分块矩阵 分块矩阵的概念 a1412a13a14 A=a21 a22 a A1412 23a24 21422 31a3233a34 a a 12a 13a14 2 13 =a21a22a23a24= A21A2 2423 a31a32a33a34 定义:将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块, 每一小块称为矩阵的子块(或子阵),以子块 为元素形成的矩阵称为分块矩阵
分块矩阵 一、分块矩阵的概念 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2221 1211 AA AA ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 232221 131211 AAA AAA 定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块， 每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块 为元素形成的矩阵称为分块矩阵
二、分块矩阵的运算 1线性运算加法与数乘 2乘法运算符合乘法的要求 3转置运算大块小块一起转 T A1 A 124 13 12 22 Ab1 Ab 21 2423 323 几种特殊的分块阵 准对角阵或 1准对角阵 分块对角阵 A 2 /(4为方阵,i=12,…,S) S
二、分块矩阵的运算 1.线性运算 加法与数乘 2.乘法运算 符合乘法的要求 3.转置运算 大块小块一起转 T T AAA AAA A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 232221 131211 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = TT TT TT AA AA AA 2313 2212 2111 三、几种特殊的分块阵 1.准对角阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A s A A A O 2 1 ( A i为方阵， = L si ),,2,1 准对角阵或 分块对角阵
88 A= B B 则育 (41,B为同阶方阵,i=12…,s) A1+ B A±B A±B2 A。±B KA A B1 A 2 B2 kA= AB KA A B S
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A s A A A O 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = B s B B B O 2 1 ,( BA ii 为同阶方阵， = L si ),,2,1 A ± B ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± ± ± = BA ss BA BA O 22 11 kA ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = s kA kA kA O 2 1 AB ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = BA ss BA BA O 22 11
A可逆→A可逆 (i=1,2…,s) r(A)=r(A1)+r(A2)+…+r(As) 牢记这些公式
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = Ts T T T A A A A O 2 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = ms m m m A A A A O 2 1 = 21 L AAAA s si ),,2,1( AA i = L 可逆 ⇔ 可逆 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = − − − − 1 1 2 1 1 1 As A A A O )()()()( = + 21 +L+ ArArArAr s 牢记这些公式！
例 1200 0100 A 求A的行列式,秩及逆。 0023 解:将矩阵分块 A →|4=141|42|=3 r(A)=4 1-200 0100 001 A 00 33 只须口算即可!
例 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3100 3200 0010 0021 A 解：将矩阵分块 求 A的行列式，秩及逆。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 A A A =⇒ AAA 21 = 3 Ar = 4)( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − 1 2 1 1 1 A A A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 2 3 1 00 1100 0010 0021 只须口算即可！
2分块三角阵 分块上三角阵 A 4142)∠或准上三角阵」(41为方阵,=12) 122 4=|41 2122 A可逆A可逆 A1-A12A2 (i=1,2) 22 A O 21422 A2)-A21A 22
2.分块三角阵 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 221211 AO AA A 分块上三角阵 或准上三角阵 (Aii为方阵，i = .)2,1 = AAA 2211 = .)2,1( ⇔ i 可逆 AA ii可逆 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = − − − − − 1 22 1 2212 1 11 1 1 11O A AAAA A ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 222111 AA OA A ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− = − −− − − 1 22 1 1121 1 22 1 1 11 AAAA A O A
设A 12 则 X21X22 Au A1X AA-1= 12 12 22 21 A1X1+412X21412+A2X2)(EO 22A121 2X2 O E 2222 E→X2 2 22A21= 0→X21=0 21 A1X11+A12X21=E→X11=41 1112+A1X 22 O→X12 11412422
⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − 2221 1 1211 XX XX 设A 则 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − 22 1 1211 AO AA AA ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 2221 1211 XX XX ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = EO OE ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + = 2122 2222 2212121121121111 XA XA XAXAXAXA 2222 = EXA 1 2222 − =⇒ AX 2122 = OXA ⇒ 21 = OX + 21121111 = EXAXA 1 1111 − =⇒ AX + 22121211 = OXAXA 1 2212 1 1112 −− −=⇒ AAAX
2134 例2求矩阵的逆=/0213 0021 0002 解:将矩阵分块(A142 A O 22 A1 2 2422 O 22 1/2-1/4-5/85/16 只须计算 1/2-1/4-5/8 11412422 000 01/2-1/4 0 1/2
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2000 1200 3120 4312 例 .2 求矩阵的逆 A 解：将矩阵分块 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 22 1211 AO AA A 1 22 1 11 2 1 0 4 1 2 1 − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − A = A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − − − 1 22 1 2212 1 11 1 1 11 O A AAAA A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −−− = 2/1000 4/12/100 8/54/12/10 16/58/54/12/1 1 2212 1 11 − − AAA 只须计算
3分块斜对角阵∥OA M可逆◇→A,B可逆 B O o B M O 0035 例3求矩阵的逆M 0012只须口 1200算即可! 解:将矩阵分块 0300 o A 01-2/3 B O o B 002 001/3 13 00 00
3.分块斜对角阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = OB AO M M可逆 ⇔ , BA 可逆 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − OA BO M 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0030 0021 2100 5300 例 .3 求矩阵的逆 M 解：将矩阵分块 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = OB AO M ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − OA BO M 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0031 0052 3/1000 3/2100 只须口 算即可！