因子
§4 矩阵相似的条件 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾出现过 −矩阵 E − A,我们 称它 A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个 nn 数字矩阵 A 和 B 相似的 充要条件是它们的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 引理 1 如果有 nn 数字矩阵 0 0 P ,Q 使 0 0 E − A = P (E − B)Q , (1) 则 A 和 B 相似. 引理 2 对于任何不为零的 nn 数字矩阵 A 和 −矩阵 U () 与 V() ，一定存 在 −矩阵 Q() 与 R() 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 0 U() = (E − A)Q() +U , (2) 0 V() = R()(E − A) +V . (3) 定理 7 设 A ， B 是数域 P 上两个 nn 矩阵. A 与 B 相似的充要条件是它们 的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 矩阵 A 的特征矩阵 E − A 的不变因子以后简称为 A 的不变因子.因为两个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得 推论 矩阵 A 与 B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子. 应该指出， nn 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n .因此， nn 矩阵的不变因子 总是有 n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式. 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变 换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变 因子
§5初等因子 初等因子的概念 定义7把矩阵A(或线性变换A)的每个次数大于零的不变因子分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次 数计算)称为矩阵A(或线性变换A)的初等因子 例设12级矩阵的不变因子是 1…,1,(4-1)2,(-1)2(2+1),(4-1)2(+1)x2+1) 按定义,它的初等因子有7个,即 (λ-1)2(2-1)2,(A-1)2,(4+1),(2+1),(λ-)2,(2+1) 其中(λ-1)2出现三次,4+1出现二次 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系首先,假设n级矩阵A的不变 因子d1(4),d2(4),…,dn(4)为已知将d1(A)i=1,2,…,n)分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积: d1(4)=(2-4)(A-2)2…(-), d2()=(2-4)(2-2)2…(-), d(4)=(2-1)(A-12)2…(-4) 则其中对应于k,≥1的那些方幂 (2-)(k21 就是A的全部初等因子注意不变因子有一个除尽一个的性质,即 d(4)ldl(A)(=1,2,…,n-1), 从而 (-λ,)1(2-,)(=1,2,…,n-1;j=1,2,…,r) 因此在d1(),d2()…,dn()的分解式中,属于同一个一次因式的方幂的指数有
§5 初等因子 一、初等因子的概念 定义 7 把矩阵 A （或线性变换 A）的每个次数大于零的不变因子分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次 数计算)称为矩阵 A (或线性变换 A)的初等因子. 例 设 12 级矩阵的不变因子是 2 2 2 2 2 9 1,1, ,1,( −1) ,( −1) ( +1),( −1) ( +1)( +1) 个 . 按定义，它的初等因子有 7 个，即 2 2 2 2 2 ( −1) ,( −1) ,( −1) ,( +1) ,( +1) ,( − i) ,( + i) . 其中 2 ( −1) 出现三次， +1 出现二次. 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设 n 级矩阵 A 的不变 因子 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dn 为已知.将 d ( )(i 1,2, ,n) i = 分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积： r k r k k d 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = − 1 − 2 − , r k r k k d 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = − 1 − 2 − , n n n r k r k k dn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 = − 1 − 2 − , 则其中对应于 kij 1 的那些方幂 ( − ) ( 1) ij k j k ij 就是 A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) di di+1 i = n − , 从而 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1; 1,2, , ) 1, i n j r ij i j k j k − j − + = − = . 因此在 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dn 的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有
递升的性质,即 这说明,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在 d(4)的分解中,方次次高的必定出现在dn1(4)的分解中如此顺推下去,可知 属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯 一确定的 二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因 子的方法设一个n级矩阵的全部初等因子为已知,在全部初等因子中将同一个 次因式(2-X(j=12,…,r)的方幂的那些初等因子按降幂排列,而且当这些初 等因子的个数不足n时,就在后面补上适当个数的1,使得凑成n个设所得排列 为 (2-),(2-1,)…(1-,),(=1,2,…,r) 于是令 d(A)=(2-1)(2-l2)2…(1-,)(=1,2,…n), 则d1(A),d2()…,dn(4)就是A的不变因子 这也说明了这样一个事实:如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子,则 它们就有相同的不变因子,因而它们相似反之,如果两个矩阵相似,则它们有 相同的不变因子,因而它们有相同的初等因子 综上所述,即得 定理8两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量但是初等因子的求法与不变因 子的求法比较,反而方便一些 如果多项式f(A),f2(4)都与g1(4),82(4)互素,则 (f(4)g1(A)2(4)g2(4))=(f(),2()(g1(4),g2() 引理设
递升的性质，即 ( 1,2, , ) 1 2 k k k j r j j nj = . 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在 () dn 的分解中，方次次高的必定出现在 ( ) dn−1 的分解中.如此顺推下去，可知 属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯 一确定的. 二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因 子的方法.设一个 n 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一 次因式 ( )( j 1,2, ,r) − j = 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初 等因子的个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的 1，使得凑成 n 个.设所得排列 为 ( ) ,( ) , ,( ) , ( 1,2, , ) 1, 1 j r n j n j j k j k j k − j − − − = . 于是令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 d 1 2 i n i i ir k r k k i = − − − = , 则 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dn 就是 A 的不变因子. 这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则 它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有 相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子. 综上所述，即得 定理 8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子. 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因 子的求法比较，反而方便一些. 如果多项式 ( ), ( ) f 1 f 2 都与 ( ), ( ) g1 g2 互素，则. ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) f 1 g1 f 2 g2 = f 1 f 2 g1 g2 . 引理 设