二、非齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+ann=b1 a1x1+a0x+.…+anxn= (1) m11+am2x2+…+amxn n A= 21422 a2n B mI am2 mn 非齐次 系数矩阵AX=B∠方程组的Ax=O方程组的 矩阵形式 导出组
二、非齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ m m mnmn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLL L L 2211 222121 2 2 212111 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n x x x X M 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b m b b B M 2 1 系数矩阵 AX = B 方程组的 = OAX 矩阵形式 非齐次 方程组的 导出组 （ 1 ）
引进向量 12 21 22 a2n 2 B 2 x1C1+x0+…+xnCn= B 方程组的向量方程 非齐次线性方程组的有解判定 方程组(1)有解→B可由a12a2,…,an线性表示 台A=(a1,a2,…,Cn,B),r(A)=r(A) A=(a1a2,…,an2B)称为方程组(1)增广矩阵 非齐次线性方程组的解法 1非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组的有解判定 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b m b b M 2 1 β ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 21 11 1 a m a a M α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 22 12 2 a m a a M α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mn n n n a a a M 2 1 L α α + xx α2211 + L + x αnn = β 引 进 向 量 方程组的向量方程 方程组（ 1）有解 ⇔ β 可由 α α21 L ,,, αn线性表示 )()(),,,,,( A 21 ArAr =⇔ L n βααα = ),,,,( )1( . A = 21 L n βααα 称为方程组 的增广矩阵 非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解。 An =B, an2=B= A(n1-n2)=0 性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解 An=B3A5=0→A(+5)=B 2非齐次线性方程组的通解 定理:设n是非齐次方程组的一个特解,51,52,…,n-是其导 出组的基础解系,则非齐次方程组(1)的通解为 7+k151+k252+ n-r5n-r k12k2…,kn为任意常数,r=r(A 推论:(1)r(A)=r(④)=n时,方程组()有惟一解; (i)r(A)=r(4)<n时,方程组(1)有无穷多解,其 通解为+k151+k252+…+kn=r5n=r (i)r(4)≠r(A)时,方程组(1)无解
性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。 η1 = , η2 = BABA ⇒ A η −η21 )( = O 性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。 η = , ξ = OABA ⇒ A η + ξ )( = B 2.非齐次线性方程组的通解 设η∗是非齐次方程组的一个特解， rnrn kk k −− ∗ ξξη 2211 L++++ ξ 出组的基础解系， ξ ξ 21 L,,, ξ −rn 是其导 则非齐次方程组（1）的通解为 定理： ,,, ).( 21 kkk Arr L −rn 为任意常数， = 推论： )()()( == nArAri 时，方程组（1）有惟一解； )()()( <= nArArii 时，方程组（1）有无穷多解，其 通解为 rnrn kk k −− ∗ ξξη 2211 L++++ ξ ≠ ArAriii )()()( 时，方程组（1）无解
例1:求解方程组(x1+22-0 (A)=r(A) 2x1+3x2+x 有解 4x1+7x 2-3 =2 12-1:1 12-1:1 2-1:1 A=2310 0-13:-20-13:-2 47-1:2 0-13:-2)(000:0 05:-3)105:-3 0-13:-2 000:0 00 30 :0 X 同解方程组为 3-3 x2=3x3+2
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ =−+ 74 2 032 12 321 321 321 xxx xxx 例 1：求解方程组 xxx ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − = 2 0 1 174 132 121 M M M A ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − − − − → 2 2 1 310 310 121 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −− − → 0 2 1 000 310 121 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − −→ 0 2 3 000 310 501 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ⎞ −→ 0 2 3 000 310 501 M M M 有解 = ArAr )()( ⎩ ⎨ ⎧ += −−= 23 35 32 31 xx xx 同解方程组为
x 0.→ x1=-3∴特解为n=(-3,2,0) 2 x3=1,→ 所以基础解系为5=(-5,3,1) x1=-5x 通解为n+k5 2=3x3
+ kξη 通解为 ∗ x3 ,0 ⇒= ⎩⎨⎧ =−= 23 21xx x3 ,1 ⇒= ⎩⎨⎧ =−= 35 21xx T ∴ −= )0,2,3( ∗ 特解为η 所以 基础解系为 T ξ −= )1,3,5( ⎩⎨⎧ =−= 32 31 35xx xx
例2:求方程组的通解 X1=x 2-X3+x 4=0 1-x2+x3-3x4=1 x1-x2-2x3+3x4=-1/2 1-110 1-110 A=1-11-31002-41 1-23|-1/2 00-12-1/2 11-110 110-11/2 →>001-21/2|→001-21/2 00000 00000 同解方程组为 1=x2+x4+1/2 (A)=r(A) 3=2x4+1/2 x 有解 x2=x4=0→x1=x3=1/ 2特解为 7=(1/2,0,1/2,0 T
例 2：求方程组的通解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=+−− =−+− =+−− 2/132 13 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −− −− = 2/1 1 0 3211 3111 1111 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− → 2/1 1 0 2100 4200 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → 0 2/1 0 0000 2100 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → 0 2/1 2/1 0000 2100 1011 同解方程组为 ⎩ ⎨ ⎧ += ++= 2/12 2/1 43 421 xx xxx 0 = xx 42 = ⇒ = xx 31 = 2/1 T = )0,2/1,0,2/1( ∗ 特解为 η 有解 = ArAr )()(
1=x2+x 4 2\=0 → x3=2x4 4 基础解系为:51=(1.0)22=(1.2,1) 通解为m+k11+k22 非齐次方程组的求解步骤 1写出A,并将A化为梯形阵;从而求出r(4)与r(A)以判 断是否有解; 如何确定? 2在有解时,进一步将A化为行最简形,确定真未知量与 自由未知量,并写出同解方程组; 3先令自由未知量为零,求出真未知量的值,从而求出特 解η;再给自由未知量取值,以求出基础解系;并写出 通解。 注意什么?
⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 10 , 01 42 xx ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⇒ 21 , 01 31xx ⎩⎨⎧ = += 43 421 2xx xxx T)0,0,1,1( ξ1 = T)1,2,0,1( 基础解系为： ξ 2 = ξξη 2211 ++ kk 通解为 ∗ 非齐次方程组的求解步骤 ; .1 )()( 断是否有解 写出 ，并将AA 化为梯形阵；从而求出 与 ArAr 以判 自由未知量，并写出同解方程组； .2 在有解时，进一步将A化为行最简形，确定真未知量与 通解。 解 ；再给自由未知量取值，以求出基础解系；并写出 先令自由未知量为零，求出真未知量的值，从而求出特 ∗ η .3 如何确定？ 注意什么？
补充 含参数的方程组 在求解方程组之前,要先确定参数值。—这是准则 而参数值的确定,要依据有解的条件即:r(A)=r(4 般而言,有两种方法确定参数值。一种是行列式法,另一种是 初等变换 法。 2xutax 2-3 例a为何值时,方程组{ax-x2+x3=2无解?有惟一解? 4x1+5x2-5x3=-1 无穷多解?并在有解时求其解。 解 =10+4a-5a A 2 4-10+5a 45 45-5 5a2-a-4 A=0→a=1,a= a≠l且a≠-时,方程组有惟一解
含参数的方程组 在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即： = ArAr )()( 一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是 初等变换 法。 无穷多解？并在有解时求其解。 例 为何值时，方程组 无解？有惟一解？ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+ =+− =−+ 1554 2 2 1 .1 321 321 321 xxx xxax xaxx a 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 554 11 12 a a A 554 11 12 − − − =⇒ a a A 2 5104 5410 a aa +−− = + − 45 2 aa −−= 5 4 ,10 aaA −==⇒= 且 时，方程组有惟一解。 5 4 1 aa −≠≠∴ 补充
2x1+x 2一13 a=时,方程组为{x1-x2+x3=2 不再是含参数 的方程组了。 4x1+5x2-5x3=-1 2x15 x2-x3=1 2 不再是含 a=-时,方程组为△ 参数的方 程组了 4x1+5x 2 5x3=-1
a = 1时，方程组为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+ =+− =−+ 1554 2 2 1 321 321 321 xxx xxx xxx 不再是含参数 的方程组了。 时，方程组为 5 4 a −= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+ =+−− =−− 1554 2 5 4 1 5 4 2 321 321 321 xxx xxx xxx 不再是含 参数的方 程组了
2-3 +x4=0 例2为何值时,方程组{x1-x2+x3-3x4=1有解? 1-2 2x +3x 4 = 1-1-110 1-110 A=1-113 →002-41 1-23x 00-12元 →001-21/2 00002+1/2 →=-时,r(A)=r(A),方程组有解。 2 问题:此题能用行列式法求解吗?不能!
例 为何值时，方程组 有解？ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−− =−+− =+−− λ λ 4321 4321 4321 32 13 0 .2 xxxx xxxx xxxx ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = λ 1 0 3211 3111 1111 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− → λ 1 0 2100 4200 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − −− → 2/1 2/1 0 0000 2100 1111 λ 时， )()( ，方程组有解。 2 1 λ −=⇒ = ArAr 问题：此题能用行列式法求解吗？不能！
