的相似对 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵: 1.定义1:设A与B都是n阶矩阵,若存在一个n阶可逆阵P,使 B=P-1AP,则称矩阵A与B相似,记作A~B 可逆阵P称为相似变换矩阵。 (1)相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2)A~B→AcB,反之不对。 相似与等价的关系 2相似矩阵的简单性质: (1)A~B→r(A)=r(B) (i)A~B→4= (i)A~B→A与B同时可逆或同时不可逆,且当可逆时A1~B1 (m)A~B→f(4)~f(B),f(x)=amx"+am-1x+…+a1x+a
矩阵的相似对角形 矩阵的特征值与特征向量 1.定义 1： ，则称矩阵 与 相似，记作 与设 都是 阶矩阵，若存在一个 阶可逆阵 ，使 APPB BA nBA n P − 1 = 可逆阵 P称为相似变换矩阵。 A~B (1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性 。 (2) A~B ⇒ A ≅B,反之不对。 2.相似矩阵的简单性质： ⇒ = BrArBAi )()(~)( ~)( =⇒ BABAii 11 ~)( ~ ⇒ −− 与BABAiii 同时可逆或同时不可逆，且当可逆时 BA 一、相似矩阵： 1 0 1 1 )(),(~)(~)( xaxaxfBfAfBAiv axa m m m ⇒ m += +++ − − L 相似与等价的关系
A~B→B=P-AP→ B"=(PAP)=PAP,PAP…PAP=PA"P→ f(B)=amB+am-B+.+a,B+aot am(P)"+am-I(P AP)++a(P AP)+aoE -apapta,papttap ep P(amA"+am-1A"++a1 A+aDE)P=P-f(A)P 3相似矩阵的简单应用: 例 40 A= 验证A=P-1AP并求 A= PAP =A=(PAP-Ik_ p k 0 k k k k→水 5.44+(-2 44-(-2 6(5.4k 5·(-2) 44k+5(-2
~ − 1APPBBA ⇒=⇒ BaBaBf EaBa m m m m 1 0 1 1 )( += +++ − − L APPaAPPa EaAPPa m m m m 0 1 1 11 1 1 = + )()( ++ )( + −− − − − L AaAaP PEaAa m m m ( m ) 1 0 1 1 1 = + +++ − − − L )( PAfP− 1 = 3.相似矩阵的简单应用： 例： A P 验证 1 并求AAPP k 。 51 11 , 20 04 , 15 13 − =Λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =Λ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 11 15 6 1 1 P ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =Λ k k k )2(0 04 − 1 A = P Λ P A k =⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅+−⋅−⋅ −+⋅ −− k kk k kkkk )2(54)2(545 )2(4)2(45 6 1 m m APPB )( − 1 = 1 1 )( − − Λ=Λ=⇒ PPPPAk kk EPPaAPPaPAPaPAPa m m m m 1 0 1 1 11 1 1 −− − − − − = + L++ + P AP P AP P AP − 1 − 1 − 1 = ⋅ L P A P − 1 m = ⇒
(1)A满足什么条件时能与对角阵∧相似? (2)A与对角阵A相似时,可逆阵P及对角阵A怎样求? 二、矩阵的特征值与特征向量: 1定义2:设A是n阶矩阵,4为一个数,若存在非零向量a, 使Aα=λa,则称数λ为矩阵A的特征值,非零向 量α为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 特征向量为非零向量 2矩阵的特征值与特征向量的求法: 2(是万程(2=0的非解}1-1=0 满足A-2E|=0数4为特征值; 方程组(A-E)X=O的非零解为特征向量或基础解系
问题： )1( A满足什么条件时能与对角阵Λ相似？ )2( A与对角阵Λ相似时，可逆阵P及对角阵Λ怎样求？ 二、矩阵的特征值与特征向量： 1.定义2： 量 为矩阵 的对应于特征值 的特征向量。 使 ，则称数 为矩阵 的特征值，非零向 是设 阶矩阵， 为一个数，若存在非零向量 ， α λ λαα λ λ α A A A nA = 特征向量为非零向量！ 2.矩阵的特征值与特征向量的求法： Aα λα ⇒= − λ )( α = OEA ⇒ α是方程组 − λ )( = OXEA 的非零解 } λEA =−⇒ 0 满足 λEA =−∴ 0的数λ为特征值； 方程组 − λ )( = OXEA 的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1:求矩阵的特 1-22 10 征值与特征向量。A=-2-24B=4-30 24-2 解: 1-2 A-AE|=-2-2-44 2 4 2-2 =(1-A)(2+4 16-16+4(2+)-16(1-)+4(2+) =(1-4)(4+4+x)+24-32 =-23-32+242-28 经试根知,2是一个根。故 上式=-(2-2)(2+54-14)=(-2(x+7)(2-2) →41=A2=2,13=-7(这就是特征值。) (下面求特征向量。)
例1：求矩阵的特 征 值与特征向量。 λ λ λ λ −− −−− −− =− 242 422 1 22 EA ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = 242 422 221 A 解： )2(4)1(16)2(41616)2)(1( 2 λλ λ ++−−++−−+−= λλ 3224)44)(1( 2 λλλλ −+++−= 28243 23 λλλ −+−−= 经试根知，2是一个根。故 )145)(2( 2 上式 λλλ −+−−= = − λ − λ + λ − )2)(7)(2( ⇒ λ = λ = λ321 = −7,2 （这就是特征值。） （下面求特征向量。） ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− −− = 201 034 011 B
对A=2=2,(解(A-2E)X=O)一 -1-2-2 A-2E=-2-44→000→x1=-2x2+2x3 000 51=(-2,10),52=(2,0,1) 为属于特征值2的线性无关的特征向量;其全部特征向量为 k1+k2(k12k2不全为零)。 同理可求A3=-7的特征向量为53=(1,2,-2) 其全部特征向量为k23(k≠0) 求特征值与特征向量的步骤: 1解A-E=0求出的值;即得到特征值; 2对每一个,求方程组(A-AEY=O的基础解系;即得到属于这个 特征值的线性无关的特征向量
⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− −− =− 442 442 221 2EA 对λ = λ21 = ,2 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− → 000 000 221 22 321 ⇒ = − + xxx T T)1,0,2(,)0,1,2( ξ1 −=∴ ξ 2 = （ 不全为零）。 为属于特征值 的线性无关的特征向量；其全部特征向量为 212211 ,, 2 + ξξ kkkk 7 .)221( 3 3 T 同理可求 λ −= 的特征向量为 ξ ，， −= ).0( 其全部特征向量为 ξ 3 kk ≠ 求特征值与特征向量的步骤： .1 解 λEA =− 0求出λ的值；即得到特征值； 特征值的线性无关的特征向量。 .2 对每一个λ，求方程组 λ )( =− OXEA 的基础解系；即得到属于这个 解 − = OXEA ))2((
10 B=4-30→4=42=-1,43=-2 线性无关 的特征向 10-2 量只有一个。 对=2=-1,51=(12-1)其全部特征向量为k51(k≠0) 对A3=-2 3-10 100 B+2E=4-104-10)0 0 100 3-10 →010→x1=02=0,x3意:→53=(00y 000其全部特征向量为k(k≠0) 5-13 EX:C=-15-3,(C)=2.,求a及C的特征值与特征向量。 3-3
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − = 201 034 011 B ⇒ λ = λ21 = − λ3 = −2,1 对 λ λ21 −== ,1 T)1,2,1( ξ1 −= ).0( 其全部特征向量为 ξ 1 kk ≠ 对 λ3 = − ,2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =+ 001 014 013 2EB ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 013 014 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 010 010 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 000 010 001 ⇒ = = ,0,0 xxx 321 任意； ).0( 其全部特征向量为 ξ 3 kk ≠ 线性无关 的特征向 量只有一个。 及求 CaCr 的特征值与特征向量。 a CEX ,2)(, 33 351 315 : = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = T)100( ξ 3 =⇒
3:特征值的求法公式:设λ为A的特征值,则 ()k的特征值; 非常重要的公 (i)0为"的特征值; 式,一定要背过。 (ti)f(2)为f(A)的特征值; (i)2为A的特征值 A可逆 (1)为A“的特征值; (vi)为A的特征值 4特征值与矩阵的关系公式:列,42…,是A4的特征值,则 ()412…=4 在求行列式时特别有用。 (i)1+2+…+n=a1 11a22+…+a nn 证明详见课本
3.特征值的求法公式： λ为设 A的特征值，则 )( λ为kAki 的特征值； )( λ 为Aii mm 的特征值； λ 为 Affiii )()()( 的特征值； )( λ 为Aiv −− 11 的特征值； 为A∗的特征值； A v λ )( )( 为 的特征值. T λ Avi A可逆。 非常重要的公 式，一定要背过。 4.特征值与矩阵的关系公式：λ λ21 L,,, λn是A的特征值，则 )( ; i 21 Lλλλ n = A )( . 21 n 2211 aaa nn ii λ + λ +L+ λ = + +L+ 证明详见课本。 在求行列式时特别有用
例:设三阶方阵的特征值为,-2,一3,求4及AA A2+2A+E的特征值 6 r的特征值:1-11.A的特征值:6-3-2 23 A2+2A+E的特征值:4,14 (4,2,5) 例2:设三阶方阵A的特征值为1,-1,2,求A+3E40 特征值与特征向量的性质 性质1:m阶矩阵A的相异特征值λ,42,…,2m所对应的 特征向量5152,…,m线性无关 证:用数学归纳法。 1°.m=,的特征向量1≠O25线性无关; 2.假设m-时结论成立,即
例1： 的特征值。 设三阶方阵 的特征值为 ，， ，求 ，，及 EAA A AAA ++ −− − ∗ 2 321 2 1 A = 6 ; 3 1 , 2 1 ,1: 1 −− A− 的特征值 例2：设三阶方阵A的特征值为 − ，， ，求 + EA .3211 三、特征值与特征向量的性质： 特征向量 线性无关。 阶矩阵：性质 的相异特征值 ，，， 所对应的 m An m ξξξ 40 λ λ λ ,,, 1 21 21 L L 证：用数学归纳法。 o m = ,1.1 λ1的特征向量 1 O,∴≠ ξξ 1线性无关； o.2 假设m −1时结论成立,即 −− ;2,3,6: A∗的特征值 2 .4,1,4: 2 ++ EAA 的特征值 (4,2,5)
A的相异特征值石,2…,2m-1所对应的特征向量 52;…,m-线性无关。下面证明m时成立 即证明A的相异特征值,2,…,n所对应的特征 向量52…,5m线性无关。回忆线性无关的证明方法! 设k151+k 252 +…+knE ms m O(1)左乘A k5+k252+…+km5n)=O(451=45) →k1411+k2252+…+km列m25m=O(2) (1)左乘m→k12m51+k2m2+…+km2mm=O(3) (2)减(3)得: 1(1-m)51+k2(12-1m)52+…+km=1(4m-1-1m)5m-1=O 由归纳假设51,52,…,Em=线性无关→k(4-m)=0 42=m≠0∴k1=0,1=1,2,…,m=1.代回(1)得:km=0
线性无关。 的相异特征值 ，，， 所对应的特征向量 21 1 21 1 ,,, − − m A m ξξξ λ λ λ L L 向量 线性无关。 即证明 的相异特征值 ，，， 所对应的特征 m A m ξξξ λλλ ,,, 21 21 L L 回忆线性无关的证明方法！ ( ξ + ξ 2211 +L+ ξ mm ) = OkkkA ξ + kk ξ +L+ ξ mm = Ok 设 2211 ⇒ λ ξ + kk λ ξ 222111 +L+ k λ ξ mmm = O （1） 左乘A （1）左乘 λm ⇒ λmξ + kk λmξ 2211 +L+ k λ ξ mmm = O （2） （3） （2）减（3）得： k λ11 − λm ξ + k λ221 − λm )()( ξ 2 +L+ k λ −− 11 − λ )( ξ mmmm −1 = O 由归纳假设ξ ξ 21 L,,, ξ m−1线性无关 ⇒ k λ − λmii = 0)( ∴≠− = = mik − .1,,2,1,00 Qλ λmi i L 代回（1）得：km = 0 下面证明m时成立。 )( A iii Q ξ =λξ
由归纳原理特征向量512…,与线性无关 推论: n阶矩阵A的相异特征值为入,2…,砚m25122…,Ei 是特征值所对应的线性无关的特征向量,则∑个特征 向量1 11912,91n1921,922,,2n2,9m1m2,,9mm 线性无关。 证明矩阵 性质2:相似矩阵有相同的特征值。有相同特 A~B→A-AE=B-4E 征值的方法 注:属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这 特征值的特征向量;但属于不同特征值的特征向量的 线性组合一般就不是特征向量了
由归纳原理特征向量ξ ξ 21 L,,, ξ m线性无关。 推论： 线性无关。 向量 ，， 是特征值 所对应的线性无关的特征向量，则 个特征 阶矩阵 的相异特征值为 ，，， m i r r mm mr m i i i iriim r An ξξξξξξξξξ λ λ λ λ ξ ξ ξ ,,,,,,, ,,, ,,,, 2222111211 21 1 21 21 L 1 2 LL L L L ∑ = 性质2：相似矩阵有相同的特征值。 ~ −=−⇒ λλ EBEABA 注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一 特征值 的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的 线性组合一般就不 是特征向量了。 证明矩阵 有相同特 征值的方法