通俗数学名著译从 ERSHISHIJI SHUXUE DE WUDA ZHIDAO LILUN 1美|约翰,L·卡斯蒂著 叶其孝刘宝光译 上海教育出版社
00127043 0-0 20世纪数学的 五大指导理论 以及它们为什么至关重要 1美图约翰·L·卡斯蒂著叶其孝刘宝光译·上海教育出版社 北航C0545605
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译丛序言 数学,这门古老而又常新的科学,正阔步迈向21世纪 回顾即将过去的世纪,数学科学的巨大发展,比以往任何时 代都更牢固地确立了它作为整个科学技术的基础的地位,数学 正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,并越 来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献.同时,数学作 为一种文化,已成为人类文明进步的标志.因此,对于当今社会 每一个有文化的人士而言,不论他从事何种职业,都需要学习数 学,了解数学和运用数学.现代社会对数学的这种需要,在未来 的世纪中无疑将更加与日俱增 另一方面,20世纪数学思想的深刻变革,已将这门科学的 核心部分引向高度抽象化的道路.面对各种深奥的数学理论和 复杂的数学方法,门外汉往往只好望而却步,这样,提高数学的 可接受度,就成为一种当务之急.尤其是当世纪转折之际,世界 各国都十分重视并大力加强数学的普及工作,国际数学联盟 (MU)还专门将2000年定为“世界学年”,其主要宗旨就是 使教学及其对世界的意义被社会所了解,特别是被普通公众所 了解”. 一般说来,一个国家数学普及的程度与该国数学发展的水 平相应并且是数学水平提高的基础随着中国现代数学研究与 教育的长足进步,数学普及工作在我国也受到重视.早在60年 代,华罗庚、吴文俊等一批数学家亲自动手撰写的数学通俗读
繁 物,激发了一代青少年学习数学的兴趣,影响绵延至今.改开 放以来,我国数学界对传播现代数学又作出了新的努力.但总体 来说,我国的数学普及工作与发达国家相比尚有差距.我国数学 要在下世纪初率先赶超世界先进水平,数学普及与传播方頭的 赶超乃是一个重要的环节和迫切的任务.为此,借鉴外国的先进 经验是必不可少的 《通俗数学名著译丛》的编辑出版,正是要通过翻译、引迸国 外优秀数学科普读物,推动国内的数学普及与传播工作,为我国 数学赶超世界先进水平的跨世纪工程贡献力量.丛书的选题计 划,是出版社与编委会在对国外数学科普读物广泛调研的基础 上讨论确定的.所选著述,基本上都是在国外已广为流传、爱到 公众好评的佳作,它们在内容上包括了不同的种类,有的深入浅 出介绍当代数学的重大成就与应用;有的循循善诱启迪数学思 维与发现技巧;有的富于哲理阐释数学与自然或其他科学的联 系;……等等,试图为人们提供全新的观察视角,以窺探现代数 学的发展概貌,领略数学文化的丰富多采 丛书的读者对象,力求定位于尽可能广泛的范围.为此丛书 中适当纳入了不同层次的作品,以使包括大、中学生;大、中学教 师;研究生;一般科技工作者等在内的广大读者都能开卷受益 即使是对于专业数学工作者,本丛书的部分作品也是值得一读 的.现代数学是一株分支众多的大树,一个数学家对于他所研究 的专业以外的领域,也往往深有隔行如隔山之感,也需要涉猎其 他分支的进展,了解数学不同分支的联系 需要指出的是,由于种种原因,近年来国内科技译著尤其是 科普译著的出版并不景气,有关选题逐年减少,品种数量不断 降.在这样的情况下,上海教育出版社以迎接2000世界数学年 为契杌,按照国际版权公约,不惜牦资购买版权,组织翻译出饭 这套《通俗数学名著译丛》,这无疑是值得称道和支持的举措.参 加本丛书翻译的专家学者们,自愿抽出宝贵的时间来进行这类
通常不被算作成果旦却能帮助公众了解和欣赏数学成果的有益 工作,同样也是值得肯定与提倡的 像这样集中地翻译、引进数学科普读物,在国内还不多屎 我们热切希望广大数学工作者和科普工作者来关心、扶植这项 工作,使《通俗数学名著译丛》出版成功. 我们举手迎接2000世界数学年,让公众了解、喜爱数学 让数学走进千家万户! 《通俗数学名著译丛》编委会 1997年8月
序言 支撑任何幣要智力努力的领域的生命线是不断地有稳定数 量的重要、未解决(但原则上是能解决的)的问题的注入,例如, 射影几何一度是数学中一个繁荣而富有成果的领域,但如今就 像渡渡鸟①那样灭绝了,理由很简单:一百多年前问题的泉源就 已枯竭了.另一方面,对当今风行一时的混沌未说,直到洛伦兹 ( Lorenz),斯梅尔( Smale),费根鮑姆( Feigenbaum),约克 ( Yorke),梅(May),吕斯勒( Rossler)和其他人晚近的工作鼓舞着 当今混沌学家、他们的学生、迫随者所倾泻出的大量的问题之 前,除了少数几个数学上很神秘、有远见的冒险家和行家外,大 家对混沌一无所知,这些例子清楚地说明了乔治·波利亚 ( George Polya)的众所周知的名盲:“数学就是问题解决的艺 术.”然而和其他专业的科学家不同的是,数学家有一个专门名 词未表达他们对某个问题的解决—那就是定理 数学就是关于定理的学问:怎样发现定理;怎样证明定理; 怎样推广定理;怎样运用定理;怎样理解定理《五大指导理论》 企图通过展示本世纪数学家的艺术的五个最精致的成就来告诉 般的读者有关数学的知识.本书总的计划是考察数学中已经 解决的几个最大的问题,这些问趣是怎样解决的,最重要的是为 什么其解决是至关重要的—不仅仅对数学家是至关重要的. ①译注:鸽形目,孤鸽科鸟类,原产毛里求斯,1681年巳经灭绝
因此,《五大指导理沦》呐目标是通过何子启发、娱乐和教育不 ⅸx:是通过教条来达到上述目的 S·乌拉姆( Stanislaw ulan)一度估计过每年数学家要发表 20多万条定理.这些定理的绝大部分无人问津,只有极小部分 定理为相当数量的数学家所理解和信服.鉴于数学在我们这个 星球上已经有了几个世纣的实践这…事实,要从即使是本世 纪①发表的迄今已有数百万条的定理中挑出一些“最伟大”的定 理,初一看这似乎是前投茫的,但是只要加上不多几个糸, 或¨过滤器”,这项工作马上就大大威少,从而能把伟大的定理从 冒充伟大的定理中分离出来.就本书中强调的五受人珍视的 数学珍宝而言,以¨就是我釆用的准崔则: ●意义重大:该定壁是否突破了数学发展中的一个重大的 僵局或障碍?或者该定理是否寻致数学研究中新领域的 确定?例子:莫尔斯( Morse)定埋,它激发了奇性理论的 发展 ●优美性及其影响所及的范围:该定理是否像一首诗或像 幅图画是优美的同样意义下具旬在的“优美性¨?该 定理是否紧凑地淙述了大量的知识?该定理是否使人进 步了解数学内鄯相当多领域中的各种问题?例子:布 劳威尔( Brouwer)不动点定理,该定理使我们能对各种框 架下在很一锻的数学条件下证明方程解的存在性 ●应用:该定理是否找到了数学之外的重要应用?该定理 是否确保存在的数学结构为更全面地了解自然和(或)人 类世界提供了恭础?例子:极小极大定理,它为经济学及 其他领域中关于决策者的行动是“合理的”蚋意义是什么 这样一些问题的许多数学研究工作莫定了基石 ●证明方法:定理的证明是否需要利用新的逻辑技巧或惟 ①译注:指20世纪
理模式?能否使用这些方法使其他重要问题取得进展? 例子:停机定理,其证明中注意力于利用算法的思想来 建立数学真理的想法 ●哲学合意:该定理是否告诉我们以前不知道的关于人类 的某些重要事恃?该定理的结论是否加上了重要的哏[x 制,或者反过来讲,是否为我;就我们可能知道的关于宇 宙以及我们自己的更深刻的洞纂开创新的机遇?何子 哥德尔(Gωle)旳不完全性定理,该定理就人类明现实 世界真理的能力加上了限制 为有资格进入我们这种荣誉的名单,一条定理必须别这些 范畴的大多数,即使不是全部的话,取得高分.无须太多想象就 能看出,利用这些过凞器很快就可以把乌拉姆估计的数百万条 定理削减到可以作尔翅模 但是伟大的窳理不是孤立存在的;他们导致重大的理论,如 前面指出过的,一条定理的薰义的重要分就在于或是在创造 这些理论或是以某神方弌养育、繁荣这些理论中作出的贡献.为 此,我这里注目的至少要像对伻20世纪伟大的理论一样地对 待伟大的定理自真 浏览一千书日录后读者可能会问,为什么本书中所考虑的 定理郗这么古老!五κ指导理论中最新的是单纯形方法,这也要 追溯到1947年,而最只的布劳威尔不动点定理发表于1910年.如 果这是我们追求的现代弋数学,即20世纪的数学,为什么20世纪 后半世纪的研究工-点没有呢?当考惹到通常的舆论认为本 世纪后半个世纪中做出的有意义的数学研究工作要比前几∴世 纪的数学研究的总和还要多时,这就更加令人费解了 这是一个相当今肖合理的问题、所以值得给予--个仔细考 虑过的回答.阿答基本士在于以下的事买,即我们实际上追求的 是伟大的理论,不是伟大的定理.而数学中伟大的理论就象伟 大的诗篇、伟大的绘画或伟大的文学一样,需要时间使之成熟以
及被人确认为是“伟大的”.这使我回想起当英国首相参观浜拉 笫Φ的实验室时法拉第的一个旁注.当法拉第叙述他在电学中 的最新发现时,这位尊硪的绅士问道:“这有什么好呢?”法扛第 回答说:“新生婴凡有什么好的,你必须等他(她)发育成长."对 于伟大的定理,情况也是这样,一般说一条伟大的定理至少要有 x]一代或两代人的时间才能“发育成长”,即被人们确认为是随后 生长出来的一种伟大理论的种子.所以,我们所看到的当今的伟 大理论几乎可以肯定其源起的日子是在二次大战前的时期我 也毫不怀疑从现在起十年后写的一本与本书类似的书中将江目 于60或70年代的定理,他们现在正处在形成更伟大的理论的 开始阶段.我还要指出有时候一种伟大理论的产生还需要技术 的进步.例如,我十分怀疑如果没有过去几十年里发生的计算技 术的重大进展,本书中论及的两个伟大的理论——最优化理论 和计算的理论—会出现在像本书那样的任何一本蓍作中. 当我第一次想到有关本书的想法时,我就关于报告20世纪 最伟大的定理和理论的一本书中应包括什么的问题询问了许多 朋友和数学家他们会怎么做.某一天我想发表他们的一系列意 见,可惜的是有点太长了,发表在这里不太自如.但是当我做出 最后选择时,有人就问我为什么本书是如此的“不纯粹(数学)”; 为什么所有的理论(除与拓扑学有关的可能是例外)都是某些人 委婉地(或贬意地!)称之为“应用数学"(顺便说一句,我回避这 个术语)的领域.为什么丝毫没有称之为“纯粹”数学的东西?有 两方面理由:(a)我们都是由我们的口味和背景所控制制约的 人,数学上,我的专业偏向于应用的方向,还有(b)我希望本书集 中注意于为什么普通人(即,非学术界人士)应该关心作为他们 ①译注: Michael Faraday,1791.9.22-18678.25,英国物理学家、 化学家和物理化学家.发现电磁感应现象、电解定律和光与磁的基本关 系,创立现代电磁场的基本观念出身于铁工家庭
