中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（电子教案）第一讲 二次型

电子教案 目录 次型 基本要求 内容提要 实二次型及其矩阵 2.实二次型的标准形与规范形 3.惯性定理、正负惯性指数与符号差. 4.用可逆线性变换化二次型为标准形 5.矩阵合同 3333 6.实对称矩阵的性质 7.用正交变换化实二次型∫=AX为标准形 8.正定二次型与正定矩阵 9.正定二次型与正定矩阵判别法 典型例题 (一)正交变换下的标准型 (二)用配方法化二次型为标准型 (三)二次型的正定性

电子教案 目 录 二次型........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 实二次型及其矩阵 ........................................................................................ 2 2. 实二次型的标准形与规范形 .......................................................................... 2 3. 惯性定理、正负惯性指数与符号差................................................................ 3 4. 用可逆线性变换化二次型为标准形................................................................ 3 5. 矩阵合同 ...................................................................................................... 3 6. 实对称矩阵的性质 ........................................................................................ 3 7. 用正交变换化实二次型 f X AX T = 为标准形 ................................................. 3 8. 正定二次型与正定矩阵 ................................................................................. 4 9. 正定二次型与正定矩阵判别法....................................................................... 4 三、典型例题.............................................................................................. 4 （一）正交变换下的标准型................................................................................ 4 （二）用配方法化二次型为标准型................................................................... 12 （三）二次型的正定性..................................................................................... 13

二次型 基本要求 1.了解二次型及其矩阵表示 2.会用配方法和初等变换化二次型为标准形 3.熟练掌握用正交变换化实二次型为标准形 4.知道惯性定理与二次型的秩 5.了解实二次型的正定性及其判别法 二、内容提要 1.实二次型及其矩阵 f(x,x2,…,x)=∑∑qnxx,(an=a) =XAX 其中 a X=(x1 实对称矩阵A称为实二次型f=XAX的矩阵 2.实二次型的标准形与规范形 实二次型J=XAX可以经过可逆线性变换X=CY化为标准形: f=d1y+d2y2+…+dny2 可以经过可逆线性变换X=DY化为规范形

二次型 一、基本要求 1. 了解二次型及其矩阵表示； 2. 会用配方法和初等变换化二次型为标准形； 3. 熟练掌握用正交变换化实二次型为标准形； 4. 知道惯性定理与二次型的秩； 5. 了解实二次型的正定性及其判别法 . 二、内容提要 1. 实二次型及其矩阵 ( , , , ) ( ) 1 1 1 2 ij ji n i n j f x x xn =aijxi x j a = a = =  X AX T = 其中 A A a a a a a a a a a X x x x A T n n nn n n T n =             = ( , , , ) , = , 1 2 12 22 2 11 12 1 1 2         实对称矩阵 A 称为实二次型 f X AX T = 的矩阵. 2. 实二次型的标准形与规范形 实二次型 f X AX T = 可以经过可逆线性变换 X = CY 化为标准形： 2 2 2 2 2 1 1 n n f = d y + d y ++ d y 实二次型 f X AX T = 可以经过可逆线性变换 X = DY 化为规范形：

3.惯性定理、正负惯性指数与符号差 任一实二次型的规范形中,正项个数p与负项个数厂-P都是唯一的. p与一P分别称为相应实二次型的正、负惯性指数,P-(r-Pp)=2P-r称为符号差 4.用可逆线性变换化二次型为标准形 (1)配方法; (2)初等变换法 5.矩阵合同 对n阶矩阵A、B,若存在可逆矩阵G,使CAC=B,则称A与B合同 6.实对称矩阵的性质 (1)实对称矩阵的特征值都是实数: (2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交 (3)实对称矩阵可与对角形矩阵合同,相似 7.用正交变换化实二次型∫=XA为标准形 (1)求特征值解f()=E-4F0,得A的相异特征值4 1(t≤n) (2)求特征向量求[E-X=0的基础解系xn,X2,…,xm(=12 (3)正交化将xnX2,…,x正交化得f1B2,…,Bm2(=1.2,0 y B (4)单位化令 yny12,…yn(i=1,2,…D) (5)作正交矩阵 C=bu,…y4,…y2…yn…7,令x=Cr,则

2 2 1 2 2 1 p p r f = y + + y − y − − y  +  3. 惯性定理、正负惯性指数与符号差 任一实二次型的规范形中, 正项个数 p 与负项个数 r − p 都是唯一的. p 与 r − p 分别称为相应实二次型的正、负惯性指数, p − (r − p) = 2p − r 称为符号差. 4. 用可逆线性变换化二次型为标准形 （1）配方法； （2）初等变换法. 5. 矩阵合同 对 n 阶矩阵 A、B, 若存在可逆矩阵 C, 使 C AC B T = , 则称 A 与 B 合同. 6. 实对称矩阵的性质 （1）实对称矩阵的特征值都是实数； （2）实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交； （3）实对称矩阵可与对角形矩阵合同, 相似. 7. 用正交变换化实二次型 f X AX T = 为标准形 （1）求特征值 解 f () =| E − A |= 0 , 得 A 的相异特征值 , , , ( ) 1 2 t n    t  ； （2）求特征向量 求 [iE − A]X = 0 的基础解系 , , , ( 1, 2, , ) 1 2 X X X i t i i i  ir =  ； （3）正交化 将 i Xi Xi Xir , , , 1 2  正交化得 , , , ( 1, 2, , ) 1 2 i t i  i  i   ir =  ； （4）单位化 令 ij ij ij    1 = , 得 i i i ir  , , , 1 2  (i =1, 2,  , t) ； （5）作正交矩阵  t C i i t ti          11 1 21 2 1 , , , , , , , 1 2 = , 令 X = CY , 则

f=Ay2+2y2+…+y2 8.正定二次型与正定矩阵 f(x,x2…x)=∑∑axx 对实二次型 如果对任意一组不全为零的实数 x1=C1,x2=C2…xn=Cn,都有f(c,2…n)>0,则称f(x,x2,…,x)为正定二次 正定二次型J=XAX的矩阵A称为正定矩阵 9.正定二次型与正定矩阵判别法 n元实二次型∫=XAX为正定二次型 台f的正惯性指数p=n. A为正定矩阵. →A的顺序主子式全大于零. A的特征值全大于零 A与单位矩阵Ⅰ合同 三、典型例题 (一)正交变换下的标准型 例1设A、B都是实对称矩阵,证明存在正交矩阵C使CAC=B的充要条件是A与B有相 同的特征值 证充分性 设A与B的相同特征值为4,2,…n,又由于A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵 使

2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y ++  y 8. 正定二次型与正定矩阵 对实二次型 = = = n i n j n ij i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) , 如 果 对 任 意一 组 不 全 为零 的 实 数 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2  , 都有 ( , , , ) 0 f c1 c2  cn  , 则称 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 为正定二次 型. 正定二次型 f X AX T = 的矩阵 A 称为正定矩阵. 9. 正定二次型与正定矩阵判别法 n 元实二次型 f X AX T = 为正定二次型 f 的正惯性指数 p = n. A 为正定矩阵. A 的顺序主子式全大于零. A 的特征值全大于零. A 与单位矩阵 I 合同. 三、典型例题 （一）正交变换下的标准型 例 1 设 A、B 都是实对称矩阵, 证明存在正交矩阵 C 使 C AC B T = 的充要条件是 A 与 B 有相 同的特征值. 证 充分性 设 A 与 B 的相同特征值为   n , , , 1 2  , 又由于 A 是实对称矩阵, 所以存在正交矩阵 P, 使

Pl AP n (6-2) 又因为B也是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使 (6-3) 由式(6-2)、式(6-3)可得 P/AP=O BO (o)-PTAPQ-I=B 又,(Q)=(Q),故有(Q)PAPO1=B,即,(PQ-)APQ=B 因为PQ都是正交矩阵,所以Q及PQ也是正交矩阵 C=PO,则CAC=B 必要性 存在正交矩阵C使CAC=B,且CC=CC=E则 AE- BEAC C- C ACEC‖AE-ACHC‖E-ACHE-A 即A与B有相同的特征值 例2设A是阶实对称矩阵且A2=A,证明存在正交矩阵C使 其中1的个数等于R(A 证设λ是A的任一特征值,∝是A对应于λ的特征向量,则 Aa= 2a, Aa= A(Aa)= A(a)= 2(Aa)=2a 0

            = n T P AP     2 1 （6-2） 又因为 B 也是实对称矩阵, 所以存在正交矩阵 Q, 使             = n T Q BQ     2 1 （6-3） 由式（6-2）、式（6-3）可得 P T AP = QTBQ, Q P APQ B T T = −1 −1 ( ) 又, QT Q T ( ) ( ) −1 −1 = , 故有 Q P APQ B T T = −1 −1 ( ) , 即, PQ APQ B T = −1 −1 ( ) . 因为 P, Q 都是正交矩阵, 所以 Q−1 及 −1 PQ 也是正交矩阵. 令 −1 C = PQ , 则 C AC B T = . 必要性 存在正交矩阵 C, 使 C AC B T = , 且 C C C C E T = = −1 则 | | | | | || || | | || || | | | 1 E B C C C AC C E A C C E A C E A T T T − = − = − = − = − −      即 A 与 B 有相同的特征值. 例 2 设 A 是 n 阶实对称矩阵且 A = A 2 , 证明存在正交矩阵 C 使                   = 0 0 1 1   C AC T 其中 1 的个数等于 R(A). 证 设  是 A 的任一特征值,  是 A 对应于  的特征向量, 则 A = , A 2  = A(A) = A() = (A) =  2  ( ) 2  −   = 0,   0

故2-A=0,得=0或 又因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵C,使 由于C是可逆矩阵,故R(CAO=R(A),即CAC主对角线上1的个数等于R(D 例3设 求正交矩阵C使CAC为对角形 解(1)求特征值 J2E-AE A(-4) 特征值为=0(三重),2=4 (2)求特征向量 求4E-X=0的基础解系 1111 解之得基础解系 (-1,1,0,0)y,a2=(-1,0,1,0)y,a2=(-1,0,0,1) 将1,a2,a正交化

故 0 2  −  = , 得  = 0 或  = 1. 又因为 A 是实对称矩阵, 所以存在正交矩阵 C, 使                   = 0 0 1 1   C AC T 由于 C 是可逆矩阵, 故 R(C AC) R(A) T = , 即 C AC T 主对角线上 1 的个数等于 R(A). 例 3 设             = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 求正交矩阵 C 使 C AC T 为对角形. 解 （1）求特征值 ( 4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | 3 = − − − − − − − − − − − − − − − − − − =      E A 特征值为 0 1 = （三重）, 4 2 = . （2）求特征向量 求 [1E − A]X = 0 的基础解系             =                         − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 x x x x 解之得基础解系 T T T ( 1, 1, 0, 0) , ( 1, 0, 1, 0) , ( 1, 0, 0, 1) 1 = − 2 = − 3 = − 将 1 2 3  ,  ,  正交化：

B1=a1=(-1,1,0,0) B2=a2 B1=( (B1,B (a3,B1)a(a3,B2) 111 (B,B(B,B2) B2=( 再将月1,B23单位化 0,0) y B2 B2=( y P3 n3=√ 解L2E-Y=0,即 0 解之,得基础解系 c4=(1,1,1,1) 将a4单位化 2222

T ( 1, 1, 0, 0) 1 =1 = − T , 1, 0) 2 1 , 2 1 ( ( , ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 = 2 −  = − −       T , 1) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 = 3 − −  = − − −            再将 1 2 3  ,  ,  单位化： T , 0, 0) 2 1 , 2 1 ( 1 1 1 1 =  = −   T , 0) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 1 2 2 2 =  = − −   T ) 2 3 , 6 3 , 6 3 , 6 3 ( 1 3 3 3 =  = − − −   解 [2E − A]X = 0, 即                 =                                 − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 4 3 2 1 x x x x 解之, 得基础解系 T (1, 1, 1, 1)  4 = 将  4 单位化： T       = = 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 1 4 4 4    （3）令

√2√662 √2√662 0 √662 00 22 则有 例4用正交变换化二次型 f∫=x1+4x2+4x2-4x1x2+4x1x3-8x2x3 为标准形 解f的矩阵为 l-22 A=-24-4 A的特征多项式为 2 λ-44=x(A-9) A的特征值为=0(二重),2=9 AE-A=2-44→000 可得A对应于4的两个线性无关特征向量为 (4,1,-1) 显然a1,a2已经正交

                        − − − − − − = 2 1 2 3 0 0 2 1 6 3 6 2 0 2 1 6 3 6 1 2 1 2 1 6 3 6 1 2 1 C 则有                 = 4 0 0 0 C AC T 例 4 用正交变换化二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 4x + 4x − 4x x + 4x x − 8x x 为标准形. 解 f 的矩阵为           − − − − = 2 4 4 2 4 4 1 2 2 A A 的特征多项式为 ( 9) 2 4 4 2 4 4 1 2 2 | | 2 = − − − − − − − =      I A A 的特征值为 0 1 = （二重）, 2 = 9           − →           − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 4 4 2 4 4 1 2 2 1E A 可得 A 对应于 1 的两个线性无关特征向量为 T T (0, 1, 1) , (4, 1, 1) 1 =  2 = − 显然 1 2  ,  已经正交

82 A2E-A=254→0 245|000 得A对于4的特征向量为 A=0月=: B3=( ) 作正交变换 y √3√23 则 例5已知二次型f(x,x2,x3)=2x+3x2+3x3+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形 f=y2+2y2+5y2 (1)求参数a及所用的正交变换矩阵 (2)2x2+3x2+3x3+2ax2x3=1表示什么曲面? 解二次型f的矩阵为 A 200 A的特征多项式为 20 AE-A|=02-3-a a 2

          − − − − →           − − − = 0 0 0 0 9 9 2 4 5 2 4 5 2 5 4 8 2 2  2E A 得 A 对于 2 的特征向量为 T (1, 2, 1)  3 = − 将 1 2 3  ,  ,  T ) 2 1 , 2 1 (0,  1 = T ) 3 2 1 , 3 2 1 , 3 2 4 (  2 = − T ) 3 2 , 3 2 , 3 1 (  3 = − 作正交变换                               − = −             3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 4 0 y y y x x x 则 2 9 3 f = y . 例 5 已知二次型 ( , , ) 2 3 3 2 ( 0) 2 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = x1 + x + x + ax x a  通过正交变换化成标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + 2y + 5y . （1）求参数 a 及所用的正交变换矩阵； （2） 2 3 3 2 2 3 1 3 3 2 2 2 x1 + x + x + ax x = 表示什么曲面？ 解 二次型 f 的矩阵为           = 0 3 0 3 2 0 0 a A a A 的特征多项式为 0 3 0 3 2 0 | | − − − − − − − =     a E A a ( 2)( 6 9 ) 2 2 =  −  −  + − a

由题设可知A的特征值为 A1=1,A2=2,A3=5 将41=1代入E-A=0,得 2-4=0.a=±2 A=032 因a>0,故取a=2,这时, 023 对于列1=1,解4E-A|X=0,即 解得对应的特征向量为a1=(01-1) 对于2=2,解2E-AX=0,即得对应的特征向量为az2=(1,0.0) 对于1=5,解41E-4X=0,可得对应的特征向量为a3=(01)7 将叫,a2,c3单位化: P k=1 B2 a2=(1,0,0)7 B3 a3 故所用正交变换的矩阵为 010

由题设可知 A 的特征值为 1, 2, 5 1 = 2 = 3 = 将 1 1 = 代入 | E − A |= 0 , 得 4 0, 2 2 a − = a =  因 a  0 , 故取 a = 2 , 这时,           = 0 2 3 0 3 2 2 0 0 A . 对于 1 1 = , 解 | 1E − A| X = 0, 即           =                     − − − − − 0 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 0 3 2 1 x x x 解得对应的特征向量为 T (0,1, 1) 1 = − . 对于 2 2 = , 解 | 2E − A| X = 0, 即得对应的特征向量为 T (1, 0, 0)  2 = . 对于 5 3 = , 解 | 3E − A| X = 0 , 可得对应的特征向量为 T (0,1,1)  3 = . 将 1 2 3  ,  ,  单位化： T ) 2 1 2 1 (0, 1 1 1 1 =  = −   T (1, 0, 0) 1 2 2 2 =  =   T ) 2 1 , 2 1 (0, 1 3 3 3 =  =   故所用正交变换的矩阵为                 − = 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 T ；