中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（电子教案）第四讲 矩阵

电子教案 目录 矩阵… 基本要求 内容提要 1.矩阵的定义 2.矩阵的线性运算 3.线性运算的性质 4.矩阵的乘法及其性质 222345 5.转置矩阵及其性质 6.方阵的行列式及其性质 7.逆矩阵的定义及其性质 6 8.伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 9.矩阵的初等变换 10.初等矩阵 11.利用初等变换求矩阵A的逆矩阵… 12.矩阵的秩.… 13.矩阵秩的性质及运算后的变化 14.利用初等变换求矩阵的秩 15.矩阵A与B等价 16.分块矩阵 0000 典型例题 (一)矩阵运算 10 (二)方阵可逆的判定 三)解矩阵方程

电子教案 目 录 矩阵............................................................................................................................. 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 矩阵的定义................................................................................................... 2 2. 矩阵的线性运算............................................................................................ 2 3. 线性运算的性质............................................................................................ 3 4. 矩阵的乘法及其性质..................................................................................... 4 5. 转置矩阵及其性质 ........................................................................................ 5 6. 方阵的行列式及其性质 ................................................................................. 5 7. 逆矩阵的定义及其性质 ................................................................................. 6 8. 伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 ............................................................ 7 9. 矩阵的初等变换............................................................................................ 7 10. 初等矩阵..................................................................................................... 8 11. 利用初等变换求矩阵 A 的逆矩阵.................................................................. 9 12. 矩阵的秩..................................................................................................... 9 13. 矩阵秩的性质及运算后的变化..................................................................... 9 14. 利用初等变换求矩阵的秩.......................................................................... 10 15. 矩阵 A 与 B 等价........................................................................................ 10 16. 分块矩阵................................................................................................... 10 三、典型例题................................................................................................... 10 （一）矩阵运算............................................................................................... 10 （二）方阵可逆的判定..................................................................................... 17 （三）解矩阵方程............................................................................................ 25

矩阵 基本要求 1.理解矩阵的概念,掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质: 2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律; 3.知道方阵的行列式及其性质 4.理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件,掌握矩阵求逆的方法,会用初等变 换或伴随矩阵求逆矩阵 5.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵; 6.理解矩阵的秩的概念,会求矩阵的秩 7.掌握分块矩阵的运算 、内容提要 1.矩阵的定义 由m个数排成的m行n列的矩形数表 称为m行n列的矩阵,简称为mxn矩阵其中(=12…,m,=12表示第i行第 j列的元素,i称为aj的行指标,j称为a的列指标 2.矩阵的线性运算

矩阵 一、基本要求 1. 理解矩阵的概念 , 掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质； 2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律； 3. 知道方阵的行列式及其性质； 4. 理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件 , 掌握矩阵求逆的方法 , 会用初等变 换或伴随矩阵求逆矩阵； 5. 熟练掌握矩阵的初等变换 , 了解初等矩阵； 6. 理解矩阵的秩的概念 , 会求矩阵的秩； 7. 掌握分块矩阵的运算 . 二、内容提要 1. 矩阵的定义 由 mn 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为 m 行 n 列的矩阵, 简称为 mn 矩阵.其中 a (i 1,2, ,m, j 1,2, , n) ij =  =  表示第 i 行第 j 列的元素, i 称为 aij的行指标, j 称为 aij的列指标. 2. 矩阵的线性运算 设

b21 b, b A B 6. b 为两个m×n矩阵,k为一个数 阵的线性运算为 a1+b1a12+b2…a1n+bn A+R_a21+ b21a22+b22 a2+ k k k k ka. k 3.线性运算的性质 (1)加法交换律A+B=B+A (2)加法结合律(4+B)+C=A+(B+C) (3)零矩阵的作用A+O=0+A=A (4)负矩阵的作用4+(-4)=O 其中 A (5)1A=A (6)数乘结合律k(L)=(DA (7)分配律 k(A+B)=kA+kB

              = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1               = m m mn n n b b b b b b b b b B        1 2 21 22 2 11 12 1 为两个 mn 矩阵, k 为一个数, 则矩阵的线性运算为               + + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1               = m m mn n n k a k a k a k a k a k a k a k a k a k A        1 2 21 22 2 11 12 1 3. 线性运算的性质 （1）加法交换律 A + B = B + A （2）加法结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3）零矩阵的作用 A + O = O + A = A （4）负矩阵的作用 A + (−A) = O 其中               − − − − − − − − − − = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 （5） 1A = A （6）数乘结合律 k(lA) = (kl)A （7）分配律 k(A + B) = kA+ kB

(8)分配律k+D)A=k4+l4 在线性运算的8条性质中,A,BC均为m×n矩阵,k,l为数,O为m×n阶零矩阵 并由这8条性质还可推出如下结果: (1)(-1)A=-A OA=O (3)kO=0 (4)减法的定义4-B=A+(-B) 4.矩阵的乘法及其性质 (1)矩阵乘法的定义:设 1 B 则由元素 cn=anby+a2b2y+…+ linen(=12,…,m,j=12,…,s) 组成的m×s矩阵 C 称为矩阵A与B的乘积,记为AB=C (2)矩阵乘法的性质 结合律:(4B)C=A(BC) k(AB)=(kAB= A(kB) 分配律 A(B+C)=AB+AC (A+ B)C=AC+ BC 单位矩阵的作用A=A=A

（8）分配律 (k + l)A = kA+ lA 在线性运算的 8 条性质中, A, B, C 均为 mn 矩阵, k, l 为数, O 为 mn 阶零矩阵. 并由这 8 条性质还可推出如下结果： （1） (−1)A = −A （2） 0A = O （3） kO = O （4）减法的定义 A − B = A + (−B) 4. 矩阵的乘法及其性质 （1）矩阵乘法的定义：设               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1               = n n ns s s b b b b b b b b b B        1 2 21 22 2 11 12 1 则由元素 ( 1,2, , , 1,2, , ) 1 1 2 2 c a b a b a b i m j s ij = i j + i j ++ i n nj =  =  组成的 m s 矩阵               = m m ms s s c c c c c c c c c C        1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 AB = C. （2）矩阵乘法的性质 结合律： (AB)C = A(BC) k(AB) = (kA)B = A(kB) 分配律： A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 单位矩阵的作用 IA = AI = A

5.转置矩阵及其性质 转置矩阵的定义: 如果将A的行、列交换后,所得的矩阵称为A的转置矩阵,记为A,即 22 转置矩阵的性质: (1)(4 (2)(A+B)=A+B (3)(AB)=B7 一般地,有(4…4)=11…44 (4)(k=k 两个特殊矩阵: (1)对称矩阵A=A (2)反对称矩阵A=-A 6.方阵的行列式及其性质 方阵行列式的定义:设由方阵

5. 转置矩阵及其性质 转置矩阵的定义： 设               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 如果将 A 的行、列交换后, 所得的矩阵称为 A 的转置矩阵, 记为 A T , 即               = n n mn m m T a a a a a a a a a A        1 2 12 22 2 11 21 1 转置矩阵的性质： （1） A A T T ( ) = （2） T T T (A + B) = A + B （3） T T T (AB) = B A 一般地, 有 T T T s T s T A1A2 As A A 1 A2 A1 (  ) = −  （4） T T (kA) = kA 两个特殊矩阵： （1）对称矩阵 A A T = （2）反对称矩阵 A A T = − 6. 方阵的行列式及其性质 方阵行列式的定义：设由方阵

构成的行列式 称为方阵A的行列式,记为|A 方阵A的行列式的性质: IAHAI (2)|k=k"|4,其中A为n阶方阵 (3)|ABFAIB 7.逆矩阵的定义及其性质 逆矩阵的定义:设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B使 AB= BA=I 则称A是可逆矩阵,简称A可逆,并称B是A的逆矩阵,记为B=A 逆矩阵的性质: 若以下的逆矩阵都是存在的,则有 (1)(A) (2)(k小-。1 (3)(AB)=Bf 一般地,(42…4,)=A1…42x

              = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 构成的行列式               n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为方阵 A 的行列式, 记为 | A | . 方阵 A 的行列式的性质： （1） | A | | A | T = （2） | kA| k | A | n = , 其中 A 为 n 阶方阵 （3） | AB |=| A | | B | 7. 逆矩阵的定义及其性质 逆矩阵的定义：设 A 是 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶方阵 B, 使 AB = BA = I 则称 A 是可逆矩阵, 简称 A 可逆, 并称 B 是 A 的逆矩阵, 记为 −1 B = A . 逆矩阵的性质： 若以下的逆矩阵都是存在的, 则有 （1） A = A −1 −1 ( ) （2） ,( 0) 1 ( ) 1 1 =  − − A k k kA （3） 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 一般地, 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ( ) − − − − − − A A As = As As A A

(4)(4)y=(x) IAH (5) A 方阵A可逆的条件: 方阵A可逆的充分必要条件是|AF≠0;在A可逆时,A的逆矩阵唯一 8.伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 设n阶方阵为 则称方阵 A A 是A的伴随矩阵,记为.其中A是A的行列式中元素a的代数余子式 因为 AA'=AA=A|1,故 (A=A|A-) 9.矩阵的初等变换 (1)用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素 (2)矩阵中某两行元素互换位置 (3)矩阵某一行元素的k倍加到另一行 以上三种变换都称为矩阵的初等行变换将上面(1)、(2)、(3)中的“行”全换成“列 就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换

（4） T T (A ) (A ) −1 −1 = （5） | | 1 | | 1 A A = − 方阵 A 可逆的条件： 方阵 A 可逆的充分必要条件是 | A | 0 ；在 A 可逆时, A 的逆矩阵唯一. 8. 伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 设 n 阶方阵为               = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 则称方阵               n n nn n n A A A A A A A A A        1 2 21 22 2 11 21 1 是 A 的伴随矩阵, 记为 A*.其中 Aij是 A 的行列式 | A | 中元素 aij的代数余子式. 因为 AA A A | A | I * * = = , 故 ( | | ) | | −1 1 * * −1 = A A = A A A A 9. 矩阵的初等变换 （1）用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素； （2）矩阵中某两行元素互换位置； （3）矩阵某一行元素的 k 倍加到另一行. 以上三种变换都称为矩阵的初等行变换.将上面（1）、（2）、（3）中的“行”全换成“列”, 就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换

10.初等矩阵 对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即 P(i(k)) (第行) 第i列 P(,) (第行) 0 (第行) P(,f(k,))= (第j行)

10. 初等矩阵 对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即 第 列 第 行 i P i k k i ( ) 1 1 1 1 ( ( ))                           =   ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 ( , ) 第 行 第 行 j i P i j                                   =          ( ) ( ) 1 1 1 1 ( , ( ,)) 第 行 第 行 j i k P i j k r                           =         

P(i,八(k) (第f行)(第f行) 11.利用初等变换求矩阵A的逆矩阵 由于可逆矩阵A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵故求A的逆矩阵的方法为 (A1)-换(1x-) 初等行变换 12.矩阵的秩 在m×n矩阵A中,位于任意取定的k行和k列(1 <k<min{m,m)交叉点上的k2个元 素,按原来的相对位置组成的k阶行列式就称为A的一个k阶子式矩阵A的非零子式的最 大阶数称为A的秩,记为R(A 13.矩阵秩的性质及运算后的变化 (1)R(A)=n,当A是n阶可逆矩阵时 (2)R(A)=R(A (3)K(A4)smn{mm,其中A是m×n矩阵 0k=0 R(kA (4) R(A)k≠0 (5)R(4)=R(P4)=R(PQ)=R(Q),其中P、Q都是可逆矩阵

( ) ( ) 1 1 1 1 ( , ( )) 第i行 第j行 k P i j k c                           =        11. 利用初等变换求矩阵 A 的逆矩阵 由于可逆矩阵 A 可以经过有限次初等变换化为单位矩阵.故求 A 的逆矩阵的方法为 ( ) ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 A I I A 初等行变换 或         ⎯⎯⎯⎯⎯→         -1 A I I A 初等行变换 12. 矩阵的秩 在 mn 矩阵 A 中, 位于任意取定的 k 行和 k 列 (1  k  min{n,m}) 交叉点上的 k 2 个元 素, 按原来的相对位置组成的 k 阶行列式就称为 A 的一个 k 阶子式.矩阵 A 的非零子式的最 大阶数称为 A 的秩, 记为 R(A). 13. 矩阵秩的性质及运算后的变化 （1） R(A) = n , 当 A 是 n 阶可逆矩阵时； （2） R(A ) R(A) T = ； （3） R(A)  min{n,m} , 其中 A 是 mn 矩阵； （4）     = = ( ) 0 0 0 ( ) R A k k R k A ； （5） R(A) = R(PA) = R(PAQ) = R(AQ) , 其中 P、Q 都是可逆矩阵；

(6)R(A+B)≤R(A)+R(B): (7) R(AB)smn( R(A), R(B)) 14.利用初等变换求矩阵的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩,因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,此时不 为零的行的行数就是原矩阵的秩 15.矩阵A与B等价 如果矩阵B可由A经过初等变换得到,则称A与B等价 16.分块矩阵 以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加 数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时,可把它化为对对角线上的子 矩阵求逆 三、典型例题 (一)矩阵运算 例1设x是实n×1矩阵,试证 (1)XX≥0 (2)XX=0的充要条件是x=0 证(1)设 X 则X=(a1a2,…an),于是

（6） R(A + B)  R(A) + R(B) ； （7） R(AB)  min{R(A), R(B)} . 14. 利用初等变换求矩阵的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩, 因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵, 此时不 为零的行的行数就是原矩阵的秩. 15. 矩阵 A 与 B 等价 如果矩阵 B 可由 A 经过初等变换得到, 则称 A 与 B 等价. 16. 分块矩阵 以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加、 数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时, 可把它化为对对角线上的子 矩阵求逆. 三、典型例题 （一）矩阵运算 例 1 设 X 是实 n 1 矩阵, 试证： （1） X X  0 T ； （2） X X = 0 T 的充要条件是 X = 0. 证 （1）设               = an a a X  2 1 则 ( , , , ) 1 2 n T X = a a  a , 于是