矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征 显然,若两个矩阵有相同的秩,则这两个矩 阵有相同的标准形,从而等价;反之,若两个 矩阵等价,则它们的秩相同。即有: 定理:矩阵A与B等价的充要条件是r(4)=r(B 请记住:矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 满秩矩阵 定义:若方阵A的秩与其阶数相等,则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。 E-满秩阵 (满秩非奇异降秩奇异)O--降秩阵 定理:设A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵E.即 AE
显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩 阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个 矩阵等价，则它们的秩相同。即有： 定理：矩阵A 与 B等价的充要条件是r(A)=r(B). !!! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 满秩矩阵 定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵； 否则称为降秩矩阵。 ( 满秩 ⇔非奇异 降秩 ⇔奇异） E----满秩阵 O----降秩阵 定理：设A为满秩阵，则 A的标准形为同阶单位阵 E . 即 A ≅ E 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征
推论1:以下命题等价: (i)A满秩;(i)AE;(i)A非奇异; (i)A=RP…Pn(其中P为初等矩阵 证 ()<(i)<(i (:r(4)=n,|A≠0 定理 即A非奇异) (i)→(iv):∵AE,∴彐初等矩阵 P 51m5 使 A=BP2…BEB+1…Pm=BP2…BR+1…Pn (iv)→(i):A=P1P2…Pm A≈E B1P2…Pm ()兮(i)冷(i)冷(in)
推论 1：以下命题等价： )( Ai 满秩； ≅ EAii ;)( )( Aiii 非奇异； )( (; ) = 21 L m 其中PPPPAiv i为初等矩阵。 ⇔ ⇔ iiiiii )()()( 定理 ) ,0,)(( 即 A非奇异 Q AnAr ≠∴= ⇒ ivii :)()( Q ≅ EA , 21 L ， ll + 1 L PPPPP m ,,,,,, 使 = 21 L + 1 LPEPPPPA mll = 21 + 1 LL PPPPP mll ⇒ iiiv :)()( Q = 21 L PPPA m = 21 L m EPPP ∴ A ≅ E ∴ ∃初等矩阵 ⇔∴ ⇔ ⇔ iviiiiii )()()()( 证
推论2:矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及 n阶满秩阵P、Q,使Anxn= P B,Qn 由此还可得到:若P、Q为满秩阵,则 (A=r(PA)=r(PAO=r(AO 例 102 设(43)=2,B=020,求r(AB) r(B)=3,∴B满秩,∴r(AB)=r(A)=2 逆矩阵 va≠0,3a-1,使aa1=a-la= 矩阵A,?矩阵B,使AB=BA=E
推论 2：矩阵A 与 B等价的充要条件为存在 m阶及 n阶满秩阵 P 、 Q，使 × = × QBPA nnmmnm 由此还可得到： 若 P 、 Q为满秩阵，则 r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ) 例： ).(, 301 020 201 ,2)( 设 34 BAr 求 ABr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − × == Q Br = ,3)( ∴ B满秩， ∴ = ArABr = 2)()( 逆矩阵 . ,,0 .1 1 11 ∃≠∀ == − −− 使 aaaaaa ∀矩阵 ∃矩阵 ,?, 使 = = EBAABBA
定义:对n阶方阵A,若有n阶矩阵B,使AB=BA=E,则 称B为A的逆矩阵,称A为可逆的 (1)逆阵惟一。A的逆记为:A-1 设BC都是4的逆,则B=EB=CAB=CAB)=CE=C (2)并非每个方阵都可逆。 10)-(00/就不可。41ab 例如≤/10 b(10 →0=1 00 d)(00)(01 这是不可 要解决的问题: 能的。故 1方阵满足什么条件时可逆? A不可逆 2可逆时,逆阵怎样求?
定义：对 n阶方阵A，若有 n阶矩阵 B，使AB=BA=E，则 称 B 为 A的逆矩阵，称A为可逆的。 （ 1）逆阵惟一 。 − 1 设B,C都是A的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C A的逆记为： A （ 2）并非每个方阵都可逆。 例如 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 00 01 A 就不可逆。 , 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − dc ba A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00 00 01 ba dc ba ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 10 01 ⇒ = 10 这是不可 能的。故 A不可逆。 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 ? 2.可逆时，逆阵怎样求？
复习:件随矩阵A=(2 n×n A1为a的代 21 数余子式 12122 n2 伴随矩阵 2 nn 写A时要注意什么?代数余子式的顺序 二阶A矩阵的伴随矩阵 b你记住 了吗? a
复习：伴随矩阵 ( ) nn ij aA × = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∗ nn nn n n AAA AAA AAA A L MLMM L L 21 2212 2 2111 1 数余子式 为aA ijij 的代 伴随矩阵 写 A ∗时要注意什么？ 代数余子式的顺序! 二阶A矩阵的伴随矩阵 . ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = dc ba A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∗ ac bd A
公式 AA= a 11a12 21 An 2122 A1 A c2n412 22 n2 nl un2 In 2n 个很重 =AE=AA要的式子 AA=AA=AE
= ∗ AA ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn nn n n nn nn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa L MLMM L L L MLMM L L 21 2212 2 2111 1 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A A O = EA A A ∗ = == EAAAAA ∗∗ 一个很重 要的式子 公式
定理m阶方阵A可逆的充要条件是4≠0 A 证 “→”由A可逆知AA1=E,两边取行列式, A=441==1→4≠0 <”由4≠0,Ar=AA=AE →4(A)=(A)A=E →A=1x牢记这个定理
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是 − ∗ = A A A 1 1 A ≠ .0 证: , 1 ⇒ A = EAA “ ”由 可逆知 − 两边取行列式， 1 1 1 === − − EAAAA A ≠⇒ 0 “ ”由A ≠⇐ ,0 == EAAAAA ∗∗ EAA A A A ⇒ A = = ∗ ∗ ) 1 () 1 ( − ∗ =⇒ A A A 1 1 牢记这个定理
A可逆令A非奇异令→A满秩 例 求A 的逆。(ad-bc≠0) d -b 解:A d-bc-c 例2. E(i,j)=E(i,j);E-(i(k)=E(1(); k E(i,j(k))=e(i,i(k) 证:∵E(i,j)E(i,j=E 同理证其它两式。 E(i,D=E(i,j
可逆 ⇔ AA 非奇异 ⇔ A满秩 例1. 求 ⎟ ⎟的逆。 ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = dc ba A − ∗ = A A A 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ac bd bcad 1 解： − bcad ≠ )0( 例 2. );,(),( 1 = jiEjiE− )); 1(())(( 1 k = iEkiE− ))(,())(,( 1 −= kjiEkjiE− 证 : Q ),(),( = EjiEjiE ),(),( 1 ∴ = jiEjiE− 同理证其它两式
这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩 阵 练求是阵的第三个性质 2-2 1.A= 2.B= 3C= 2-1 2.B 3. C 3(-2 2(02 ?? ?A=-321|的逆怎样求? 201
这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩 阵。 ——练习：求逆阵 这是初等矩阵的第三个性质。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 12 11 .1 A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 21 11 .2 B ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 10 22 .3 C ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 12 11 3 1 .1 1 A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 11 12 .2 1 B ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 20 21 2 1 .3 1 C ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− = 102 123 111 A ？？ ？ 的逆怎样求？
逆阵的性质 (1)4可逆→A 背 (i)可逆→A可逆,(A)=A;这 i)AB=E(OrBA=E)→B=Al;些 (i)A)1=(4-)7 式 (v(AB)=B A (v)lkA"f(k≠O4可逆 (v).(AB)(B A)=E.(AB)=B
逆阵的性质 ; 1 )( 1 A 可逆 AAi − =⇒ )( ;)(, 1 11 ⇒ = AAAAii 可逆 − 可逆 −− )()( ; −1 = =⇒= ABEBAorEABiii ;)())(( T 11 T AAiv −− = ))(( ; −−− 111 = ABABv ).,0(, 1 ))(( 1 1 AkA 可逆 k kAvi = ≠ − − ))(()( −− 11 Q ABABv = E ∴ )( ; −−− 111 = ABAB