线性方程组 齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 nn axu taxo t.tax=0 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 12 X1 AX=O A 21 22 a2n 2 方程组的 矩阵形式 2 mn
线性方程组 一、齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 222121 2 212111 1 m m nmn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L LLLL L L ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n x x x X M 2 1 = OAX 方程组的 矩阵形式
齐次线性方程组解的性质 O (0,0,…0)显然是方程组的解;称为零解 若非零向量= T C1,C,……,C 是方程组的解,则称为非零解, 也称为非零解向量。 性质1:齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即: 512是解向量,则51+2也是解向量 性质2:ξ是解向量,则k也是解向量。 令V=145=0)则构成一个向量空间。称为方程组 的解空间
齐次线性方程组解的性质 T O )0,,0,0( 0 0 0 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 显然是方程组的解；称为零解。 若非零向量 T n n aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ = 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 性质 1：齐次方程组的两个解的 和仍是方程组的解。即： ξ ,ξ 21 是解向量，则 ξ + ξ 21 也是解向量。 性质 2：ξ是解向量，则 kξ也是解向量。 令 { ξξ == OAV } 称为方程组 的解空间 。 则V 构成一个向量空间
若齐次线性方程组的解空间存在一组基51,52,…,5s,则方程组的全 部解就是k151+k252+…+k5s,这称为方程组的通解。 由此可见,要求方程组的全部解,只需求出其基。 定义:若齐次方程组的有限个解51252…5s,满足: (1)5122,…,5线性无关; (i)方程组的任一解都可由51,52,…,5线性表示 则称52…,5是齐次方程组的一个基础解系。 也就是说,我们将解空间的基称为基础解系,此时,通解就是 基础解系的线性组合,即为 k121+k 252 +…+k S5S 齐次线性方程组基础解系的求法 1行最简形矩阵:
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 ,,,, ξ ξ 21 L ξ s 则方程组的全 部解就是 , 2211 ss ξ + kk ξ + L + k ξ 这称为方程组的通解 。 由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。 定义：若齐次方程组的有限个解 ,,,, ξ ξ 21 L ξ s 满足： i ξ ξ 21 L,,,)( ξ s线性无关； ii)( 方程组的任一解都可由ξ ξ 21 L ,,, ξ s线性表示； 则称 ξ ξ 21 L ,,, ξ s是齐次方程组的一个基础解系。 ss ξ + kk ξ 2211 + L + k ξ 齐次线性方程组基础解系的求法 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 1.行最简形矩阵：
12 n 设r(4)→r<n,且不妨设A中最左 A 21 22 a2n 上角的r阶子式不为零。则经有限 次行初等变换,矩阵A化为: m mn 10 I(n-r) 显然:A= 01…0b21…b2 )行最简形 00 m×n r(n-r) 00 00 0 AX=O与 ⅨX=O同解 00
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − × 0000 0 0000 0 100 010 001 1 )( 21 )(2 11 )(1 L L MLMMLMM L L L L MLMMOMM L L L L r rnr rn rn nm bb bb bb I 显然： 设 r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： A ≅ I 同解。 与 OIX OAX = = 行最简形
IX=O为 +b1xr+1+…+b r(n-r) 0x1x2,,x 2+b21xr+1 +…+b2( 真未知量 n-r)n r+1,r+2 x+bn1xr+1+…+b (n-r)n 自由未知量 X1= (b1xr+1+…+b x r(n-rn X1.x x,由自由未知量 x2=-(b21x7+1+…+b2(n-)xn) r+1,r+2,…,n 惟一确定 rl r+1 n-r'n (xr+1x+2,…,xn)构成一向量空间, 其基含有n-r个向量,最简单的一组基为 5n-
= OIX 为： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++ = +++ = +++ = + − + − + − 0 0 0 11 )( 1212 )(2 1111 )( rrr nrnr r nrn r nrnr xbx xb xbx xb xbx xb L LLLL L L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++−= ++−= ++−= + − + − + − ( ) ( ) ( ) 11 )( 1212 )(2 1111 )( rrr nrnr r nrn r nrnr xbx xb xbx xb xbx xb L LLLL L L r ,,, xxx 21 L 真未知量 rr n ,,, xxx ++ 21 L 自由未知量 r ,,, xxx 21 L rr n ,,, xxx ++ 21 L 由自由未知量 惟一确定 { } : ,,, 21 其基含有 个向量，最简单的一组基为 （ ）构成一向量空间， rn rr xxxV n − = ++ L rneee − ,,, 21 L
r+1 1)(0(0 2 I(n-r) r 201.0x2-b2 22 e(n-1 0丿(0 b 2 r(n-1 x2=(b ()5 1,52,,n-r 线性无关 x1)(1)任一解都可由5,52…,n线性表示。 2 l(n-r)02(n-r) 0.0. n-1 r(n-r)
= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r x x x M 2 1 ( ) T r n bbb x x x 0,,0,1,,,, 2111 1 2 1 1 L L M −−−= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ = , 1 21 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − b r b b M , 2 22 12 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − b r b b M ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − )( )(2 )(1 rnr rn rn b b b M ( )T rnrrnrn n rn bb b x x x 1,,0,0,,,, )()(2)(1 2 1 L L M − − −−= − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ = L , 0 0 1 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + M M n r r x x x , 0 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 M i ξ ξ 21 L,,,)( ξ −rn 线性无关； ii)( 任一解都可由 ξ ξ 21 L ,,, ξ − rn 线性表示。 L L
51252…,n-是解空间的一组基,也就是一组基础解系 从推导过程可以看出:基础解系不惟一,但所含向量个数相等,都 等于n-r(4) 综上有 定理:若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)=r<n, 则它有基础解系,且基础解系所含解向量的个数为n-r。 必须牢记:基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1:对齐次线性方程组,有 若r(4)=n则方程组有惟一零解; 若r(4)=F<n,则方程组有无数多解,其通解为 k151+k22+…+k n-ron-1 51252,…n是解空间的一组基础解
∴ξ ξ 21 L,,, ξ −rn 是解空间的一组基，也就是一组基础解系。 从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都 等于 n - r(A). 综上有： 则它有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为 。 定理：若齐次线性方程组的系数矩阵 的秩 ， rn nrArA − )( = < 必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=r<n ，则方程组有无数多解，其通解为 rnrn kk k ξ + ξ 2211 +L+ ξ −− ξ ξ 21 L,,, ξ −rn 是解空间的一组基础解系
例1:求方程组的通解|x1+2x2-x2=0 2x1+3x 2 +x2=0 解 4x1+7x2-x3=0 12 2-1 A=231 0-13→013 r2 2 n1 0-13 000 05 105)同解方程组为x3=1→ )0-13 01-3 5x 000 000 x 2 x 2 3 基础解系为5=(-531)通解为k=K(-31)7
例 1：求方程组的通解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ =−+ 74 0 032 2 0 321 321 321 xxx xxx xxx 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 174 132 121 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → − 310 310 121 12 2rr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 000 310 121 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −→ 000 310 501 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 000 310 501 ⎩ ⎨ ⎧ = −= 32 31 3 5 xx xx 同解方程组为 x 3 = ,1 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = −= 3 5 2 1 x x 基础解系为 T ξ −= )1,3,5( 通解为 T ξ kk −= )1,3,5(
例2:求方程组的通解(x1-x2-x3+x4=0 X2+x 1-2 Bx 4 1-x2-2x3+3x4=0 A=1-11-3002-4-001-2 -1-23 00-12 0000 →001-2 mtx 同解方程组为 1 2 4 0000 3=2x x 2 → 基础解系为:=(110052=(1.021)通解为k151+k2
例 2：求方程组的通解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−− =−+− =+−− 032 03 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = 3211 3111 1111 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− → 2100 4200 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → 0000 2100 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → 0000 2100 1011 同解方程组为 , 0 1 4 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x , 0 1 3 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ x x T)0,0,1,1( ξ1 = T)1,2,0,1( 基础解系为： ξ 2 = ξ ξ 2211 通解为 + kk x 1 = x 3 = 42 + xx 2 4 x { ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1
E 设A,B为m阶方阵且AB=O,证明r(4)+r(B)≤n 证:AB=O,设B=(B1B2…,Bn) AB1=O,=1,2,…n →B1,B2…,Bn都是AX=O的解向量, →r(B1B2…,Bn)≤n-r(A)∴r(A)+r(B)≤n 推论2:n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零
Ex: , 为设 nBA 阶方阵且 = 证明 + )()(, ≤ nBrArOAB 证：Q = OAB , ),,( 设B = β β ,2,1 L β n 则 β i = = L,,2,1, niOA ⇒ β β ,2,1 L , β n都是 = OAX 的解向量， )(),( ⇒ r β β ,2,1 L β n ≤ − Arn ∴ + )()( ≤ nBrAr 推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零