矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第 二、第三种初等变换: (i)对换矩阵中第,两行(列)的位置,记作 r(cn)减或rr(c>C) (i)用非零常数k乘第i(列),记作k;(kc;) i)将矩阵的第(列)乘以常数k后加到第i行 (列)对应元素上去,记作r+kr(c+kc
矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具 . 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第 二、第三种初等变换： ( ) ( ) ( ) , ( ) ij ij i j i j r c r r c c i i j 或 ↔ ↔ 对换矩阵中第 两行 列 的位置，记作 ( ) ( , ( ). i i ii 用非零常数 k乘第 i 行 列）记作kr kc , ( ). ( ) ( ) i j i j r kr c kc iii j k i （列）对应元素上去 记作 + + 将矩阵的第 行 列 乘以常数 后加到第 行
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 作用利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。例如: 2-382 1314 A=212-212 212-212 4/n 2-382 1314 314 r3-2n1 →|06-44->03-22 0-96-60-32-2 1314)利用初等变换将A化为B, →03-22A与B之间用记号→或 0000)三连接
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → − ↔ 2 3 8 2 2 12 2 12 1 3 1 4 1 3 r r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → − − − 0 9 6 6 0 6 4 4 1 3 1 4 3 1 2 1 2 2 r r r r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → − 0 3 2 2 0 3 2 2 1 3 1 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 3 1 4 连接。 与 之间用记号 或 利用初等变换将 化为 ， ≅ A B → A B 作用 利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 例如：
102 102 100 A=020→020→>010 103 005 00 12-23 12 B=4-3312-0-11110 3-119 0-770 2-23 1000 >0110→>0100 0000 0000
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 5 0 2 0 1 0 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 1 1 9 4 3 3 12 1 2 2 3 B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 0 7 7 0 0 11 11 0 1 2 2 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
矩阵的等价 对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B,则称矩 阵A与B等价,记作A全B 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即: AA:AB→B≈A:AB,BC→AC 0…00…0A的标准形 0 00 0 A=00 10 m×n 00 00 定理:任何 矩阵都有标准形。 00 00 0
矩阵的等价 对矩阵 A实行有限次初等变换得到矩阵 B，则称矩 阵 A 与 B等价，记作 A B. ≅ 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即： A ≅ A ; A ≅ B ⇒ B ≅ A ; A ≅ B , B ≅ C ⇒ A ≅ C m n A I = × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≅ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 L L M M L M M L M L L L L M M O M M L M L L L L A的标准形 定理：任何一个 矩阵都有标准形
如上例: 1314 A→03-22>03-22 2 0000)c3 3c C 0000 4c C4-4C1 1000 0100 c3+C20000 CA 2 2 2÷3 推论:矩阵A与B等价的 充要条件是A与B 有相同的标准形
如上例： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 3 1 4 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − − − − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 0 0 0 4 1 3 1 2 1 4 3 c c c c c c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ÷ − + 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 2 3 2 3 2 4 2 3 2 r c c c c 推论 :矩阵 A 与 B 等价的 充要条件是A 与 B 有相同的标准形
矩阵的秩 1阶子式:在A中任取k行k列,位于这些 行、列相交处的k2个元素,按原次序组成的 k阶行列式,称为矩阵A的阶子式一般地: m×n矩阵A的k阶子式有CC个。 2秩的定义:矩阵A的所有不等于零的子式的最高 阶数称为矩阵A的秩记作r(4 显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(4)>0.并且: (i r(Amxn)s m, n; (i)若有一个阶子式不为零,则r(A)≥r; 若所有的阶子式全为零,则r(A)<r
矩阵的秩 . 1. 2 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式 行、列相交处的 个元素，按原次序组成的 阶子式：在 中任取 行 列，位于这些 k A k k k A k k m×n 一般地： m × n矩阵A的k阶子式有Cmk Cnk个。 2.秩的定义:矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高 阶数称为矩阵 A 的秩.记作 r(A) . 显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有 r(A)>0.并且: (i) r(A ) min{m, n}; m×n ≤ ( ) . ( ) ( ) ; r r A r ii r r A r < ≥ 若所有的 阶子式全为零，则 若有一个 阶子式不为零，则
)r(A2)=r(4 例求矩阵的秩a1a12 22 2r 2n 显然r(A)=F.(a41 22 ≠0) 利用初等变换可以求矩阵的秩
(iii ) r ( A ) r ( A). T = 例 :求矩阵A的秩 . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 22 2 2 11 12 1 1 L L L L M M M M M M L L L L L O M L M L L L L rr rn r n r n a a a a a a a a a A 显然 r ( A ) = r. 利用初等变换可以求矩阵的秩. ( 0 ) a11 a 22 L a rr ≠
X秩的求法定理矩阵经初等变换后其秩不变 证:只证行变换的情形 A→B→r(4)=r(B);A→>B→r(4)=r(B) i2 A 吃+ a m2∴…C
秩的求法 定理 :矩阵经初等变换后其秩不变 . 证 :只证行变换的情形 . A B r ( A ) r ( B); ij r → ⇒ = A B r ( A ) r ( B); i kr → ⇒ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m m mn j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a A L M M L M L M M L M L M M L M L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 i j r +kr →
a tka 2 tka 2 tka B 2 m2 a 由此可以推出: r(A)≥r(B)r(A)≤r(B)→r(A)=r(B)
B a a a a a a a ka a ka a ka a a a m m mn j j jn i j i j in jn n = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + L M M L M L M M L M L M M L M L 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 由此可以推出 : r ( A ) ≥ r ( B ) r ( A ) ≤ r ( B ) ⇒ r ( A ) = r ( B )
例求矩阵的秩 2-382 1.A=212-212 A→>212-21206-44 n1> 2-382 0-96-6 →06-44→r(小=2 0000
例 :求矩阵的秩 : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 1.A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → − → 2 3 8 2 2 12 2 12 1 3 1 4 1 3 r r A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 0 0 0 0 0 6 4 4 1 3 1 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → − 0 9 6 6 0 6 4 4 1 3 1 4 ⇒ r ( A ) = 2