实对称矩阵的相似对不 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 设几是n阶实对称矩阵A的特征值,a=(a1,a2,…,an) 是对应的特征向量,即Aa=、a,两边取共轭,得: Aa=na o A=(ai)nxn, a 由于A为实对称阵,故A=A=A(1)两端取转置,得: aA=→aA=ar 两端同时右乘a→aA=aa→4aa=aa →(2-)27a=0:aa=|l2≠0:=元 性质2:实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。—对一般矩阵,只能保证相异特征一 值所对应的特征向量线性无关
实对称矩阵的相似对角化 一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质： ,),,,(,)( 21 T = aA ×nnij α = L aaa n T 由于 A为实对称阵，故 == AAA 性质 1：实对称矩阵的特征值都是实数。 是设 n阶实对称矩阵 A的特征值, λo （ 1）两端取转置，得： TT T A = oαλα 两端同时右乘 α ααλααλ T T o =⇒ o Q 0 =∴≠= λλααα oo T 2 性质 2 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交 。 对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。 T n aaa ),,,( α = 21 L 是对应的特征向量,即 A α = λo α，两边取共轭，得： αλα )1( A = o T T A =⇒ oαλα ααλααT T A =⇒ o ααλλ =−⇒ 0)( T oo
例:设1,1,-1是三阶实对称方阵A的3个特征值, 2=(2,2)是A的属于特征值的特 征向量,求A的属于特征值-1的特征向量。 设4的属于特征值-1的特征向量为a3=(x,x2,x3), a3与a1,a2正交,∴(C3,1)=(a3,a2)=0 /x1+x2+x3=0 12x+2x2+x3=0 A 00-1)(001 x → a3=(1,-10
征向量，求 的属于特征值 的特征向量。 是），，（），，（ 的属于特征值 的特 例：设 ，， 是三阶实对称方阵 的 个特征值， 1 122,111 1 111 3 1 2 − = = − A A A T T α α 1 , 3213 T 设 A的属于特征值 − 的特征向量为 α = xxx ），，（ Q 与 ,ααα 213 正交， ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ ⇒ 22 0 0 321 321 xxx xxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 122 111 A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 100 111 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 100 011 ⎩ ⎨ ⎧ = −= ⇒ 0 3 12 x xx ），，（ T 011 α3 −=⇒ , 0, ∴ α α =（）（ α α 2313 ） =
性质3:实对称矩阵A的重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出:实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 二、实对称矩阵的相似对角化: 定理1:实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 定理2:实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。 22 例1:设A=-2-24(1)求可逆阵P,使PAP为对角阵 (2)求正交阵Q,使QAQ为对角阵 LA-ZE λ22 2-14 (4+7)(-2)2 4-2-2
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 二、实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 求正交阵 ，使 为对角阵。 例 ：设 ， 求可逆阵 ，使 为对角阵。 AQQQ A APPP 1 1 )2( )1( 242 422 221 1 − − ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = λ λ λ λ −− −−− −− =− 242 422 1 22 EA 2 λλ −+−= )2)(7( 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似
=-7,2=13=2 x1=-7的特征向量为51=(1,2,-2) 52=(-210)7,53=(2,01)为属于特征值2的线性无关的特 征向量 7 P=(51 0|→PAP=A 2 20 将1=(,2,-2)单位化,得:m(122yT 将2=(-2,10),3=(2,0.)正交化,得: B2 =52=(-2,1.0)7 B3=53 (3,B2) B2=2(245) B2, B 再单位化,得: 21 245 72=( 3√53√53
⇒ λ1 = − ,7 λ = λ32 = .2 T T)1,0,2(,)0,1,2( ξ 2 −= ξ 3 = 7 .)221( 1 1 T λ −= 的特征向量为 ξ ，， −= 为属于特征值 2的线性无关的特 征向量. ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 102 012 221 P ξξξ 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =Λ=⇒ 2 2 7 1APP . 3 2 3 2 3 1 )221( 1 1 ，，将 T 单位化，得： ），，（ T ξ −= η −= 将 ξ 2 −= T ξ 3 = )1,0,2(,)0,1,2( T 正交化，得： 再单位化，得： T T ) 53 5 , 53 4 , 53 2 ()0, 5 1 , 5 2 ( η2 −= ， η3 = T T)5,4,2( 5 1 )0,1,2( 2 22 23 22 −== 33 −= β = ββ ξ β ξβ ξβ ），（ ），（
22 3√535 2 4 Q=(7h 0 7 →QAQ=A= 2 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤:
( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 2 53 2 5 2 3 1 Q ηηη 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ =Λ= − 2 2 7 1AQQ 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(1)求出A的所有相异的特征值1,2…,m ()对每一个重特征值,求出对应的个线性无关的特 征向量5n,72…,5m1=12,…,m),性质知∑=n (i)用施密特正交化方法将每一个重特征值x所对应的 个线性无关的特征向量122 35it=1,2 先正交化再单位化为7n1,n12…,nmn(=1,2,…,m 它们仍为属于λ.的特征向量 (iv)将上面求得的正交单位向量作为列向量,排成一个 n阶价方阵Q,则Q即为所求的正交方阵。此时 Q-AQ=QAQ=A为对角阵
它们仍为属于 的特征向量。 先正交化再单位化为 ； ， 个线性无关的特征向量 ； 用施密特正交化方法将每一个重特征值 所对应的 i irii i irii i mi r mi iii i i λ ηηη ξξξ λ ),,2,1(,,, ),,2,1(,,, )( 21 21 L L L L = = ),,,2,1(,,, . )( 1 21 mi nr ii r m i irii i i i i = ∑ = = 征向量 ； 由性质知 对每一个重特征值 ，求出对应的 个线性无关的特 L ξξξ L λ )( ;,,, 求出Ai 的所有相异的特征值λ λ21 L λm 为对角阵。 阶方阵 ，则 即为所求的正交方阵。此时 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 Λ== − AQQAQQ QQn iv 1 T )(
EX:设A=-21-2,特值为-2,1 0-20 (1)求可逆阵P,使PAP为对角阵。 2)求正交阵Q,使Q-AQ为对角阵。 12 P=(22,a3)=2 22 2-2 Q=(m,mh2,3)=21-2
求正交阵 ，使 为对角阵。 求可逆阵 ，使 为对角阵。 设 ，特征值为 ，，， AQQQ APPP AEX 1 1 )2( )1( 412 020 212 022 : − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = − 122 212 221 3 1 ),,( Q ηηη 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = − 122 212 221 ),,( P ααα 321
Ex:设A=k11正交相似于1 求k及正交阵Q,使QQ=1 =0,∴k=1.A-E=0,k=1=0 101 A=010 2 101 Q=01
求 及正交阵 ，使 。 设 正交相似于 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 1 0 , 2 1 0 11 1 11 : 1AQQQlk l lk k AEX Q ,0 =∴= lkA . 101 010 101 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ A =∴ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 0 2 1 010 2 1 0 2 1 Q .Q lkEA ==∴=− .0,0
A,P或Q及A三者的互求 已知A,可以求出A的特征值及特征向量,从而可以 判断A能否与对角阵相似,并在相似时求出对角阵∧及相 似变换矩阵P.P-1AP=∧ 41,…,列2为4的特征值; P=(B1,…Pn,P1;…,Pn为4的特征向量。 反之,若A与对角阵相似且已知A的特征值及特征向 量,也就是已知P与A,也可以求出矩阵AA=PAP-1
, QPA 及或 Λ三者的互求 P. A A A 似变换矩阵 判断 能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵 及相 已知 ，可以求出 的特征值及特征向量，从而可以 Λ = 1 L n 1 L,,),,,( n为APPPPP 的特征向量。 = Λ − APP 1 n为A的特征值； n λλ λ λ ,,, 1 1 O L ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =Λ P A. A A 量，也就是已知 与 ，也可以求出矩阵 反之，若 与对角阵相似且已知 的特征值及特征向 Λ −1 A = ΛPP 补充
例:设三阶方阵A满足Aa1=1a1i=2,3. a1=(2,2)2,a2=(2,-2,1),a3=(-2,-1,2),求A Aa=iai, i=1, 2, 3 →an1,a2a3是A的属于特征值,2,3的特征向量 且与对角阵相似。 A=2 P=(a1,a2,3)=2-2 212 70-2 22 A= PAP 05-2 P 2-21 2-26
.,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1( 1 .3,2,1, 1 2 3 A iiAA T T T ii 求 例 ：设三阶方阵 满足 = −−=−= == α α α αα = iiA = .3,2,1, Q α αii ⇒ α α ,, α321 是 A的属于特征值 3,2,1 的特征向量。 且与对角阵相似。 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = = 212 122 221 ),,( P ααα 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Λ 3 2 1 − 1 A = ΛPP ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − = 622 250 207 3 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −= − 212 122 221 9 1 1 P
