中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（试题）2005—2006学年第一学期线性代数试题

2005—2006学年第一学期线性代数试题及答案 填空题:(每小题4分共32分。力学、包装、材料、测控、生医、自动、物流、电力、 热工、交通专业做第1——8小题,其他各专业做第1,4—7及9-11小题) 304 222 1.设行列式D 则第4行各元素余子式之和的值为-28 3-2 2.设A、B为3阶可逆方阵且A=2,则B2B=4 123 00 3 3.设A=456}P=010g=001则P2g32=465 789 100 010 798 4.设维行向量a=20…02)矩阵4=E-aa,B=E+2c 其中E为阶单位阵,则AB=E 5.设A=4t3,B为三阶非零矩阵,且AB=0,则t=-3 设三维向量空间的一组基底为a1=(1,1,0),a2=(1,0,1), a3=(0,1,1),则向量B=(2,0,0)在此基底下的坐标是①1,1,=1)。 7.已知方程组23a+2x2|=3|无解,则a= 13 8.设A=030,P可逆,则PAP的特征值为 001 设矩阵A23B=2-34+2E则B1={01 2

2005—2006 学年第一学期线性代数试题及答案 一、填空题：（每小题 4 分共 32 分。力学、包装、材料、测控、生医、自动、物流、电力、 热工、交通专业做第 1——8 小题，其他各专业做第 1，4——7 及 9——11 小题） 1．设行列式 D= 5 3 2 2 0 7 0 0 2 2 2 2 3 0 4 0 − − , 则第 4 行各元素余子式之和的值为 -28 。 2．设 A、B 为 3 阶可逆方阵且 A = 2, 则 = − B A B 1 2 4 。 3. 2 3 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 8 9 4 5 6 1 2 3 设A ，P Q 则P AQ           =           =           = =           7 9 8 4 6 5 1 3 2 。 4． 设n维行向量＝ )，矩阵A E  T，B E 2 T， 2 1 ,0, ,0, 2 1 (  = − = + 其中E为n阶单位阵，则AB = E 。 5. 设           − − = 3 1 1 4 3 1 2 2 A t ，B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则 t = -3 。 6. 设三维向量空间的一组基底为 1 = （1，1，0），  2 = （1，0，1），  3 = （0，1，1），则向量  = （2，0，0）在此基底下的坐标是 (1,1,-1)。 7．已知方程组           =                     − + 0 3 1 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 x x x a a 无解，则 a = -1 。 8．设 A=          − 0 0 1 0 3 0 1 2 0 ，P 可逆，则 P AP −1 的特征值为 -1，3，1 。 9．设矩阵         − = 2 3 1 1 A , = − + = 2 −1 B A 3A 2E,则B         −1 −1 2 1 0

10.设4阶矩阵A= 则A的特征值是4,0,0,0。 1.若二次型f(x1,x2,x3)=2x2+x2+x3+2x1x2+B2x3是正定的,则t的取值范围是 <t<√2。 、选择题:(每小题3分共21分。力学、包装、材料、测控、生医、自动、物流、电力 热工、交通及电信科、光信科、环工、环科专业第做1——7小题,其他各专业做第3--9 小题) 1.设n阶方阵A的伴随矩阵为A”且4=a≠0,则A=(C)。 (A) (C)an-I ()a Asa 1 a a 设 r(4)=3,则 (A)1 (B)-1 D)-3 3.设A,B为n阶方阵且AB=0,则必有(C) (A)A=0或B=0, (B) BA=0: C)|4=0或B=0 (D)4+|B=0 4.若向量组a,B,y线性无关;a,B,δ线性相关,则(C)。 (A)a必可由B3,y,δ线性表示 (B)B必可由∝,y,d线性表示; (C)δ必可由a,B,y线性表示 (D)δ必不可由a,B,y线性表示。 5.设a1,a2,…as均为n维向量,下列结论不正确的是(B)。 (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使k1a1+k2a2+…+kss≠0,则

10．设 4 阶矩阵               = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，则 A 的特征值是 4，0，0，0 。 11．若二次型 1 2 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x + x + 2x x + tx x 是正定的，则 t 的取值范围是 − 2  t  2 。 二、选择题：（每小题 3 分共 21 分。力学、包装、材料、测控、生医、自动、物流、电力、 热工、交通及电信科、光信科、环工、环科专业第做 1——7 小题，其他各专业做第 3——9 小题） 1．设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为  A 且|A| = a ≠ 0，则|  A | =（ C ）。 （A）a (B) a 1 (C) a n−1 (D) a n 2．设 = =               = r A a a a a a a a a a a a a a A , ( ) 3,则 1 1 1 1 （ D ）。 （A）1 (B) −1 (C) 3 1 (D) 3 1 − . 3．设 A,B 为 n 阶方阵且 AB = 0 ，则必有（ C ）。 （A） A = 0或B = 0, ； （B） BA = 0 ； (C) A = 0或B = 0 ； (D) A + B = 0 。 4. 若向量组 , , 线性无关； , , 线性相关，则（ C ）。 （A）  必可由  , , 线性表示； （B）  必可由 , , 线性表示； （C）  必可由 ,  , 线性表示； （D）  必不可由 ,  , 线性表示。 5．设    s , , , 1 2  均为 n 维向量，下列结论不正确的是（ B ）。 （A）若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，使 s s k11 + k2 2 ++ k  ≠0，则

a1,a2,…,a线性无关 (B)若a1a2,…,s线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,有 kia+k2 (C)a12a2,…,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D) ax线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 0, 6齐次线性方程组{x1+x2+x3=0,的系数矩阵记为A,若存在三阶非零矩阵B使得 x1+x+Ax3=0 AB=0,则(C)。 (A)A=-2且|B=0 (B)=-2且|B|≠0 (C)=1且|B=0 (D)4=1且|B|≠0。 7.设有齐次线性方程组AX=0和BX=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命 错误!未找到引用源。若AX=0的解均是BX=0的解,则秩(A)≥秩(B) 错误!未找到引用源。若秩(A)≥秩(B),则AX=0的解均是BX=0的解 错误!未找到引用源。若AX=0与BX=0同解,则秩(A)=秩(B) 错误!未找到引用源。若秩(A)=秩(B),则AX=0与B=0同解 以上命题正确的是(B)。 (A)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。错 误!未找到引用源。;(C)错误!找到引用源。错误!未找到引用源。 (D) ③错误!未找到引用源。 a11412a13a1 8.设A B a 33a32a31 1a42a43444 0001 1000 0010 0100 其中A可逆,则B等于

   s , , , 1 2  线性无关； （B）若    s , , , 1 2  线性相关，则对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，有 s s k11 + k2 2 ++ k  =0； （C）    s , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s； （D）    s , , , 1 2  线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。 6．齐次线性方程组       + + = + + = + + = 0 0, 0, 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 x x x x x x x x x     的系数矩阵记为 A,若存在三阶非零矩阵 B 使得 AB =0，则（ C ）。 （A）  = −2且| B|= 0 ； （B）  = −2且| B| ≠0； （C）  =1且| B|= 0 ； （D）  =1且| B| ≠0。 7．设有齐次线性方程组 AX=0 和 BX=0,其中 A,B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题： 错误!未找到引用源。 若 AX=0 的解均是 BX=0 的解，则秩（A）≥秩（B）； 错误!未找到引用源。 若秩（A）≥秩（B），则 AX=0 的解均是 BX=0 的解； 错误!未找到引用源。 若 AX=0 与 BX=0 同解，则秩（A）=秩（B）； 错误!未找到引用源。 若秩（A）=秩（B），则 AX=0 与 BX=0 同解。 以上命题正确的是（ B ）。 （A）错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。； （B）错误!未找到引用源。错 误!未找到引用源。； （C）错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。； （D） ③错误!未找到引用源。。 8．设 A=               41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a ，               = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a B ， P1=             1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ,P2=             0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ，其中 A 可逆，则 −1 B 等于（ C ）

(A)APP (B)RA-B2: (C)RP2A:(D)P2A-R 9.设∫=x1-20x,则二次型厂是(C) 20-2 (A)正定的(B)负定的(C)不定的(D)无法确定 1.已知A,B为3阶矩阵,且满足2A-B=B-2E,其中E是3阶单位矩阵。 求矩阵A-2E的逆。 解:2A-B=B-2E→2B=AB-2A→(4-2EB-2E)=4E, 所以A-2E可逆,且(A-2E)l (B-2E)。 2.设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,O4线性无关,问:a1能否由 a2,a3线性表示?并证明你的结论。 因为a2a3,O4线性无关,所以a2,a3线性无关,又a1,a2,3线性相关,故a1能由 a2,a3线性表示。 3.已知5=1是矩阵A=5a3的一个特征向量。试确定参数ab 的值及特征向量ξ所对应的特征值。 2 解:由4=,得:5a31=41,→{a=-3, 1b-2八-1 b=0 4.当λ为何值时,方程组{x1+3x+6x,=2有解,并求其通解 3x、+3X,=

（A） 1 2 1 A P P − ； （B） 2 1 P1A P − ； (C) 1 1 2 − P P A ； (D) 1 1 P2A P − 。 9．设 f X X T           − − − = 2 0 2 1 2 0 1 1 2 ,则二次型 f 是( C )。 （A）正定的 （B）负定的 （C）不定的 （D）无法确定 三、 1．已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2 2 , 1 A B = B − E − 其中 E 是 3 阶单位矩阵。 求矩阵 A − 2E 的逆。 解： 2 2 2 2 ( 2 )( 2 ) 4 , 1 A B = B − E  B = AB − A A− E B − E = E − 所以 ( 2 ) 4 1 2 ( 2 ) 1 A− E A− E = B − E 可逆，且 − 。 2． 设向量组 1 2 3  , , 线性相关，向量组 2 3 4  , , 线性无关，问： 1 能否由 2 3  , 线性表示？并证明你的结论。 3． 解：能。 因为 2 3 4  , , 线性无关，所以 2 3  , 线性无关，又 1 2 3  , , 线性相关，故 1 能由 2 3  , 线性表示。 3．已知           − = 1 1 1  是矩阵           − − − = 1 2 5 3 2 1 2 b A a 的一个特征向量。试确定参数 a,b 的值及特征向量  所对应的特征值。 解：由 A =  ，得：           − =           −           − − − 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 2 1 2  b a ，      = = − =  0. 3, 1, b a  4．当  为何值时，方程组      + + = + + = + + = 1 2 3  1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 6 2 2 3 1 x x x x x x x x x 有解，并求其通解

1231 A=1时 A=1362→>013 0 2334)(0002-1 0000 当元=时方程组有解,同解方程组为 x1=3x3-1, 令x3=0,→7 令x3=1,→5=-3故通解为:n+k5,k∈R 5.设A=12-1,判断A是否与对角阵相似,相似时求可逆矩阵P,使PAP为 对角阵。 解:4-E=(2-)2(1-0),→1=12=2,3=1 000)(10 因为A-2E=10-1→000所以n42E)=3-2=1,所以A与对角阵相 似 对1=2=2,对应的特征向量为51=152=0 0 对3=b对应的特征向量为53=1令P=(525A=2则P-AP=A 6.设二次型=x2+x2-x3+2kx2+2x3-2x2x3经正交变换X=QY化为标准 形-2y2+y2+2y3,求k及正交阵Q k 1 解:A=k1-1,A 因为A与A相似,所以其特征值为 不=-2,12=3=2,→团4=-4即:k2-2k+1=0,∴k=1

解：           − − →           − →           = = 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 1 3 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 6 1 2 3  1时   A 当  =1时方程组有解 ，同解方程组为    = − + = − 3 1, 3 1, 2 3 1 3 x x x x 令          − =  =  0 1 1 0, x3  ， 令 . , . 1 3 3 1, x3 + k k  R           =  = −   故通解为：  5．设           = − 1 0 1 1 2 1 2 0 0 A ，判断 A 是否与对角阵相似，相似时求可逆矩阵 P，使 P AP −1 为 对角阵。 解： (2 ) (1 ), 2, 1. 1 2 3 2 A− E = −  −    =  =  = 因为 , 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 2           − →           − A − E = − 所以 r(A-2E)=3-2=1, 所以 A 与对角阵相 似。 , . 1 2 2 . ( ) , 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2, 1 3 3 1 2 3 1 2 1 2 =            =  =           = =           =           = = = − 对 ，对应的特征向量为 令P 则P AP 对 对应的特征向量为 ， ，          6．设 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 二次型f = x1 + x − x + 2k x x + 2x x − 2x x 经正交变换 X = QY 化为标准 形 2 3 2 2 2 − 2y1 + y + 2y ，求 k 及正交阵 Q. 解： , 2 1 2 , 1 1 1 1 1 1 1          −  =           − − = k − k A 因为 A与相似， 所以其特征值为 2 1 2 4 2 1 0 1. 2 1 = − ，2 = ，3 = ， A = − ，即：k − k + = ，k =

A=1 1对1=-2对应的特征向量为5 对2=1,对应的特征向量为2=-1对3=2,对应的特征向量为3=1 √6√3√2 将它们单位化即得到所求的正交矩阵Q= √3√2 2 0 7.设a1=(a,2,10)2,a2=(-2,1,5),a3=(-1,4),B=(1.c),问当a,b, c满足什么条件时 (1)B能用a1,a2a3唯一线性表示? (2)B不能用a1,a2,a3线性表示? (3)B能用a12a2,a3线性表示,但表示式不惟一,并求出一般表示式 教材第108页第12题第2问 8.设二次型f(x1,x2,x3)=XAx=ax2+2x2-2x3+2bx1x3(b>0,其中二次型的 矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求a,b的值 (2)利用正交变换将二次型∫化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 a0 b A=020→a+2-2=1→a=1|4=-12→b=2故 b0-2 A=020 14-=(2-4)2(+3→4=2=2,2=-3

, 1 1 1 1 1 1 1 1           − − = − k A 对 对应的特征向量为 ，          − = − = 2 1 1 2, 1 1 . 0 1 1 2 1 1 1 1, 2 2 3 3           = =           对 = 对应的特征向量为 = − ， 对 ，对应的特征向量为 将它们单位化即得到所求的正交矩阵                   − − = 0 3 1 6 2 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 Q 。 7．设 T (a,2,10) 1 = , T ( 2,1,5)  2 = − ， T ( 1,1,4)  3 = − ， T  = (1,b,c) ，问当 a，b， c 满足什么条件时 （1）  能用 1 2 3  , , 唯一线性表示？ （2）  不能用 1 2 3  , , 线性表示？ （3）  能用 1 2 3  , , 线性表示，但表示式不惟一，并求出一般表示式。 教材第 108 页第 12 题第 2 问。 8．设二次型 ( , , ) 2 2 2 ( 0), 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b  T 其中二次型的 矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12。 (1)求 a，b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。 , 2 2 1 1. 1 2 2. 0 2 0 2 0 0  + − =  = = −  =           − = a a A b b a b A 故            − = , 2 0 2 0 2 0 1 0 2 A (2 ) ( 3), 2, 3. 1 2 3 2 A− E = − −   +   =  =  = −

对1=2=2,对应的特征向量为1=052=1 对3=3,对应的特征向量为3=0 51,5253已是正交向量组,只需将它们单位化,得正交矩阵 0.令X=Qy,则二次型化为n2+2n2-3y3 √5√5 四、证明题:(本大题共10分。第1,2小题5分共10分:第3小题10分 务请按分值选作) 1.设a,a2,a3,B均为n维非零列向量,ax1,a2,a3线性无关且B与a1,a2,a3分别正交。证明 a12a2,a3,B线性无关 设kB+k1a1+k2a2+k3C3=0,→(B,k1a1+k2a2+k33)=0 k=0,→k1a1+k2a2+k k1=k2=k3=0 2.设A,B,C均为n阶方阵,且B=E+AB,C=A+CA,证明B-C=E. 由B=E+AB,→(E-AB=E,→(E B 由C=A+CA→(E-A)C+E)=E→(E-A)=C+E,故 B=C+E→B-C=E 3.设有m+1个n维列向量a1,a2,…,an,B,A是一个n阶正定矩阵,如果满足: (2)aA (3)B与每一个a;都正交 证明:(1)a1,a2,…n线性无关;(2)B=0 证:(1)k1a1+k +k 0,→k1Aa1+k2Aa2+…+ kda=0

. 2 0 1 3 0 1 0 1 0 2 2, 3 3 1 2 1 2           − = − =           =           = = =       对 ，对应的特征向量为 对 对应的特征向量为 ， ， 1 , 2 , 3已是正交向量组，只需将它们单位化，得正交矩阵 2 3 2 2 2 1 , , 2 2 3 5 2 0 5 1 0 1 0 5 1 0 5 2 Q X = QY y + y − y               − = 令 则二次型化为 . 四、证明题：（本大题共 10 分。第 1，2 小题 5 分共 10 分；第 3 小题 10 分。 务请按分值选作） 1．设 1 2 3  , , ,  均为 n 维非零列向量， 1 2 3  , , 线性无关且  与 1 2 3  , , 分别正交。证明 1 2 3  , , ,  线性无关。 证：设 k + k11 + k22 + k33 = 0, (,k11 + k22 + k33 ) = 0 ， 0, 0, 0.  k =  k11 + k22 + k33 =  k1 = k2 = k3 = 2．设 A, B,C 均为 n 阶方阵,且 B = E + AB,C = A + CA ，证明 B −C = E. 证： , ( ) , ( ) , 1 B = E + AB  E − A B = E  E − A = B 由 − ( )( ) ( ) , 1 C = A+CA  E − A C + E = E  E − A = C + E 由 − 故 B =C + E  B−C = E 。 3．设有 n+1 个 n 维列向量 1 , 2 ,  , n , ，A 是一个 n 阶正定矩阵，如果满足： （1）  0,  j j=1,2,…,n； （2） A j i j i j n T i   = 0,  , , =1,2,, ； （3）  与每一个  j 都正交； 证明：(1)    n , , , 1 2  线性无关；(2)  =0. 证：(1) 0, 0, k11 + k2 2 ++ kn n =  k1A1 + k2A 2 ++ knA n =

→61arA1+k174a2+…+kna74an=0由题设a7Aa1=0≠j,故ka}A A正定,a1≠0→a7Aa1>0→k=0 所以a1, 线性无关 (2)由(1)B=k1a1+k2a2+…+kn(n2则 (B,B)=(B,k1a1+k2a2+…+knan)=k1(B,ax1)+…+kn(B,an)=0

0 0 0. 1 1 2 2 0, 0 0     =  + + + = =  = i i T i i i T j i i T n i T n i Ti Ti A A k k A k A k A A i j k A              正定， 由题设 ， ，故   所以    n , , , 1 2  线性无关。 (2) 由(1) , 1 1 2 2 n n  = k  + k  +  + k  则 0 0. ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 1 1 2 2 1 1  =  = = + + + = + + =        n n   n   n k k  k k  k