电子教案 目录 特征值 基本要求 内容提要 1.特征值与特征向量 2.特征向量的性质 3.特征多项式 4.特征值与特征向量的求法 5.相似矩阵 6.矩阵A与对角形矩阵相似(称为A可对角化)的条件 7.若n阶矩阵A的特征值全是f(4)=E-A=0的单根,则A可对角化…3 8.矩阵对角化的步骤 典型例题 (一)特征值与特征向量 (二)矩阵的相似
电子教案 目 录 特征值........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 特征值与特征向量 ........................................................................................ 2 2. 特征向量的性质............................................................................................ 2 3. 特征多项式................................................................................................... 2 4. 特征值与特征向量的求法.............................................................................. 3 5. 相似矩阵 ...................................................................................................... 3 6. 矩阵 A 与对角形矩阵相似（称为 A 可对角化）的条件.................................... 3 7. 若 n 阶矩阵 A 的特征值全是 f ( ) =| E − A |= 0 的单根, 则 A 可对角化..... 3 8. 矩阵对角化的步骤 ........................................................................................ 3 三、典型例题..................................................................................................... 4 （一）特征值与特征向量................................................................................... 4 （二）矩阵的相似............................................................................................ 13
特征值 基本要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法; 2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件,会化矩阵为相似对角形 、内容提要 1.特征值与特征向量 设A为n阶方阵,a为n维非零列向量,λ为一个数,使得 则称λ为A的一个特征值,a为A对应于λ的一个特征向量 2.特征向量的性质 (1)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 (2)同一特征值0的特征向量1,a2,am的任意非零线性组合 ka1+k2a2+…+kna 仍然是对应于0的特征向量 特征多项式 f(4)=AE-A|=λn+a1Am+…+an1A+an 其中, a1=-(41+A2+…+An) (-1)"|A=(-1)”元122… 112…2n是A的全部特征值
特征值 一、基本要求 1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法； 2. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件 , 会化矩阵为相似对角形 . 二、内容提要 1. 特征值与特征向量 设 A 为 n 阶方阵, 为 n 维非零列向量, 为一个数, 使得 A = 则称 为 A 的一个特征值, 为 A 对应于 的一个特征向量. 2. 特征向量的性质 （1）对应于不同特征值的特征向量是线性无关的； （2）同一特征值 0 的特征向量 m , , , 1 2 的任意非零线性组合 m m k11 + k2 2 ++ k 仍然是对应于 0 的特征向量. 3. 特征多项式 n n n n f = E − A = + a + + a + a − − ( ) | | 1 1 1 其中, ( ) a1 = − 1 + 2 ++ n n n n an ( 1) | A | ( 1) = − = − 1 2 n , , , 1 2 是 A 的全部特征值
4.特征值与特征向量的求法 (1)求f(4)=E-A上=0的相异根112…λm (2)分别求[A,E-4X=0的基础解系an,aL2,…an,则非零线性组合 k k, a k a 是A对应于的全部特征向量 5.相似矩阵 对于n阶矩阵A、B如果存在可逆矩阵P,使得 B= P-AP 则称A与B相似,记为A~B 矩阵A与对角形矩阵相似(称为A可对角化)的条件 n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量, e对于A的每一个k重特征值,R(A,E-1)=n-k e对于A的每一个k重特征值,[A,E-X=0的基础解系 由k个解向量组成 7.若n阶矩阵A的特征值全是f()=E-4上的单根,则A可对角化 8.矩阵对角化的步骤 (1)求A的全部特征值11,12,…1n (2)对每个不同的求 [λ,E-A]X=0 的基础解系 (3)以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵 P=la
4. 特征值与特征向量的求法 （1）求 f ( ) =| E − A |= 0 的相异根 m , , , 1 2 ； （2）分别求 [ iE − A]X = 0 的基础解系 i i ir , , , 1 2 , 则非零线性组合 i i r ir k1 1 + k2 2 ++ k 是 A 对应于 i 的全部特征向量. 5. 相似矩阵 对于 n 阶矩阵 A、B, 如果存在可逆矩阵 P, 使得 B P AP −1 = 则称 A 与 B 相似, 记为 A～B. 6. 矩阵 A 与对角形矩阵相似（称为 A 可对角化）的条件 n 阶矩阵 A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量, 对于 A 的每一个 ki重特征值 i i i ,R( E − A) = n − k , 对于 A 的每一个 ki重特征值 i ,[ iE − A]X = 0 的基础解系 由 i k 个解向量组成. 7. 若 n 阶矩阵 A 的特征值全是 f ( ) =| E − A |= 0 的单根, 则 A 可对角化. 8. 矩阵对角化的步骤 （1）求 A 的全部特征值 n , , , 1 2 ； （2）对每个不同的 i 求 [ iE − A]X = 0 的基础解系； （3）以 A 的 n 个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵 [ ] P = 1 2 n 则
P-lAP 其中,a1a2…n的排列顺序与λ112…n一致 三、典型例题 (一)特征值与特征向量 例1如果任意非零n维列向量都是n阶矩阵A的特征向量,试证A是数量矩阵(即主对角 线元素相同的对角形矩阵) A= 又设 0是A对应于特征值1的特征向量,则由4a1=1a可得: 1,an=0,(i=2,…,m) 同理可证:an=,an=0,(≠ 再设 是A对应于特征值λ的特征向量,则由Aa=La可得: 11=a22=…=am 故A为数量矩阵
= − n P AP 2 1 1 其中, n , , , 1 2 的排列顺序与 n , , , 1 2 一致. 三、典型例题 （一）特征值与特征向量 例 1 如果任意非零 n 维列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量, 试证 A 是数量矩阵（即主对角 线元素相同的对角形矩阵）. 证 设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 又设 = 0 0 1 1 是 A 对应于特征值 1 的特征向量, 则由 A1 = 1 1 可得： , 0, ( 2, , ) a11 = 1 ai1 = i = n 同理可证： , 0, ( ) a a i j ii = i ij = 再设 = 1 1 1 是 A 对应于特征值 的特征向量, 则由 A = 可得： a11 = a22 == ann 故 A 为数量矩阵
例2已知可逆矩阵A的特征值与特征向量,求A-与A的特征值与特征向量 解设λ是A的特征值,a是A对应于λ的特征向量,则由A可逆且a≠0可知 Aa=Ag≠0 于是A≠0 且 I(Aa)=a a=1 故λ是A-的特征值,a是A-的特征向量 14,A=14 所以,Aa=4|AaAa 即,元是A的特征值,a是A的特征向量 例3设A是正交矩阵且4-1,证明:-1是A的一个特征值 证 (-1)E-A|=|-AA-A|=|4||-47-E =|A||(E-A)|=-|(-1)E-A 所以,1(-1)E-A=0,即,-1是A的一个特征值 要证明是矩阵A的特征值,可以设法证明存在列向量a,使x=0a,也可以设法 证明是A的特征多项式f()=AE-4的根.同样,要证明a是A对应于特征值的 特征向量,也可以设法证明d=40a或a是齐次线性方程组[E-1X=0的解向量 例4设元是矩阵A的特征值,f(x)是x的多项式,试证:f()是f(A)的特征值 证首先证明若λ是A的特征值,则是Am的特征值 由A=a可得fa=4(4a)=4(a)=(la)=2a 设ma=1m-a,则
例 2 已知可逆矩阵 A 的特征值与特征向量, 求 −1 A 与 * A 的特征值与特征向量. 解 设 是 A 的特征值, 是 A 对应于 的特征向量, 则由 A 可逆且 0 可知 A = 0 于是 0. 且 1 1 ( ) − − A A = A () 即 = − ( ) 1 A , = − 1 A 1 故 1 是 −1 A 的特征值, 是 −1 A 的特征向量. 又, 1 * * 1 , | | | | − 1 − = A A = A A A A , 所以, * 1 | | − A = A A | | 1 A 即, | | 1 A 是 * A 的特征值, 是 * A 的特征向量. 例 3 设 A 是正交矩阵且 | A|= −1 , 证明： −1 是 A 的一个特征值. 证 | ( 1)E A| | AA A| | A| | A E | T T − − = − − = − − | A| | ( E A) | | ( 1)E A| T = − − = − − − 所以, | (−1)E − A |= 0 , 即, −1 是 A 的一个特征值. 要证明 0 是矩阵 A 的特征值, 可以设法证明存在列向量 , 使 A = 0 , 也可以设法 证明 0 是 A 的特征多项式 f () =| E − A | 的根. 同样, 要证明 是 A 对应于特征值 0 的 特征向量, 也可以设法证明 A = 0 或 是齐次线性方程组 [0E − A]X = 0 的解向量. 例 4 设 是矩阵 A 的特征值, f (x)是 x 的多项式, 试证：f ()是 f (A)的特征值. 证 首先证明若 是 A 的特征值, 则 m 是 m A 的特征值. 由 A = 可得 A = A(A ) = A 2 ( )= (A)= 2 设 m−1 A = m−1 , 则
A"a=A(A A( (Aa) (a) 其次,设 f(x)=a axt a LA+aE f(a)=and f(A)·a=anA"a+…+a1Aa+a0Ea a12+a0) 所以,f(4)是f(4的特征值. 例5设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;A对应于特征值1、2的特征向量分别是 a1=(-1,-1,1 (1,-2,-1) (1)求A对应于特征值3的特征向量 (2)求矩阵A 解(1)设A对应于3的特征向量为 因为A是实对称矩阵,故不同特征值的特征向量a1,22,3相互正交,即有 a 0 X1 0 其基础解系为a=(L0,1),故A对应于特征值3的特征向量为a1=k(1,0.1),(k≠0) P-AP=0 2 0 (2)记 111,则应有 003 6 于是 求得
m A = A( m−1 A ) = A( m−1 ) = m−1 (A) = m−1 () = m 其次, 设 1 0 f (x) a x a x a n = n ++ + f A a A a A a E n n 1 0 ( ) = ++ + 1 0 f ( ) a a a n = n ++ + f A a A a A a Ea n n 1 0 ( ) = ++ + = n an ++ a1 ＋ 0 a ( ) a a1 a0 n = n ++ + = f () 所以, f () 是 f (A) 的特征值. 例 5 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3；A 对应于特征值 1、2 的特征向量分别是 T ( 1, 1, 1) 1 = − − , T (1, 2, 1) 2 = − − （1）求 A 对应于特征值 3 的特征向量； （2）求矩阵 A. 解 （1）设 A 对应于 3 的特征向量为 T (x , x , x ) 3 = 1 2 3 因为 A 是实对称矩阵, 故不同特征值的特征向量 1 2 3 , , 相互正交, 即有 = − − = = − − + = 2 0 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x T T 其基础解系为 T = (1, 0, 1) , 故A对应于特征值3的特征向量为 T k(1, 0, 1) 3 = , (k 0) ； （2）记 − − − = = 1 1 1 1 2 0 1 1 1 P 1 2 3 , 则应有 = − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 P AP 于是 = = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 A P , 求得 − − − − − = − 3 0 3 1 2 1 2 2 2 6 1 1 P
将P-代入上式得 13 A 2102 5213 例6求m阶方阵 的特征值 解A的特征多项式 f()=AE-A|= 1-1 0 1 =(2-na) ="(-na) 所以,A=0(n-1重)与2=m是A的特征值 例7设a1,a2是矩阵A对应于不同特征值n2的特征向量,且412≠0,试证a1 +a2不是A的特征向量 证用反证法 设+422是A对应于特征值的特征向量,则有
将 −1 P 代入上式得 − − = 5 2 13 2 10 2 13 2 5 6 1 A 例 6 求 n 阶方阵 ( 0) = a a a a a a a a a a A 的特征值. 解 A 的特征多项式 a a a a a a a a a f E A − − − − − − − − − = − = ( ) | | a a a a a a na na na − − − − − − − − − = a a a a a a na − − − − − − = − 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 n a n a n = − = − − 所以, 0( 1 1 = n − 重)与 = na 2 是 A 的特征值. 例 7 设 1 2 , 是矩阵 A 对应于不同特征值 1 2 , 的特征向量, 且 0 1 2 , 试证 1 1 ＋ 2 2 不是 A 的特征向量. 证 用反证法. 设 1 1 ＋ 2 2 是 A 对应于特征值 的特征向量, 则有
A 上式左端=4(Aa1)+12(Aa2) -/1 a1415 a (5-1) 右端=1a1+M2a (5-2) 比较式(5-1),式(5-2) a1+a2=M21+2a2 (-1)a+(号 λ2)2=0 (5-3) 因为a1,a2是不同特征值的特征向量,故1,2线性无关,欲使(5-3)式成立,必有 (5-4) 由式(5-4)可得4=2=1,与≠矛盾,故有a1+2a2不是A的特征向量 例8求矩阵A的特征值与特征向量 A= 0035 000 0+1 JE-A= 002-3-5 (-1)(2+1)(4-3)2 特征值为1=2=-14=3(二重根) 将4=1代入[E-4X=0,得 2x2-x3-3x4=0 其基础解系为a1=(1,0.0.0),A对应于的全部特征向量为ka1,(k1≠0)
A( 1 1 ＋ 2 2 ) = ( 1 1 ＋ 2 2 ) 上式左端 = 1 (A 1 )＋ 2 (A 2 )= 2 1 1 ＋ 2 2 2 （5-1） 右端 = 1 1 ＋ 2 2 （5-2） 比较式（5-1）, 式（5-2） 2 1 1 ＋ 2 2 2 = 1 1 ＋ 2 2 ( 2 1 − 1 ) 1 ＋( 2 2 − 2 ) 2 = 0 （5-3） 因为 1 2 , 是不同特征值的特征向量, 故 1 2 , 线性无关, 欲使（5-3）式成立, 必有 2 1 − 1 = 2 2 − 2 = 0 （5-4） 由式（5-4）可得 1 = 2 = , 与 1 2 矛盾, 故 1 1 ＋ 2 2 不是 A 的特征向量. 例 8 求矩阵 A 的特征值与特征向量 − = 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 A 解 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 | | − − − + − − − − − − − = E A 2 = ( −1)( + 1)( − 3) 特征值为 1, 1, 3 1 = 2 = − 3 = （二重根）. 将 1 1 = 代入 [E − A]X = 0 , 得 − = − − = − − = − − − = 2 0 2 5 0 2 3 0 3 2 0 4 3 4 2 3 4 2 3 4 x x x x x x x x x 其基础解系为 T (1, 0, 0, 0) 1 = , A 对应于 1 的全部特征向量为 , ( 0) k11 k1
将42=-1代入[E-4X=0,得系数矩阵 [2E- 000 0-4-5 对[2E-作初等行变换可化为 3-2000 00 对应齐次线性方程组的基础解系为a2=(-32,0.0),特征向量为k2a2,(k2≠0) 将=3代入[E-X=0,得 2-3-1-2 000 0000 2E-作初等变换可化为 0 00 007-18-L 00 对应齐次线性方程组的基础解系为a3=(7,280),特征向量为ka3,(k3≠0) 在例8中我们应注意两个问题,一是[4E-X=0的表达式中,x的系数全为零, 对应的齐次线性方程组只有x是自由未知量,[4E-小X=0是四元线性方程组,不要误 认为是由x2,x3,x4组成的三元一次方程组,二是=3是二重特征根,但 [E-4X=0的基础解系由一个解向量组成,一般说来,[E一小X=0的基础解系 所含解向量个数不大于4作为f()=E-A上=0的根的重数
将 1 2 = − 代入 [E − A]X = 0 , 得系数矩阵 − − − − − − − − − − = 0 0 0 4 0 0 4 5 0 0 1 3 2 3 1 2 [ ] 2E A 对 [ ] 2E − A 作初等行变换可化为 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 3 1 对应齐次线性方程组的基础解系为 T ( 3, 2, 0, 0) 2 = − , 特征向量为 , ( 0) k2 2 k2 . 将 3 3 = 代入 [E − A]X = 0 , 得 − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 5 0 4 1 3 2 3 1 2 [ ] 3E A 对 [ ] 3E − A 作初等变换可化为 − − 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 0 1 0 8 7 1 0 对应齐次线性方程组的基础解系为 T (7, 2, 8, 0) 3 = , 特征向量为 , ( 0) k3 3 k3 . 在例 8 中我们应注意两个问题, 一是 [1E − A]X = 0 的表达式中, x1 的系数全为零, 对应的齐次线性方程组只有 x1 是自由未知量, [1E − A]X = 0 是四元线性方程组, 不要误 认为是由 2 3 4 x , x , x 组成的三元一次方程组 . 二 是 3 3 = 是二重特征根 , 但 [3E − A]X = 0 的基础解系由一个解向量组成, 一般说来, [iE − A]X = 0 的基础解系 所含解向量个数不大于 i 作为 f () =| E − A |= 0 的根的重数
例9已知向量a=(1,k,1是矩阵 211 A=121 112 的逆矩阵A-的特征向量,试求常数k的值 解一设a是A-对应于特征值的特征向量,则由Aa=Aa可得a=a,即 211 由此可得方程组 A(3+k)=1 A(2+2k)=k 其解为 于是,当k=-2或1时,a是A的特征向量 解二设a是A-对应于特征值的特征向量,则由a=可得=a,即元 是A的特征值,a为A对应于λ的特征向量,于是 由此可得方程组 2+2k
例 9 已知向量 T = (1, k, 1) 是矩阵 = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A 的逆矩阵 −1 A 的特征向量, 试求常数 k 的值. 解一 设 是 −1 A 对应于特征值 的特征向量, 则由 = − 1 A 可得 = A, 即 = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 k k 由此可得方程组 + = + = k k k (2 2 ) (3 ) 1 其解为 , 1 4 1 1, 2; 1 = k1 = − 2 = k2 = . 于是, 当 k = −2 或 1 时, 是 −1 A 的特征向量. 解二 设 是 −1 A 对应于特征值 的特征向量, 则由 = − 1 A 可得 A = 1 , 即 1 是 A 的特征值, 为 A 对应于 1 的特征向量, 于是, A = 1 即 = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 k k 由此可得方程组 + = + = k k k 2 2 1 3
