线性代数 辅导
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行列式的计算 1.、三阶行列式的计算 对二、三阶行列式,可使用行列式的展开式(即对角 线法则)直接计算: 12 1022 12021 2 12 120l3+a122331+a132 22 12231-12332-a12a213 也可以利用行列式的性质进行计算
行列式 的计算 1.二、三阶行列式的计算 对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角 线法则）直接计算： , 21122211 2221 1211 aaaa aa aa −= . 332112322311312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa −−− ++ = 也可以利用行列式的性质进行计算
例1.设a,B,是方程x3+px+q=0的根,求行列式 D=yaB的值 解I(利用展开式计算)因为a,B,是方程x3+px+q=0 的根,故有 pa-q B'=-pB-g r =-pr-q Kx+px+q=(x-a(x-B(x-r 对比上式两边同次幂的系数,得
，，设例 γβα 是方程 1. 3 qpxx =++ 的根， 0 求行列式 的值. αγβ βαγ γβα D = I 0 3 解（利用展开式计算）因为 ，， γβα 是方程 qpxx =++ , , , 3 3 3 qp qp qp −−= −−= −−= γγ ββ αα 的根，故有： ).)()(( 3 及 xxxqpxx −−−=++ γβα 对比上式两边同次幂的系数，得：
a+B+r=0, aBy =-q 从而 D=y a B=a+B+r'-3aBr=-p(a+B+r)-3q+3q=0 Br 解(利用行列式的性质计算)因为a,B,y是方程x3+px+q=0 的根,故有 x'+px+q=(x-a(x-B(x-r) 对比两边同次幂的系数,得: a+B+r=0, aBr
α + β + γ = ,0 αβγ = −q. 从而 .033)(3 333 D = p γβααβγγβα qq =+−++−=−++= αγβ βαγ γβα II 0 3 解 （利用行列式的性质计算）因为 ，， γβα 是方程 qpxx =++ 的根，故有 ).)()(( 3 xxxqpxx −−−=++ γβα 对比两边同次幂的系数，得： α + β + γ = ,0 αβγ = −q
从而 a+B+r a+B+r a+B+y000 D=lr a Br+r2+r r ra B=0 B r a B 例2设a=(0,-1),矩阵A=a,n为正整数,求aE-f 解由于aa=00-1)02,利用矩阵乘法的结合律有 A=(aa (aa=ala'a)a=2aa=2A
从而 .0 000 321 = = ++++++ = ++ αγβ βαγ β γ α γ α β γβαγβαγβα αγβ βαγ γβα D rrr A ,)1 0 1( .2 . T T n α ，，设例 −= 矩阵 αα ，＝ n为正整数，求 − AaE 解 由于 ＝( ) 2，＝ 1 0 1 1 0 1 T ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛− αα − 利用矩阵乘法的结合律有： ,22)())(( 2 TT TT T A = ＝ αααααααααα == A
依次类推,有A=2n1A 又 A=0 故有 aE-A=laE-2m-1 0 (a-2) 0a-2n-1
.2 1 AA nn − 依次类推，有 = ( ) ， － － 又 ＝ ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛− = 1 01 0 00 101 1 0 1 1 01 A ).2( 202 0 0 202 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n aa a a a AaEAaE −= − − =−=− − − − − − 故有
2阶行列式的实算方法不 (1)利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算 01b 例3.求D 解D201 按c展开-1-1c-b c-a d-a c-a
2. n阶行列式的典型计算方法（n≥4） (1) 利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算 . 011 101 110 .3 4 dcba c b a 求例 D = abdacb bc a abdacb bc b a D c arr rr −− −−− −− −− − − 11 11 0 110 101 110 1 24 23 解 4 按 展开
c-d -,5一b-0 2c-a-b按展开 c-a-b d-2ab 0 c-a-b d-2ab 2(d-2ab)+(c-a-b)2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc+2d 注:一边化简行列式,一边将行列式按行或列展开将行列式降 阶,这种方法有助于计算行列式 a b b b 例4.求Dn= b b
)()2(2 .2222 2 2 0 2 20 11 2222 , 1312 1 dbcacabcbabacabd abdbac bac abdbac bac a brrrr c +−−−++=−−+−= −−− −−− − −−− −− −−−− 按 展开 注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降 阶，这种方法有助于计算行列式. .4 . abbb bbab bbba Dn L MMMM L L 求例 =
解 a+(n-1)b a+(n-1)b. . a+(n-1)b a+(n-1)b b ni+2+…+Fn b C b b a+(n-1)b b b b 0 a-b 00 -bn,=2n[a+(n-1)b [a+(n-1)b](a-b) 00 0 a-b
b b b a b a b b )b(n-a)b(n-a)b(n-a)b(n-a D nrrr n L M M M M L L L 1 1 1 1 21 + + + + +++ 解 abbb bbab bna L MMMM L L 1111 −+= ])1([ ba ba i nibrr bna − − =− −+ 000 0 00 1111 ~2, ])1([ 1 L MMMM L L .)]()1([ −1 −−+= n babna
这一行列式的特点是只有两个数,主对角线上的元素全为 其他位置上的数全为b,根据这一特点,将第2至第n行(列 都加到第1行(列)上去,从而第1行(列)变成相同的数,进一步 将该行列式化为三角形行列式求出其值.对于这类题目,用这 种方法是最简便的 例5求Dn=: 1+an-1 1+a 解Ⅰ此题可仿照例4,将第2列至第n列都加到第1列上去做 (略)
这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为 a,其他位置上的数全为 b，根据这一特点，将第 2至第 n 行 ( 列 ) 都加到第 1 行 ( 列 )上去，从而第 1 行 ( 列 )变成相同的数，进一步 将该行列式化为三角形行列式求出其值. 对于这类题目，用这 种方法是最简便的. . 1 1 1 1 5 1 2 1 1 2 1 1 2 1 21 1 n n n n n n n n n aa aa aa aa aaaa aa aa D + + + + = − − − − L L MM MM L L 求例 解I 此题可仿照例 4，将第 2列至第 n列都加到第 1列上去做. （略）