n维向量 n维向量及其线性运算 、n维向量的概念 1定义1:由数a1.a2.…an组成的有序数组,称为 n维向量,简称为向量。 向量通常用斜体希腊字母α,β,〃等表示 a=(al. a 2 ●● n 列向量 行向量 2 T C =(a1,2, ai第个分量
n 维向量 n 维向量及其线性运算 一、n 维向量的概念 维向量，简称为向量。 由数 组成的有序数组，称为 n aaa ,2,1 L n 向量通常用斜体希腊字母 ,, γβα 等表示。 ),,,,( 21 n = L aaa 1.定义1: α 行向量 T n n aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ α = 列向量 ai 第i个分量
c1112…C1n i1,ui2 21 22 a2n i=1,2,…m 1m2 矩阵A的行向量 矩阵A的列向量0=(00) 2 j 零向量 T C 02J j=1,2,…,n 负向量 维数相同,即同型 a=Be b;L=1.2
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 .,2,1 ),,,( 21 mi aaa inii L L = T mjjj mj j j aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = L,,2,1 nj 矩阵 A的行向量 矩阵 A的列向量 0 = ( 0,0,···,0 ) ),,,( 21 n − α = − − L −aaa ⎩ ⎨ ⎧ == ⇔= niba .,,2,1, ii L 维数相同，即同型。 βα 零向量 负向量
2定义2:a=(a12,an数值Va2+n2+…+a 称为向量a的长度或范数或模,记为l =1称a为单位向量a=人>0 al=0÷a=0a≠0→k ,,=),B=( =(1.0,…,0),e2=(0,12…0) n (0,0,…,1) 二、n维向量的线性运算设向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 加法:a+B=(a1+b1,a2+b2,…an+bn) 2减法:a-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)
2.定义2: 称为向量 的长度或范数或模 记为 。 数值 α α α , ),,,,( 2 2 2 2 21 n 1 n = L aaa L+++ aaa αααα >⇒≠=⇔= 0000 = 1称αα 为单位向量。 ) 2 1 , 2 1 (), 3 1 , 3 1 , 3 1 α = ( β = ).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( e1 = L e2 = LL en = L 二、n 维向量的线性运算 ),,,( 1.加法: α + β = + + 2211 L + bababa nn ),,,( α − β = − − 2211 L − bababa nn ),,,,( 21 n α = L aaa ),,,,( 21 n β = L bbb 2.减法: 设向量
3数乘:ka=(ka1,ka2,…,kan) 线性运算满足8条运算规律,见教材. 向量组的线性相关性 、线性相关性 1定义:设向量B1,a2,…,am,若存在一组数 k1,k2,…,km使 B=k1a1+k2a2+…+kmm 则称向量可由向量a1,a2,…,an线性表示, 或称向量B是向量a12a2…,am的线性组合。 a=(a1,a2,…,an)=a1e1+a2e2+…+anen
3.数乘: ),,,( 21 n α = L kakakak 线性运算满足8条运算规律,见教材. 向量组的线性相关性 一、线性相关性 1.定义1: 使， 设向量 ，若存在一组数 m m ,, kkk ,,,, 21 21 L L αααβ β = α + kk α 2211 +L+ k α mm 则称向量β可由向量 21 L,,, ααα m线性表示， 或称向量 是向量 21 L,,, αααβ m的线性组合。 n nn = L = + +L+ eaeaeaaaa 21 2211 α ),,,(
2定义2设向量组a1,a2…,am,若存在一组不全为 零的数k1,k2,…km使 k1a1+k22+…+kmOm=0 则称向量组a1,a2,…,m线性相关。否则 称向量组a1,a2…,am线性无关 (1)当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关 (2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例 (3)任一含有零向量的向量组线性相关 3讨论向量组的相关性:
2.定义2: 零的数 使， 设向量组 ，若存在一组不全为 m m ,, kkk ,,, 21 21 L L ααα α + kk α 2211 +L+ k α mm =0 则称向量组 21 L,,, ααα m线性相关。 称向量组 21 L,,, ααα m线性无关。 否则 (1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关. (2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. (3) 任一含有零向量的向量组线性相关. 3.讨论向量组的相关性：
例:讨论ax1=(2,-1.a2=(2,-3,1)3=(4,1,-1)的相关性 解:设k1a1+k22+k33=0 124 →k1+2k2+4k3=0 2-31 2k1-3k2+k3=0 系数行列式为 k1+k2-k 2 3一 3-2+8-12+4-1=0 故方程组有非零解,即有非零的数k1,k2,k3使 k1a1+k2a2+k33=0→a12a2a3线性相关 例2:设向量组a12a2a3线性无关,B1=a1+a2, B2=a2+a3,B3=a3+a1,讨论向量组/1,B2,B3的相关性。 解:设k1B1+k2B2+k3B3=0 (k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)a3=0 a1a2,3线性无关,→k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0 →>k1=k2=k3=0→B12B2B3线性无关
例1：讨论α1 α 2 α 3 −=−=−= )1,1,4(),1,3,2(),1,2,1( 的相关性。 解：设 α + α + kkk α 332211 = O 042 +⇒ + kkk 321 = − + kkk 321 = 032 0 − + − kkk 321 = 系数行列式为 111 132 421 −− − = − + − + −1412823 = 0 方程组有非零解，即有非零的数 ,, kkk 321 使 α + α + kkk α 332211 = O⇒ ,, ααα 321 线性相关。 故 ，讨论向量组 的相关性。 例 ：设向量组 线性无关， 133322 321 321 211 , ,, 2 ,, , ααβααβ βββ ααα ααβ +=+= += 解： 即 设 β + β + kkk β 332211 = O + α + + α + + kkkkkk )()()( α 332221131 = O ,, ααα 321 线性无关，⇒ + kk 31 = 0 + kk 21 = 0 + kk 32 = 0 ⇒ 0 = = kkk 321 = ,, . ⇒ βββ 321 线性无关
例3:设向量组a1,a2,…,am线性无关,且 B=a1+a2+…+ 证明向量组B-a1,B-a2…,B-am线性无关(m>1) 证:设k1(B-01)+k2(-a2)+…+km1(B-am)=0 由B=ax1+a2+…+am→ k1(a2+…+am)+k2(a1+a3+…+cm)+kmn(a1+…+m-1)=0 即 (k2+…+km)1+(k1+k3+…+km)2+(k1+…+km-1)am=0 k2+…+km=0 k1+k2+…+k 0系数行10 (m-1)(-1)"≠0 列式为 (m>1) k1+…+km-1=0 向量组B-a12B-a2…,B-am线性无关
,, ).1( 3 ,,, 21 21 21 −− − > +++= m m m m 证明向量组 ， 线性无关 例 ：设向量组 线性无关，且 αβαβαβ αααβ ααα L L L 设证 k β −α + k β −α 2211 +L+ k β −α mm )()()(: = O 由β α α 21 ++= L+α m ⇒ ( () () ) 21 + m ++ + 312 + + + mm 1 + + m−1 k α L α k α α L α k α L α = O ( 2 +L+ m α + () + 311 +L+ m α + () 12 +L+ kkkkkkk −1)α mm = O 即： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ =++ =+++ =++ − 0 0 0 1 1 31 2 m m m kk kkk kk L M L L 系数行 列式为 011 101 110 L MMMM L L )1( 0)1)(1( 1 > ≠−−= − m m m ∴向量组 −− 21 ,, L， −αβαβαβ m线性无关
向量组的等价 1定义1:设有两个n维向量组(D):a1,2,…r ():B1,B2;…,B 若向量组(Ⅰ)中每个向量都可由向量组()线性 表示,则称向量组(Ⅰ)可由向量组()线性表示; 若向量组()与向量组()可以互相线性表示, 则称向量组(Ⅰ)与向量组()等价。 向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。 例1:设n维向量组1,a2,…,n,e1,e2,…,en可由它 们线性表示,证明a1,a2…an与e1,e2;…,en等价 证:∵a1,a2…,an显然可由e1:e2…,en线性表示, 又由题设e1,e2,…,en可由 an线性表示, a1,a2…,an与e1,e2,…,en等价
向量组的等价 1.定义1: 设有两个 n 维向量组 s21 r21 ,,,:)( ,,,:)( βββ ααα L L II I 若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示； 若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。 向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。 例1：设 n 维向量组 ,,,, α α L α n21 L,,, eee n21 可由它 们线性表示，证明 L,,, ααα n21 与 L,,, eee n21 等价。 证： LQ ,,, ααα n21 显然可由 L,,, eee n21 线性表示， 又由题设 L,,, eee n21 可由 L,,, ααα n21 线性表示， ∴ L ααα 与 L,,,,,, eee n21n21 等价
◆相关性的判定及有关重要结论 1线性相关与线性组合的关系定理 定理1:向量组a1,a2,…,am(m≥2线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余m-1各向量线性表示。 证:"→"若向量组a1,a2,…,am1(m≥2)线性相关,则一定存 在一组不全为零的数k,k2…,km,使 k11+k2a2+…+kmOm=0 不妨设k1≠0,于是有: k22 k knm d k 不妨设 a1=k22+…+knCm →-01+k202+…+kmOm=0 即向量组a1,a2…,am(m≥2)线性相关
相关性的判定及有关重要结论 1.线性相关与线性组合的关系定理 至少有一个向量可由其 余 各向量线性表示。 定理 ：向量组 ，，， 线性相关的充要条件是其中 1 1 )2( 21 − ≥ m L ααα m m 证： ⇒"" 在一组不全为零的数 使，，， 若向量组 ，，， 线性相关，则一定存 , )2( 21 21 m m kkk m L L ααα ≥ α + kk α 2211 + L + k α mm = 0 不妨设 k 1 ≠ 0，于是有： m m k k k k αα α 1 2 1 2 1 L−−−= ⇐"" 不妨设 α = k α 221 + L + k α mm −⇒ α + k α 221 + L + k α mm = O 即向量组 21 L，，， ααα m m ≥ )2( 线性相关
定理2:设向量组a(,a2y…,m线性无关,而向量组B 线性相关,则β可由 线性表示且表示式惟 证:∵向量组B,ax,a2,…,am线性相关,则一定存在一组不 全为零的数k,k1,k2,…,km,使 kB+k1a1+k2a2+..+kmam=0 这里必有k≠0,否则,有 C1+ 202 +∴+k m w m 由向量组a1,a2, 线性无关知 k1=k km =0 故B可由a1,a2…,αm线性表示
线性表示且表示式惟一。 ，，， 线性相关，则 可由 ，，， 定理 ：设向量组 ，，， 线性无关，而向量组 ， m m m ααα αααβ ααα β L L L 21 21 21 2 证： 全为零的数 使，，， 向量组 ，，， 线性相关，则一定存在一组不 , , , 21 21 m m L kkkk Q L αααβ β + α + kkk α 2211 + L + k α mm = 0 这里必有k ≠ 0，否则，有 α + kk α 2211 + L + k α mm = 0 由向量组 21 L，，， ααα m线性无关知： = 21 = L = kkk m = 0 故 可由 21 L，，， αααβ m线性表示