二次型及其标准形: 定义1:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x12x2…,xn)=a1x1+2a12x1x2+2a132x1x3+…+2a1nx1xn +a22x2+2a23x2x3+…+22mx2xn tax 33 3 +∴+2a 3n3 +……+an,x n n 称为n元二次型,简称为二次型。 定义2: V1=C11X1 C12x2 +.+Clnxn 若线性变换 V2=C21x1 C22x2 +..+ C2nIn CuIX1 +C nI x2 t.t Cnx n22 in n
一、二次型及其标准形 ： 定义 1：含有 个变量 21 L ,,, xxxn n的二次齐次多项式 n nn xxaxxaxxaxaxxxf 31132112 11 2 21 L ),,,( 111 += 2 + 2 L++ 2 nn xxaxxaxa 3223 22 2 222 ++ 2 L++ 2 nn 33 xxaxa 2333 L+++ 2 + L 2 nnn + xa 称为 n元二次型，简称为二次型。 定义 2： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++= +++= +++= nnn nnn nn nn xcxcxcy xcxcxcy xcxcxcy L LLLL L L 2211 2221212 2 2121111 1 若线性变换
的矩阵(c1 11 可道,则称线性变换为可逆 21C22 C2n线性变换; n×n 正交,则称线性变换为正交 变换。 nI Cn2 定义3:只含平方项的二次型,即形如 f(x2x2…,xn)=d1x2+d2x2+…+dnx2 称为二次型的标准形(或法式) 二、二次型的矩阵表示法: 设 则
的矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × = nn nn n n nn ccc ccc ccc C L MOMM L L 21 2221 2 1211 1 正交，则称线性变换为正交 变换。 定义 3： 2 2 22 2 21 11 ),,,( n nn L L+++= xdxdxdxxxf 只含平方项的二次型，即形如 称为二次型的标准形（或法式）。 二、二次型的矩阵表示法： 可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 设 = aa jiij ，则
f(1,x2,,xn)=a11-x1+a12x1x2+a13x1x3+.+anxin + a21x2x1 a22x2+a23I2x3+.+a2nx2xn tanlInx1tan2xnx2tan3xnx3t,,tannin C1x1+a10X+…+a1nxX nn "a21x1+a2x2+…+a2nxn aIX1tanx2 +.tax nnn x a x X1.x 2 n n2 nn n X AX 二次型的矩阵表示式
n nn xxaxxaxxaxaxxxf 31132112 11 2 21 111 L ),,,( L++++= nn xxaxxaxaxxa 3223 22 2 2221221 L+++++ 2 211 2 nnnnnn 33 nnn ++ L+++ xaxxaxxaxxa + LL ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n x x x M 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn nn n n aaa aaa aaa L MOMM L L 21 2221 2 1211 1 ),,,( 21 n = L xxx ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ +++ nn nnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L LLLL L L 2211 222121 2 212111 1 ),,,( 21 n = L xxx X AX T = 二次型的矩阵表示式
11a12 二次型的矩阵 A= 21 22 (显然这是实x=2 对称阵) 2 定义4:设二次型f(x1,x2,…xn)=XAX则称对称矩阵A 的秩为二次型f的秩。 三、二次型经可逆变换后的矩阵: f(x1,x2,…xn)=XAX 作可逆变(CY)ACy)=y(CACy 换X=CY B=CAC→B1=B,YBY为二次型且A与B合同, r(A)=r(B).由上讨论可得:
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = nn nnnn aaa aaa aaa A L MOMM LL 21 2221 2 1211 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = n xxx X M2 二次型的矩阵 1 （显然这是实 对称阵） 定义4： ),,,( 21 n L xxxf X AX T 设二次型 = 则称对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩。 三、二次型经可逆变换后的矩阵： ),,,( 21 n L xxxf X AX T = =CYX = 换 作可逆变 ACCB T = = BrAr ).()( 由上讨论可得： YACCYCYACY T TT = )()()( , BYYBB 为二次型且 与BA 合同, TT =⇒
定理1一次型/(x1x2xm)≥=X74X经可逆线性变换 X=CY变成新变元的二次型f=YBY,它的矩 阵B=CAC且r(A)=r(B) 四、正交变换化二次型为标准形:A 问题1:标准形的矩阵=? 问题2:将二次型化为标准形实际上是什么问题? 找可逆阵C,使CAC=A为对角阵 问题3:二次型能否化为标准形? 能!因为任意实对称阵都与对角阵正交合同
定理1 ).()( , ),,,( 21 BrArACCB CYX BYYf AXXxxxf T T T n = = = = = 阵 且 变成新变元的二次型 它的矩 二次型 L 经可逆线性变换 四、正交变换化二次型为标准形： ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =Λ n d d O 1 将二次型化为标准形实际上是什么问题？ 找可逆阵 ,使 ACCC Λ= 为对角阵. T 问题1：标准形的矩阵 = ？ 问题3：二次型能否化为标准形？ 能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。 问题2：
定理2对实二次型f=XAX,总有正交变换X=QY,使 f=X AX=(QY)A(QY=Y(Q AQY=Y Ar +2y2 +…+An12 nvn A1,…,为∫的矩阵A的特征值。 将二次型化为标准形的一般步骤: ()写出二次型的矩阵A (i)求出A的所有相异的特征值气12…m
定理2 对实二次型 = T AXXf ,总有正交变换 = QYX ,使 YYYAQQYQYAQYAXXf T T TT T == = )()()( Λ= 2 2 22 2 11 nn λλ yy L+++= λ y n为 的矩阵 Af 的特征值。 n λλ λ λ ,,, 1 1 O L ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =Λ 将二次型化为标准形的一般步骤： (i) 写出二次型的矩阵 A； )( ;,,, 求出Aii 的所有相异的特征值λ λ21 L λm
i)对每一个重特征值,求出对应的个线性无关的特 征向量552…5m(=12,…,m)性质知∑h=n (i)用施密特正交化方法将每一个重特征值所对应的 个线性无关的特征向量51252…,Em:(i=12,…,m) 先正交化再单位化为m1,2…1m7(=12,…,m) 它们仍为属于的特征向量。 (v)将上面求得的正交单位向量作为列向量,排成一个 n阶方阵Q,则Q即为所求的正交方阵。此时 Q-4Q=Q4Q=A为对角阵。 (v)作正交变换X=QY,即可将二次型化为标准形 f=X AX=(QY)A(Y=Y(Q AQY=YAr
它们仍为属于 的特征向量。 先正交化再单位化为 ； ， 个线性无关的特征向量 ； 用施密特正交化方法将每一个重特征值 所对应的 i irii i irii i mi r mi iv i i λ ηηη ξξξ λ ),,2,1(,,, ),,2,1(,,, )( 21 21 L L L L = = 为对角阵。 阶方阵 ，则 即为所求的正交方阵。此时 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 Λ== − AQQAQQ QQn v 1 T )( ),,,2,1(,,, . )( 1 21 mi nr iii r m i irii i i i i = ∑ = = 征向量 ； 由性质知 对每一个重特征值 ，求出对应的 个线性无关的特 L ξξξ L λ vi)( 作正交变换 = QYX , YYYAQQYQYAQYAXXf T T TT T == = )()()( Λ= 即可将二次型化为标准形
用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理。 例1:用配方法化二次型为标准形,并求可逆变换矩阵 f(x1,x2,x3)=x12+2x2+5x32+2x1x2+4x2x3 解:f(x1x2,x3)=x2+2x2+5x32+2x1x2+4x2x3 =(x1+2x1x)+2x2+5x32+4xx 2x3 =(x1+x2)2+x2+5x32+4x2x3 (x1+x2)2+(x2+2x3)2+x3 2 2 =y1+y2+y3 y1=x1+x2X1=y1-y2+2y3 y2=x2+2x31x2=y2-2y3C=0 y3=3 3=y3 001
自学：用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理。 例 :1 用配方法化二次型为标准形,并求可逆变换矩阵。 3221 2 3 2 2 2 1321 解 ++++= 4252),,(: xxxxxxxxxxf 32 2 3 2 221 2 （ 1 ） ++++= 4522 xxxxxxx 32 2 3 2 2 2 21 ）（ ++++= 45 xxxxxx 2 3 2 32 2 21 （）（ 2 ） ++++= xxxxx 2 3 2 2 2 1 ++= yyy ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += += 33 322 211 2 xy xxy xxy ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= +−= 33 322 3211 2 2 yx yyx yyyx 3221 2 3 2 2 2 1321 ++++= 4252),,( xxxxxxxxxxf ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 100 210 211 C
例2设二次型(x,x2,x3)=x2+x2+cx32+4x1x3+4x2x3 的秩为2。 1.求参数c 2求一可逆变换将该二次型化为标准形 3f(x12x2,x3)=1是什么曲面? 由f(x1:x2,x3)=x12+x2+cx32+4x1x3+4x2x3的秩为2 →系数矩阵A的秩为2,→C=8 f(x1,x2,x3)=x12+x2+8x32+4x1x3+4x2x3 2 (x1+2x3)2+(x2+2x3)2=+y2 y1=x1+2x3 y1-2y 0-2 y2=x2+2x31x2=y2-2y3C=01 y3=x3 x3=y3 00
的秩为 。 例 设二次型 2 .2 ),,( 44 3231 23 22 21321 ++++= xxxxcxxxxxxf 1),,(.3 ? .2 ; ;.1 321 是什么曲面 求一可逆变换将该二次型化为标准形 求参数 xxxf = c ),,( 44 2 3231 23 22 2 由 1321 ++++= xxxxcxxxxxxf 的秩为 c =⇒ 8 2 32 2 31 +++= xxxx )2()2( 3231 2 3 2 2 2 1321 ),,( ++++= 448 xxxxxxxxxxf 2 2 2 1 += yy ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = += += 33 322 311 2 2 xy xxy xxy ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −= −= 33 322 311 2 2 yx yyx yyx ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− = 100 210 201 C ⇒ 系数矩阵A的秩为 ,2
由4-E=0→4的特征值为石=0,42=1,13=9 在正交变换下,可将∫=1化为y2+9y32=1为椭圆
由 λ 0 ⇒=− AEA 的特征值为 λλλ 321 === 9,1,0 。 ∴在正交变换下，可将 f = 1化为 19 23 22 yy =+ 为椭圆 柱面